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1、數(shù)學物理方法 冪級數(shù)展開 冪級數(shù)展開 復級數(shù) 冪級數(shù)和泰勒展開 雙邊冪級數(shù)和羅朗展開 孤立奇點 本章小結 復級數(shù) 復數(shù)項級數(shù) 形式 ： i=1 ui 通項 ： ui 為復數(shù) 部分和： sn = n ui 和： s = lim sn 余項： rn = s - sn = un+1 + un+2 + 收斂： s 存在 0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收斂 復級數(shù) 收斂性判別法 級數(shù) i=1 ui 比值法 = limk|uk+1/uk| 1，發(fā)散。 根值法 = limk|uk|1/k
2、1，發(fā)散。 例： 判斷幾何級數(shù)的斂散性 n=0 a0 qn 解： 1.比值法 = |q| |q|1，發(fā)散。 2.根值法 =|q|limk|a0|1/k = |q| |q|1，發(fā)散。 復級數(shù) 復函項級數(shù) 形式 ： i=1 ui(z) 通項 ： ui(z) 部分和函數(shù)： sn(z) = i=1n ui(z) 和函數(shù)： s(z) = lim sn(z) 收斂域： z|s(z)存在 定義： 0, N(,z), s.t. nN(,z)|s(z)- sn(z)|0, N(),, s.t. nN() |s(z)- sn(z)|<
3、 性質(zhì)： 各項連續(xù) 和連續(xù)，和的積分 =各項積分之和； 各項可導 和可導，和的導數(shù) =各項導數(shù)之和 冪級數(shù)和泰勒展開 冪級數(shù) 形式 ： s(z) = k=0 ak(z-b)k 收斂域： R = limk|ak/ak+1| = limk|ak+1(z-b)k+1 /ak(z-b)k|=|z-b|/R |z-b|
4、勒定理： 一個在圓 |z-b|=R 內(nèi)解析的函數(shù) f(z)可以展開為冪級數(shù) f(z) = k=0 ak(z-b)k 該冪級數(shù)在圓 |z-b|=R內(nèi)收斂； 以 b為中心的展開式是唯一的； 系數(shù) ak=f(n)(b)/n! 應用柯西積分公式，系數(shù)也可以表示為 dbfibfna L nnn 1)( )( )(2 1)(!1 冪級數(shù)和泰勒展開 展開方法 基本方法（用定理） f(z) = k=0 ak(z-b)k， an=f(n)(b) /n! 例 1： 題目： 在 b=0的鄰域上把 f(z)=exp(z)展開。 解答： f(z) = e
5、xp(z) f(n)(z) = exp(z) f(n)(0) = 1 an= 1/n! f(z) = k=0 zk/k! 該冪級數(shù)在圓 |z|<內(nèi)收斂； 冪級數(shù)和泰勒展開 例 2： 題目： 在 b=0的鄰域上把 f(z)=1/(1-z)展開。 解答： f(z) = 1/(1-z) f (z) = 1/(1-z)2 f” (z) = 2/(1-z)3 f(n)(z) = n!/(1-z)n+1 f(n)(0) = n! an= 1 f(z) = k=0 zk 該冪級數(shù)在圓 |z|<1內(nèi)收斂； 冪級數(shù)和泰勒展開 發(fā)散方法（用性質(zhì)） 線性組合
6、的展開 = 展開之線性組合。 和函數(shù)的積分 = 各項積分之和； 和函數(shù)的導數(shù) = 各項導數(shù)之和； 例 3： 題目： 在 b=0的鄰域上把 f(z)=cosh(z)展開。 解答： cosh(z) = exp(z)+exp(-x)/2 exp(z) = k=0 zk/k! exp(-z) = k=0 (-z)k/k! cosh(z) = k=0 zk/k!+ (-z)k/k!/2 = k=0 z2k/(2k)! 該冪級數(shù)在圓 |z|<內(nèi)收斂； 冪級數(shù)和泰勒展開 例 4： 題目： 在 b = 0 的鄰域上把 f(z)=ln(1-z)
7、 展開。 解答： ln(1-z) = - (1-z)-1dz (1-z)-1 = k=0 zk ln(1-z) = - k=0 zk dz = - k=0 zk+1/(k+1) 例 5： 題目： 在 b = 0 的鄰域上把 f(z)= (1-z)-2 展開。 解答： (1-z)-2 = (1-z)-1 (1-z)-1 = k=0 zk (1-z)-2 = k=0 zk = k=0 k zk-1 雙邊冪級數(shù)和羅朗展開 負冪級數(shù) 形式 ： s(z) = k=0 ak(z-b)-k 收斂域： t = 1/|z-b| |t| = 1
8、/|z-b| R = 1/R 雙邊冪級數(shù) 形式 ： s(z) = k=- ak(z-b) k 分析 雙邊冪級數(shù) = 正冪級數(shù) + 負冪級數(shù) 收斂域： R <|z-b|
9、sh(z)/z = k=0 z2k-1/(2k)! 例 2： 題目： 在 |z|0的區(qū)域上把 f(z)=exp(1/z)展開。 解答： exp(t) = k=0 tk/k! exp(1/z) = k=0 z-k/k! 雙邊冪級數(shù)和羅朗展開 例 3： 題目： 以 b=0為中心把 f(z)=1/z(z-1)展開。 分析 因為 f(z)有兩個單極點 z=0和 z=1, 所以它以 b=0為中心的解析環(huán)有兩個 0<|z|< 1和 1<|z|< ，需要分別展開 解答： 在環(huán)域 0<|z|< 1中 f(z) = 1/z(z-1)= -1/z(
10、1-z) = -1/z k=0 zk = - k=0 zk-1 在環(huán)域 1<|z|< 中 f(z) = 1/z(z-1) = 1/z2(1-z-1) = 1/z2 k=0 z-k = k=0 z-k-2 孤立奇點 概念 奇點： 定義：函數(shù)的非解析點； 舉例： csc(z)在 z=n, csc(1/z)在 z=0， 1/n ； 判斷：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)解析； 孤立奇點： 定義：存在解析鄰域的奇點； 舉例： csc(z)在 z=n為孤立奇點 , csc(1/z)在 z=0為非孤立奇點； 特點：本身無定義，對周圍有影響；
11、 判斷：只有有限個奇點的函數(shù)不存在非孤立奇點； 孤立奇點 分類 原則： 根據(jù)函數(shù)趨向于孤立奇點時的極限行為的不同來分類； 分類： 極限為有限值，稱為可去奇點，例如 sinz/z； 極限為 (n階 )無窮大，稱為 (n階 )極點，例如 1/zn； 極限不存在，稱為本性奇點，例如 exp(1/z) ； 性質(zhì) 奇點 鄰域羅朗展開式 可去奇點： 無負冪項； (n階 )極點： 有限個負冪項， (最高為 n次 ) ； 本性奇點： 無限多個負冪項； 本章小結 雙邊冪級數(shù) 形式 ： s(z) = k=- ak(z-b)k 性質(zhì)：在環(huán)域內(nèi)一致收斂 羅朗展開 條件：在環(huán) R1<|z-b|
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