《常微分方程》東師大第二版習(xí)題答案.pdf

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1、1 常 微 分 方 程 習(xí) 題 解 答 東 北 師 范 大 學(xué) 微 分 方 程 教 研 室 (第 二 版 )高 等 教 育 出 版 社 2 習(xí) 題 1.21求 下列 可分 離變 量微 分方 程的 通解 ：(1) xdxydy=解 ：積 分， 得 12211 cxy += 即 cyx=22(2) yydxdyln=解 ： 1,0==yy 為 特解 ，當(dāng) 1,0yy 時(shí) ， dxyydy=ln， 積 分， 得 0ln,lnl 11 ==+= cceeycxy xxc ， 即 xcey=(3) yxedxdy=解 ： 變 形得 dxedye xy=積 分， 得 ceexy =(4) 0cotta

2、n =xdyydx解 ：變 形得 xydxdycottan=， 0=y為 特解 ，當(dāng) 0y時(shí) ， dxxxdyyycossinsincos=. 積 分， 得 11 cossinl,coslnsinl cxycxy =+= ,即 0,cossin 1 == ccexy c2 求下 列方 程滿 足給 定初 值條 件的 解： (1) 1)0(),1( ==yydxdy解 ： 1,0==yy 為 特解 ，當(dāng) 1,0yy 時(shí) ， dxdyyy =)111( ， 積 分， 得 0,1,1ln 11 ==+= cceeyycxyy xxc將 1)0(=y代 入， 得 0=c， 即 1=y為 所求 的解 。(

3、2) 1)0(,02)1( 22 ==+ yxyyx解 ： 0,1222 == yxxydxdy 為 特解 ，當(dāng) 0y時(shí) ， dxxxydy1222 = ， 積 分， 得 cxy += 1ln12 3 將 1)0(=y代 入， 得 1=c， 即 11ln12+=xy 為 所求 的解 。(3) 0)2(,32 == yyy解 ： 0=y為 特解 ，當(dāng) 0y時(shí) ， dx ydy=32 ，積 分， 得 331 )(, cxycxy +=+=將 0)2(=y代 入， 得 2=c， 即 3)2(=xy 和 0=y均 為所 求的 解。(4) 1)1(,0)()( 2222 ==++ ydyyxxdxxyy

4、解 ： 0,0==yx 為 特解 ，當(dāng) 0,0yx 時(shí) ， 011 22 =++ dyyydxxx ，積 分， 得 0,,ln1ln1 111 1 ===++ cceeyxcyyxx yxyxc將 1)1(=y 代 入， 得 2=ec， 即 yxeyx 12= 為 所求 的解 。 4 求解 方程 011 22 =+ dyxydxyx解 ： )11(1),11(1 == xyyx 為 特解 ，當(dāng) 1,1yx 時(shí) ， 011 22 =+ dyyydxxx積 分， 得 )0(11 22 =+ cyx6 求一 曲線 ，使 其具 有以 下性 質(zhì)： 曲線 上各 點(diǎn)處 的切 線與 切點(diǎn) 到原 點(diǎn)的 向徑

5、及 x軸 可圍 成一 個(gè)等 腰三 角形 (以 x軸 為底 )， 且通 過(guò)點(diǎn) (1,2). 解 ：設(shè) 所求 曲線 為 )(xyy=對(duì) 其上 任一 點(diǎn) ),(yx的 切線 方程 ：)( xXyyY = 于 x軸 上的 截距 為 yyxa=由 題意 建立 方程 ：0 =xxyyx 即 2)1(, ==yxyy求 得方 程的 通解 為 0, =cexyc 再 由 ce=2得 c=ln2,得 所求 曲線 為 4 為 2=xy7 人工 繁殖 細(xì)菌 ，其 增長(zhǎng) 速度 和當(dāng) 時(shí)的 細(xì)菌 數(shù)成 正比 （ 1） 如 果 4小 時(shí)的 細(xì)菌 數(shù)為 原細(xì) 菌數(shù) 的 2倍 ，那 么經(jīng) 過(guò) 12小 時(shí)應(yīng) 有多 少？（ 2

6、） 如 果在 3小 時(shí)時(shí) 的細(xì) 菌數(shù) 為得 410個(gè) ， 在 5小 時(shí)時(shí) 的細(xì) 菌數(shù) 為得 4104個(gè) ， 那 么在 開(kāi)始 時(shí)有 多少 個(gè)細(xì) 菌？解 ：設(shè) t時(shí) 刻的 細(xì)菌 數(shù)為 q(t),由 題意 建立 微分 方程 0=kkqdtdq 求 解方 程得 ktceq=再 設(shè) t=0時(shí) ，細(xì) 菌數(shù) 為 0q,求 得方 程的 解為 kteqq0=（ 1） 由 02)4( qq=即 040 2qeqk=得 42ln=k 042ln120120 8)12( qeqeqq k ===（ 2） 由條 件 450430 104)5(,10)3( ==== kk eqqeqq比 較兩 式得 24ln=k， 再

7、由 4024ln3030 108)3( ==== qeqeqq k得 30 1025.1=q習(xí) 題 1.3 1解 下列 方程 ：(2) 0)2( 22 =+ dyxdxxyy解 ：方 程改 寫為 2)()(2xyxydxdy= 令 xyu=， 有 22uudxduxu =+ 整 理為 )1,0()111( = uxdxduuu積 分， 得 xcuu1ln1ln= 即 111=xcxcu代 回變 量， 得通 解 0,)( == ycyxyx 也 是方 程的 解 (4) xyxyyx tan=解 ：方 程改 寫為 xyxydxdytan=令 xyu=， 有 uuudxdux cossintan==

8、 即 )0(sincot = uxdxudu 積 分， 得 cxu=sin代 回變 量， 得通 解 cxxy=sin 5 (5) xyxyxyyx ++= ln)(解 ：方 程改 寫為 xyxxyxydxdy ++= ln)1(令 xyu=， 有 )1ln()1( uudxdux ++= 當(dāng) 1,0uu 時(shí) xdxuudu=++ )1ln()1(積 分， 得 cxu=+)1ln(代 回變 量， 得通 解 cxxy=+)1ln( (6) yyxyx += 22解 ：方 程改 寫為 xyxydxdy+=2)(1 令 xyu=， 有 21udxdux = 分 離變 量 )11(12 <,對(duì) 充分 大

9、的 1x,當(dāng) 1xx時(shí) ,有 |()|fx0時(shí) ,其 積 分 曲 線 如 圖 (3)所 示 ;當(dāng) y0時(shí) ,其 積 分 曲 線 如 圖 (6)所 示 ;當(dāng) x<0時(shí) ,其 積 分 曲 線 如 圖 (7)所 示 . 2.試 畫(huà) 出 方 程 22yxdxdy=在 xoy平 面 上 的 積 分 曲 線 的 大 致 圖 像 .解 ： 這 個(gè) 方 程 是 不 可 積 的 ,但 易 于 畫(huà) 出它 的 線 素 場(chǎng) .在 同 一 以 原 點(diǎn) 為 對(duì) 稱 中 心 的 雙 曲 線 上 , 線 素 場(chǎng) 的 線 素 都 平 行 .其 斜 率 等 于 雙 曲 線 實(shí) 半 軸 長(zhǎng) 的平 方 .于 是 ,實(shí) 半 軸 越 長(zhǎng)

10、 ,線 素 場(chǎng) 的 方 向 越 陡 .從 而 ,根 據(jù) 線 素 場(chǎng) 線 素 的 趨 勢(shì) ,大 體 上 可 以 描 出 積 分 曲 線 .如 圖 (8)所 示 .3.試 用 歐 拉 折 線 法 ,取 步 長(zhǎng) 1.0=h,求 初 值 問(wèn) 題 =+=1)1( ,22yyxdxdy的 解 在 4.1=x時(shí) 的 近 似 值 .解 令 10=x, 10=y. 則 ,1.1.001 =+=xx ;2.1.0211 =+=y,2.1.012 =+=xx ;465.1.065.22.12 =+=y,3.1.0 23 =+=xx ;824.1.0586.3465.13 =+=y,4.1.034 =+=xx .3

11、26.21.0017.5824.14 =+=y 圖 (8) 圖 (7)圖 (6) 14 習(xí) 題 2.1.試 判 斷 方 程 xxdxdytan=在 區(qū) 域(1) ;0,11: 1 yxR(2) 44,11:2 yxR上 是 否 滿 足 定 理 2.的 條 件 ? 解 ： (1)不 滿 足 .因 為 在 區(qū) 域 1R上 ,右 端 函 數(shù) yxyxf tan),(=當(dāng) 2=y時(shí) 不 連續(xù) .(2)滿 足 .因 為 在 區(qū) 域 2R上 ,右 端 函 數(shù) yxyxf tan),(=連 續(xù) 且2 cos),( 2= yxyxfy 有 界 .2.判 斷 下 列 方 程 在 什 么 樣 的 區(qū) 域 上

12、保 證 初 值 解 存 在 且 唯 一 ?(1) 22yxy+= ; (2) yxysin+= ;(3) 31=xy; (4) yy= .解 ： (1)因 為 22),( yxyxf +=及 yyxfy 2),(= 在 整 個(gè) xoy平 面 上 連 續(xù) ,所 以 在整 個(gè) xoy平 面 上 滿 足 存 在 唯 一 性 定 理 條 件 .進(jìn) 而 在 xoy平 面 上 保 證 初 值 解 存在 且 唯 一 .(2)因 為 yxyxf sin),( +=及 yyxf y cos),(= 在 整 個(gè) xoy平 面 上 連 續(xù) ,所以 在 整 個(gè) xoy平 面 上 滿 足 存 在 唯 一 性 定 理 條

13、 件 .進(jìn) 而 在 xoy平 面 上 保 證 初 值解 存 在 且 唯 一 .(3)因 為 方 程 右 端 函 數(shù) =),(yxf 31x在 除 去 y軸 外 的 整 個(gè) xoy平 面 上 連續(xù) 且 0),(=yxfy ,所 以 在 除 去 y軸 外 的 整 個(gè) xoy平 面 上 初 值 解 存 在 且 唯 一 .(4)因 為 方 程 右 端 函 數(shù) =),(yxf y= < 0, ,0, yyyy 在 整 個(gè) xoy平 面 上 連 續(xù) ,而 = 0,21 ,0,21),( yyyyyxfy 在 除 去 x軸 外 的 整 個(gè) xoy平 面 上 15 連 續(xù) ,所 以 在 除 去 x軸 外 的

14、 整 個(gè) xoy平 面 上 初 值 解 存 在 且 唯 一 .3.討 論 方 程 312ydxdy=在 怎 么 樣 的 區(qū) 域 中 滿 足 定 理 2.的 條 件 .并 求 通 過(guò))0,( 的 一 切 解 .解 ： 右 端 函 數(shù) 對(duì) y的 偏 導(dǎo) 數(shù) 3221=yyf ,顯 然 它 在 任 何 一 個(gè) 不 包 含 x軸)0(=y上 的 點(diǎn) 的 有 界 閉 區(qū) 域 中 是 有 界 的 ,因 此 在 這 種 區(qū) 域 中 解 是 存 在 唯 一 的 .即 ,只 有 通 過(guò) 0=y上 的 點(diǎn) 可 能 出 現(xiàn) 多 個(gè) 解 的 情 況 (方 程 右 端 的 連 續(xù)性 保 證 在 任 何 有 界 區(qū) 域

15、中 ,解 是 存 在 的 ).原 方 程 分 離 變 量 得 dxdyy 2331=上 式 兩 端 取 積 分 得 Cxy 23232332 = 23)(Cxy=其 中 .0)( Cx 此 外 有 特 解 0=y.因 此 過(guò) 點(diǎn) )0,(有 無(wú) 窮 多 個(gè) 解 (如 圖 (9)所示 ). 0=y, = CxCx Cxy ,)(,023 = .,)(,023 CxCx Cxy4.試 用 逐 次 逼 近 法 求 方 程 2yxdxdy=滿 足 初 值 條 件 0)0(=y 的 近 似 解 :)(),(),(),( 3210 xxxx 圖 (9) 16 解 ： 0)0()(0 ==yx 201

16、 1)0(0)( xdssx x =+= 520 222 2011)1(0)( xxdsssx x =+= .44001160120121)20121(0)( 118520 2523 xxxxdssssx x +=+=5.試 用 逐 次 逼 近 法 求 方 程 22xydxdy=滿 足 初 值 條 件 1)0(=y 的 近 似 解 :)(),(),( 210 xxx 解 ： 1)0()( 0 ==yx 301 11)1(0)( xxdssx x +=+= .631152611)3111)( 75420 2232 xxxxxdssssx x ++=++=6.試 證 明 定 理 2.中 的 n次

17、近 似 解 )(x n與 精 確 解 )(x有 如 下 的 誤 差 估 計(jì)式 : 1 0)!1()()( ++ nnn xxnMNxx證 ： 由 +=xx dsssfyx 0 )(,()( 0 及 迭 代 列 00)(yx=, ,2,1)(,()( 0 10 =+= ndsssfyx xx nn 得 00 0 )(,()()( xxMdsssfxx xx 設(shè) 10)!1()()( ++ nnn xxnMNxx則 17 201 101 1 )!2()!( )(,()(,()()( 00 ++ ++ + + nnxx nn zx nn xxnMN dsxsnMN dsssfssfxx

18、 由 歸 納 法 可 知 ,對(duì) 任 意 n次 近 似 解 ,估 計(jì) 式 10)!1()()( ++ nnn xxnMNxx成 立 .7.利 用 上 面 的 估 計(jì) 式 ,估 計(jì) : (1)4題 中 的 三 次 近 似 )(3x在 21=x和 1=x時(shí) 的 誤 差 ;(2)5題 中 的 二 次 近 似 )(2x在 41=x時(shí) 的 誤 差 .解 ： (1)顯 然 初 值 問(wèn) 題 2yxdxdy=, 0)0(=y 在 區(qū) 域 1,1: yxR 上 存在 唯 一 解 ,由 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 知 ,解 的 定 義 區(qū) 間 為 0hx其 中 ),m in(0 Mbah= , ==2),(

19、m axyxMRy 2.這 里 ,1,1==ba 從 而 210=h,即得 解 的 定 義 區(qū) 間 為 21x. 則 由 誤 差 估 計(jì) 公 式 10)!1()()( ++ nnn xxnMNxyxy其 中 N是 李 普 希 茲 常 數(shù) .因 為 ,22=yyf 可 取 ,2=N 當(dāng) 21=x時(shí) ,有 241)21(!42)()( 433 =xyxy .當(dāng) 1=x時(shí) ,有 32)1(!42)()( 433 =xyxy . 18 (2)顯 然 初 值 問(wèn) 題 22xydxdy=, 1)0(=y 在 區(qū) 域 11,1: yxR 上 存在 唯 一 解 ,由 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 知 ,

20、解 的 定 義 區(qū) 間 為 : 0hx其 中 ),m in(0 Mbah= , == 22),(m axxyMRy 4.這 里 ,1,1==ba 從 而 410=h,即得 解 的 定 義 區(qū) 間 為 41x. 則 由 誤 差 估 計(jì) 公 式 10)!1()()( ++ nnn xxnMNxyxy其 中 N是 李 普 希 茲 常 數(shù) .因 為 ,22=yyf 可 取 ,2=N則 有 241)41(!324)()( 32 =xyxy .8.在 條 形 區(qū) 域 bxa, +