分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 [分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.排列]

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1、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 [分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.排列] 高考導(dǎo)航 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)加法原理和乘法原理, 它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且是最基本的思想方法，這種思想方法貫穿在解決本章應(yīng)用問(wèn)題的始終. 在高考中，運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合知識(shí)解決排列組合相關(guān)的應(yīng)用題，通常不單獨(dú)命題. 學(xué)法點(diǎn)撥 對(duì)兩個(gè)原理的掌握和運(yùn)用，是學(xué)好本單元知識(shí)的一個(gè)關(guān)鍵. 從思想角度看，分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用是將一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)的思考，分步計(jì)數(shù)原理是將問(wèn)題進(jìn)行分步的思考，從而達(dá)到分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的目的. 從集合的角度看，兩個(gè)基本原理的意義及區(qū)別就顯得更加清

2、楚了. 完成一件事有A 、B 兩類(lèi)辦法，即集合A 、B 互不相交，在A 類(lèi)辦法中有m1種方法，B 類(lèi)辦法中有m2種方法，即card(A)=m1，card(B)=m2，那么完成這件事的不同方法的種數(shù)是card(AB)=m1+m2.這就是n=2時(shí)的分類(lèi)計(jì)數(shù)原理. 若完成一件事需要分成A 、B 兩個(gè)步驟，在實(shí)行A 步驟時(shí)有m1種方法，在實(shí)行B 步驟時(shí)有m2種方法，即card(A)=m1;card(B)=m2，那么完成這件事的不同方法的種數(shù)是card(AB)=card(A)card(B)=m1m2.這就是n=2時(shí)的分步計(jì)數(shù)原理. 兩個(gè)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù). 它們的區(qū)別在于：分類(lèi)計(jì)數(shù)

3、原理與分類(lèi)有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事; 分步計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成. 初學(xué)時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)例，弄清兩個(gè)原理的區(qū)別，學(xué)會(huì)使用兩個(gè)原理. 基礎(chǔ)知識(shí)必備 一、必記知識(shí)精選 1. 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事，有n 類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，，在第n 類(lèi)辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2++mn種不同的方法. 2. 分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成n 個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，，做第n 步有mn 種不同的方

4、法, 那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法. 二、重點(diǎn)難點(diǎn)突破 本節(jié)重點(diǎn)是準(zhǔn)確理解和靈活運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理. 難點(diǎn)是兩個(gè)原理的恰當(dāng)運(yùn)用. 兩個(gè)原理的區(qū)別在于分類(lèi)與分步，完成一件事的方法種數(shù)若需分類(lèi)思考，則這n 類(lèi)辦法是相互獨(dú)立的，且無(wú)論哪一類(lèi)辦法中的哪一個(gè)方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法計(jì)數(shù). 若完成這件事需分為n 個(gè)步驟，這n 個(gè)步驟相互依存. 具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n 個(gè)步驟依次全都完成后，這件事才完成，那么完成這件事的方法總數(shù)用乘法計(jì)算. 處理具體問(wèn)題時(shí), 首先要弄清是分類(lèi)還是分步, 簡(jiǎn)單地說(shuō)是分類(lèi)互斥、分步互依, 因此在解題時(shí), 要搞清題目的條件與結(jié)論,

5、 且還要注意分類(lèi)時(shí), 要不重不漏, 分步時(shí)合理設(shè)計(jì)步驟、順序, 使各步互不干擾. 對(duì)于一些較復(fù)雜的題目, 往往既要分類(lèi)又要分步, 也就是說(shuō)既要應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理. 三、易錯(cuò)點(diǎn)和易忽略點(diǎn)導(dǎo)析 由于對(duì)兩個(gè)原理理解不清, 解題時(shí), 易發(fā)生分類(lèi)不全和分類(lèi)時(shí)各類(lèi)有疊加現(xiàn)象的錯(cuò)誤, 即遺漏或者重復(fù). 例1 有紅、黃、藍(lán)旗各3面, 每次升一面、二面、三面在某一旗桿上縱向排列，表示不同的信號(hào)，順序不同則表示不同的信號(hào)，共可以組成多少種不同的信號(hào)? 錯(cuò)解：可組成333=27種不同的信號(hào). 正確解法：每次升1面旗可組成3種不同的信號(hào); 每次用2面旗可組成33=9種不同的信號(hào); 每次升3

6、面旗可組成333=27種不同的信號(hào). 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得共可組成3+9+27=39種不同的信號(hào). 錯(cuò)解分析：錯(cuò)解忽略了信號(hào)可分為使用的旗數(shù)分別可以為1面、2面、3面這3類(lèi). 本題綜合應(yīng)用了乘法原理和加法原理. 例2 在3000到8000之間有多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)? 錯(cuò)解：分三步完成，首先排首位有5種方法，再排個(gè)位有5種方法，最后排中間兩位有87種方法，所以共有5587=1400個(gè). 正確解法：分兩類(lèi); 一類(lèi)是以3、5、7為首位的四位奇數(shù)，可分三步完成：先排首位有3種方法，再排個(gè)位有4種方法，最后排中間兩個(gè)數(shù)位有87種方法，所以共有3487=672個(gè). 另一類(lèi)是首位是4或6的四位奇數(shù)

7、，也可以3步完成，共有2587=560個(gè). 由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得共有672+560=1232個(gè). 錯(cuò)解分析：由題意，3、5、7這三個(gè)數(shù)既可以排在首位，也可以排在個(gè)位，因此，首位是用3、5、7去填. 還是用4、6去填，影響到第二步，即填個(gè)位的方法數(shù)，遇到此類(lèi)情形, 則要分類(lèi)處理. 錯(cuò)解中有重復(fù)排上同一個(gè)奇數(shù)的四位數(shù)而產(chǎn)生錯(cuò)誤. 例3 編號(hào)為1～25的25個(gè)球擺成五行五列的方陣，現(xiàn)從中任選3個(gè)球，要求3個(gè)球中任意兩個(gè)都不在同一行也不在同一列，有多少種不同的選法? 錯(cuò)解：分以下三步完成：(1)選取第一個(gè)球，可在25個(gè)球中任意選取，有25種選法;(2)選取第二個(gè)球，為了保證兩球不在同一行也不在同一

8、列，將第一個(gè)球所在的行和列劃掉，在剩余的16個(gè)球中任取一個(gè)，有16種選法;(3)選取第三個(gè)球，應(yīng)從去掉第一、二個(gè)球所在的行和列后所剩余的9個(gè)球中選取有9種選法. 根據(jù)乘法原理，有25169=3600種方法. 正確解法：分以下三個(gè)步驟：(1)先從5行5列中選出3行有10種選法;(2)從一行的5個(gè)球中選出3個(gè)球, 有10種選法;(3)最后從所選出的3個(gè)球中按照它所在列放在第(1)步選出3行的每一行上有6種方法. 根據(jù)乘法原理有10106=600種選法. 錯(cuò)解分析：錯(cuò)解中先選一球, 假定此球?yàn)棰? 第二步去掉球①所在的行和列，在剩余的16個(gè)球中任選一個(gè)球，假定選取了球(25),第三步在去掉球

9、①與(25)所在的兩行、兩列16個(gè)球，在剩余的9個(gè)球中任選一球，假定為球(13),則此選法為①(25)(13)，若第一步選(13)，第二步選①, 第三步選(25)，顯然這兩種選法是相同結(jié)果. 這說(shuō)明上述解法中有許多重復(fù)之處. 所以, 解法是錯(cuò)誤的, 每一不同取法在錯(cuò)解中都被重復(fù)了6次. 綜合應(yīng)用創(chuàng)新思維點(diǎn)撥 一、學(xué)科內(nèi)綜合思維點(diǎn)撥 例1 三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形共有( ) A.25個(gè) B.26個(gè) C.36個(gè) D.37個(gè) 思維入門(mén)指導(dǎo)：設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為x,y ，且不妨設(shè)1xy. 由三角形的特性，必須滿足x+y12，以下可以分類(lèi)考慮. 解：當(dāng)y 取11時(shí)，x=1，2，3

10、，，11，可有11個(gè)三角形. 當(dāng)y 取10時(shí)，x=2，3，，10，可有9個(gè)三角形. 當(dāng)y 取6時(shí)，x=6可有1個(gè)三角形. 因此，所求三角形的個(gè)數(shù)為11+9+7+5+3+1=36個(gè)，故應(yīng)選C. 點(diǎn)撥：本題應(yīng)用了窮舉法，這也是解決排列組合應(yīng)用題的一個(gè)基本方法. 二、學(xué)科間綜合思維點(diǎn)撥 例2 DNA分子多樣性表現(xiàn)在堿基的排列順序的千變?nèi)f化上. 若一個(gè)DNA 分子有8000個(gè)堿基，則由此組成的DNA 的堿基對(duì)的排列方式共有( ) 種. A.2100 B.24000 C.48000 D.44000 解：選D. 點(diǎn)撥：每個(gè)堿基可互配對(duì)及自配對(duì). 三、應(yīng)用思維點(diǎn)撥 例3 (1)有5名同

11、學(xué)報(bào)名參加4個(gè)課外活動(dòng)小組，若每人限報(bào)1個(gè)，共有多少種不同的報(bào)名方法? (2)5名同學(xué)爭(zhēng)奪4項(xiàng)競(jìng)賽冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能? 思維入門(mén)指導(dǎo)：(1)每名同學(xué)確定參報(bào)課外活動(dòng)小組項(xiàng)目可依次讓每個(gè)同學(xué)去報(bào). 因此，可劃分為五個(gè)步驟. (2)可依次為四項(xiàng)冠軍確定人選，這樣，可分4步完成. 解：(1)每名同學(xué)在四個(gè)項(xiàng)目中可任報(bào)一項(xiàng)，即每一步有4種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的報(bào)名方法共有： N=44444=45=1024種. (2)為每一個(gè)冠軍尋找人選均有5種可能, 因此, 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理, 冠軍獲得者共有： N=5555=54=625種. 四、創(chuàng)新思維點(diǎn)撥 例4 (1)有面值

12、為五分、一角、二角、五角、一元、二元、五十元、一百元人民幣各一張, 共可組成多少種不同的幣值? (2)有一角、二角、五角人民幣各一張, 一元人民幣3張, 五元人民幣2張, 一百元人民幣2張, 由這些人民幣可組成多少種不同的幣值? 思維入門(mén)指導(dǎo)：(1)中的8張人民幣的面值各不相同, 并且這8張人民幣中任意幾張的面值之和各不相同. 因此，8張人民幣所組成的不同幣值的數(shù)種就是人民幣所有可能取法的 數(shù)種. 對(duì)每一張人民幣而言，都有取與不取兩種可能. 因此，可按這樣的程序： (2)中這10張人民幣一元的有3張，五元的有2張，一百元的有2張. 因此取人民幣的程序應(yīng)該是： 解：(1)每張人民幣均

13、有取與不取兩種可能，所以有22222222=28.而其中每一張都不取，不組成幣值，所以不同的幣值數(shù)為; N=28-1=255(種). (2)第一、二、三步都只有取與不取這兩種情況，第四步取一元的3張中，可分不取、取一張、取二張、取三張這四種情況，第五步與第六步都有3種情況，且每步都不取不構(gòu)成幣值. 所以不同的幣值數(shù)： N=222433-1=287種. 點(diǎn)撥：此題若分類(lèi)思考，特別是第(2)問(wèn)，則較麻煩. 此法為間接法. 五、高考思維點(diǎn)撥 例5 (2003，河南) 將3種作物種植在如圖10-1-1所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共有__

14、____ 種(以數(shù)字作答). 解：設(shè)從左到右五塊田中要種a 、b 、c 三種作物，不妨先設(shè)第一塊種a, 則第2塊可種b 或c ，有兩種選法. 同理，如果第二塊種b ，則第三塊可種a 和c ，也有兩種選法，由乘法原理共有： 12222=16. 其中要去掉ababa 和acaca 兩種方法，故a 種作物種在第1塊田時(shí)有16-2=14種方法. 同樣b 和c 也可種在第1塊田中，故共有：143=42種. 點(diǎn)撥：本小題主要考查運(yùn)用乘法原理分析解決問(wèn)題的能力. 六、經(jīng)典類(lèi)型題思維點(diǎn)撥 例6如圖10-1-2所示，從A 地到B 地有3條不同的道路, 從B 地到C 地有4條不同的道路，從A 地不經(jīng)B

15、 地直接到C 地有2條不同的道路. (1)從A 地到C 地共有多少種不同的走法? (2)從A 地到C 地再回到A 地有多少種不同的走法? (3)從A 地到C 地再回到A 地，但回來(lái)時(shí)要走與去時(shí)不同的道路，有多少種走法? (4)從A 地到C 地再回到A 地，但回來(lái)時(shí)要走與去時(shí)完全不同的道路，有多少種走法? 思維入門(mén)指導(dǎo)：要綜合應(yīng)用兩個(gè)原理. 解：(1)從A 到C 地的走法分為兩類(lèi)：第一類(lèi)經(jīng)過(guò)B ，第二類(lèi)不經(jīng)過(guò)B. 在第一類(lèi)中分兩步完成，第一步從A 到B ，第二步從B 到C ，所以從A 地到C 地的不同走法總數(shù)是34+2=14種. (2)該事件發(fā)生的過(guò)程可以分為兩大步，第一步去，第二

16、步回. 由(1)可知這兩步的走法都是14種，所以去后又回來(lái)的走法總數(shù)是1414=196種. (3)該事件的過(guò)程與(2)一樣可分為兩大步，但不同的是第二步即回來(lái)時(shí)的走法比去時(shí)的走法少1種，所以，走法總數(shù)是1413=182種. (4)該事件同樣分去與回兩大步，但須對(duì)去時(shí)的各類(lèi)走法分別討論： 若去時(shí)用第一類(lèi)走法，則回來(lái)時(shí)，用第二類(lèi)方法或用第一類(lèi)中的部分走法，即第一類(lèi)中的兩步各去掉1種走法中的走法，這樣的走法數(shù)是： 34(2+32)=96種; 若去時(shí)用第2類(lèi)走法，則回來(lái)時(shí)可用第一類(lèi)走法或用第二類(lèi)中的另一種走法. 這樣的走法數(shù)是：2(43+1)=26種. 所以，走法總數(shù)為96+26=122種

17、. 點(diǎn)撥：正確區(qū)分不同與完全不相同兩種含義是解題的另一個(gè)關(guān)鍵，前者的含義是回來(lái)時(shí)不能原路返回，但允許有部分是原路，后者的含義是去時(shí)走過(guò)的路，回來(lái)時(shí)都不能走，前者包含后者. 七、探究性學(xué)習(xí)點(diǎn)撥 允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列. 在m 個(gè)不同的元素中，每次取出n 個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排, 那么第一，第二，，第n 位上選取元素的方法都是m 個(gè)，所以從m 個(gè)不同的元素中, 每次取出n 個(gè)元素的可重復(fù)的排列數(shù)為 =mn. 例7 有數(shù)學(xué)、物理、文學(xué)3個(gè)課外活動(dòng)小組,6個(gè)同學(xué)報(bào)名, 每人限報(bào)一組, 一共有多少種報(bào)名的方法? 解：這就是有重復(fù)的排列. 第一個(gè)同

18、學(xué)有3種報(bào)名的方法, 無(wú)論他報(bào)了哪一個(gè)組, 第二個(gè)同學(xué)還是有3種報(bào)名的方法, 其余類(lèi)推. 所以, 一共有36=729種報(bào)名的方法. 思考題：用0,1,2,,9共10個(gè)數(shù)字中的4個(gè)數(shù)字組成電話號(hào)碼, 但0000不能作號(hào)碼, 問(wèn)可編成多少個(gè)號(hào)碼? 強(qiáng)化練習(xí)題 A 卷：教材跟蹤練習(xí)題 (100分 45分鐘) 一、選擇題(每題5分，共50分) 1. 把10個(gè)蘋(píng)果分成三堆，每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分堆方法共有( ) A.4種 B.5種 C.6種 D.7種 2. 現(xiàn)有四種不同款式的上衣與三件不同顏色的長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同的選法數(shù)為( ) A.7 B.64 C

19、.12 D.81 3. 有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位教師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法總數(shù)是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 4. 某體育彩票規(guī)定：從01至36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元，某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成1注，則這人把這種特殊要求的號(hào)買(mǎi)全，至少要花( ) A.3360元 B.6720元 C.4320元 D.8640元 5. 如圖10-1-3，在兒童公園中有四個(gè)圓圈組成的連環(huán)道路，從甲走到乙，不同路線的走法有( ) A.2種

20、B.8種 C.12種 D.16種 6. 將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，其中每個(gè)盒子都不空的放法共有( ) A.34種 B.43種 C.18種 D.36種 7. 設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投入這五個(gè)盒內(nèi)，要求每個(gè)盒內(nèi)投放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為( ) A.20 B.30 C.60 D.120 8. 已知集合A={1,-2,3}，B={-4,5,6,-7}，從兩集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中第一、第二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)有( ) A.18 B.16 C.10

21、 D.14 9. 北京某中學(xué)要把9臺(tái)型號(hào)相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到兩臺(tái)，不同送法的種數(shù)共有( ) A.10種 B.9種 C.8種 D.6種 10. 某大學(xué)的信息中心A 與大學(xué)各部門(mén)、各院系B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 之間擬建立信息聯(lián)網(wǎng)工程，實(shí)際測(cè)算的費(fèi)用如圖10-1-4所示(單位：萬(wàn)元) ，若不建立部分網(wǎng)線也能使中心與各部門(mén)、各院系都能相通(直接或中轉(zhuǎn)) ，則最小的建網(wǎng)費(fèi)用(萬(wàn)元) 是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 二、填空題(每題5分，共10分) 11. 已知集合A={a，b ，c ，d ，e}，B={-1，0，1}，

22、則從集合A 到集合B 的不同映射有____個(gè). 12.72的正約數(shù)(包括1與72) 有________個(gè). 三、解答題(每題20分，共40分) 13.(1)由數(shù)字1，2，3可組成多少個(gè)三位數(shù)? (2)由0，1，2，，9可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)碼?(數(shù)字可重復(fù)使用) (3)由0，1，2，，9可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)碼?(數(shù)字不可重復(fù)使用) 14. 用n 種不同顏色為下列兩廣告牌著色(如圖10-1-5) ，要求①②③④個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界) 的區(qū)域不用同一種顏色. (1)n=6時(shí)，為甲著色時(shí)，共有多少種不同方法? (2)若為乙著色時(shí)，共有120種不同方法，求n 的值. B 卷

23、：綜合應(yīng)用創(chuàng)新練習(xí)題 (100分 60分鐘) 一、學(xué)科內(nèi)綜合題(每題8分，共16分) 1. 從{-3，-2，-1，0，1，2，3｝中任取3個(gè)不同的數(shù)作為拋物線方程y=ax2+bx+c(a0)的系數(shù)，如果拋物線過(guò)原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限, 則這樣的拋物線共有多少條? 2. 正方體ABCD 一A1B1C1D1中，與對(duì)角線AC1異面的棱有( ) A.3條 B.12條 C.6條 D.9條 二、學(xué)科間綜合題(6分) 3. 如圖10-1-6為一電路圖，從A 到B 共有______條不同的單線路可通電. 4. 用1克砝碼1個(gè),2克碼1個(gè)，5克碼5個(gè)，50克碼4個(gè)，共可稱(chēng)量多少種不同重量(按天平使用

24、規(guī)則，砝碼只能放在右邊)? 四、創(chuàng)新題(54分) (一) 教材變型題(12分) 5.(P85例1變型) 設(shè)有5幅不同的國(guó)畫(huà)，2幅不同的油畫(huà)，7幅不同的油彩畫(huà). (1)從中任選一幅布置房間，有多少種不同的選法? (2)從這些畫(huà)中，各選一種不同類(lèi)的三幅畫(huà)布置房間，有幾種不同的選法? (3)從這些畫(huà)中，選出兩種不同類(lèi)的各一幅畫(huà)布置房間，有多少種不同的選法? (二) 一題多解(8分) 6. 甲、乙、丙、丁4人各寫(xiě)一張賀年卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀年卡，共有多少種不同取法? (三) 一題多變(9分) 7. 某組有3名男生，4名女生. (1)從中選男生、女生各一名去開(kāi)會(huì)，有

25、多少種不同選法? (2)從中選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)，有多少種選法? (3)從中選正副組長(zhǎng)各一人，男女不限，有多少種不同的選法? (四) 新解法題(9分) 8. 如圖10-1-7，在某個(gè)城市中，M 、N 兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M 到N 不同的走法總數(shù)有多少種? (五) 新情境題(每題8分，共16分) 9. 用10元，5元,1元來(lái)支付20元，不同支付方法共有多少種? 10. 如圖10-1-8，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量. 現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A 向結(jié)點(diǎn)B 傳遞信息，信息可

26、以沿不同路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為( ) A.26 B.24 C.20 D.19 五、高考題(每題8分，共16分) 11.(2003，北京) 某班試用電子系統(tǒng)選舉班干部候選人, 全班k 名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán); 他們的編號(hào)分別為1，2,3，，k, 規(guī)定：同意按1, 不同意(舍棄權(quán)) 按0， 令aij= 其中i=1，2，，k,j=1，2，，k ，則同時(shí)同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為( ) A.a11+a12++a1k+a21+a22++a2k B.a11+a21++ak1+a12+a22++ak2 C.a11a12+a21a22++ak1ak2 D.a11

27、a21+a12a22++a1ka2k 12.(1997，上海) 從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任選3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線有______ 條(結(jié)果用數(shù)值表示). 課堂內(nèi)外 費(fèi)馬大定理 1637年左右,17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一費(fèi)馬，在閱讀古希臘人丟番圖的巨著《算術(shù)》中第二卷的第八個(gè)問(wèn)題將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)時(shí)，在問(wèn)題旁邊的空白處，寫(xiě)道然而此外，一個(gè)立方數(shù)不能分拆成兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次方數(shù)不能分拆成兩個(gè)四次方數(shù)，一般地說(shuō)，任何次數(shù)大于二的高次方數(shù)都不可分拆成兩個(gè)冪次相同的數(shù). 我已經(jīng)找到這一定理的絕妙證明，可惜這里

28、空白太狹小，寫(xiě)不下用現(xiàn)代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)描述就是xn+yn=zn，當(dāng)n2時(shí)，無(wú)整數(shù)解. 這一段看似平淡的注解就是著名的費(fèi)馬大定理. 自1665年費(fèi)馬大定理發(fā)表后，多少數(shù)學(xué)家為之花費(fèi)了大量時(shí)間乃至畢生精力，他們的研究或是失敗或是將定理向前推進(jìn)，但一直未徹底解決，直到有了高速計(jì)算機(jī)后，費(fèi)馬大定理的證明才有了突破性進(jìn)展.1955年前后，三位日本數(shù)學(xué)家曾猜想：有理數(shù)域上所有橢圓曲線都是模曲線. 到了80年代中期，德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)雷證明了若干猜想成立, 則可以推出費(fèi)馬大定理.1994年普林頓大學(xué)的數(shù)學(xué)教授維爾斯成功地證明了此猜想，從而證明了這一千古難題. 參考答案 A 卷 一、1.A 點(diǎn)撥：按每堆蘋(píng)果的數(shù)量

29、可分為4類(lèi)，即1，4，5;2，3，5;3，3，4;2，4，4，且每類(lèi)中只有一種分法，故選A. 2.C 點(diǎn)撥：因?yàn)樵谒募弦轮腥稳∫患?種不同的方法，再在三件長(zhǎng)褲中任取一件有3種不同的取法，要完成配套，由分步計(jì)數(shù)原理可得有43=12種不同的方法. 3.B 點(diǎn)撥：由分步計(jì)數(shù)原理可得33=9種. 此題也可以用窮舉法把情況一一列舉出 來(lái). 4.D 點(diǎn)撥：這種特殊要求的號(hào)共有89106=4320注，因此至少需花錢(qián)43202=8640元. 5.D 點(diǎn)撥：在每圓圈兩側(cè)均各有一條路可供選擇，因此從甲地到乙地共有2222 =16種不同的路線. 6.D 點(diǎn)撥：將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒

30、子至少放1個(gè)，則必有一個(gè)盒子放兩個(gè)球，另兩個(gè)盒子各放入1個(gè)球. 因此可先將4個(gè)球分為2，1，1的三堆，設(shè)四個(gè)小球?yàn)锳 ，B ，C ，D ，則可分為：AB ，C ，D;AC ，B ，D;AD ，B ，C;BC ，A ，D;BD ，A ，C;CD ，A ，B 共6種. 又將它們裝入三個(gè)不同的盒子中，選一種情況放入編號(hào)盒中，1，2，3，AB ，C ，D;AB ，D ，C;C ，AB ，D;C ，D ，AB;D ，AB ，C;D ，C ，AB 共6種放法. 故共有66=36種放法. 7.A 點(diǎn)撥：先從5個(gè)球中選出2個(gè)球放入與它們編號(hào)相同的盒子中，有10種方法，再把余下的三個(gè)球放入與它們編號(hào)不相同的3

31、個(gè)盒子中，有2種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有210 =20種放法. 8.D 點(diǎn)撥：第一、第二象限點(diǎn)須y0，這些點(diǎn)可分為xA ，yB 與xB ，yA 的兩類(lèi). 前者有32=6種，后者有24=8種，所以共有6+8=14種. 9.A 點(diǎn)撥：每所學(xué)校可得電視臺(tái)數(shù)有3類(lèi)情形：①5，2，2臺(tái)，有3種送法; ②4，3，2臺(tái)，有6種送法; ③3，3，3臺(tái)，有1種送法. 所以一共有3+6+1=10種不同的送法. 10.B 點(diǎn)撥：最小費(fèi)用時(shí)信息聯(lián)網(wǎng)工程如答圖10-1-1，還有其他情形未畫(huà)出. 二、11.243 解：由映射定義，A 中每一個(gè)元素在B 中的象都有3個(gè)可能，所以可建立不同映射個(gè)數(shù)為35=243

32、. 12.12 解：72=2232，72的正因數(shù)具有形式為2a3b 的數(shù)，其中a{0，1，2，3}，b{0，1，2}，因此，共有正因數(shù)43=12個(gè). 三、13. 解：(1)利用填框圖的方法，分三步完成填得一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)，十位數(shù)，個(gè)位數(shù)每一個(gè)數(shù)位均有3個(gè)填法，依分步計(jì)數(shù)原理，共有33=27個(gè)三位數(shù). (2)可組成104=10000個(gè)四位數(shù)碼. (3)因數(shù)字不可重復(fù)使用，故可組成10987=5040個(gè)四位數(shù)碼. 14. 解：(1)完成著色這件事共分四個(gè)步驟：為①著色有6種，為②著色有5種，為③著色有4種，為④著色也有4種，故共有著色方法6544=480種. (2)與(1)不同在于④

33、有三塊相鄰的區(qū)域了，則不同的著色是n(n-1)(n-2)(n-3). 由題設(shè)，n(n-1)(n-2)(n-3)=120，(n2-3n)(n2-3n+2)=120. 令n2-3n=t，則t2+2t-1210=0，t=10. n2-3n=10.n=5.(n=-2舍去) B 卷 一、1. 解：拋物線y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，a 、b 、c 應(yīng)滿足 所以分三步，a=-3，-2，-1，b=1，2，3，c=0. 所以，拋物線的條數(shù)為331=9. 2.C 解：在底面有BC ，CD ，B1C1，C1D1，在側(cè)面有BB1，DD1與對(duì)角線AC1異面. 二、3. 解：從A 到B

34、 共有3+1+22=8條不同的單線路可通電. 三、4. 解：每一重量只能由砝碼的一種組合構(gòu)成，因不同的重量數(shù)僅僅與所選用的不同砝碼的個(gè)數(shù)有關(guān)，不同的砝碼數(shù)構(gòu)成不同的重量數(shù)，同一重量數(shù)不會(huì)有多種稱(chēng)法. 這樣本題可轉(zhuǎn)化為怎樣選取這些砝碼. 對(duì)1克的砝碼有取與不取兩種方法，對(duì)2克砝碼也有2種，對(duì)5克砝碼有6種取法，50克砝碼有5種取法，但均不取是無(wú)法稱(chēng)重的，所以. 可稱(chēng)重的不同質(zhì)量數(shù)為22 65-1=119種. 四、(一)5. 解：(1)做完這件事有三類(lèi)方法：選國(guó)畫(huà)、油畫(huà)或選水彩畫(huà)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，一共有5+2+7=14種方法. (2)完成選三幅不同的畫(huà)布置房間有三個(gè)步驟：第一步選國(guó)畫(huà)，第

35、二步選油畫(huà)，第三步選水彩畫(huà). 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有527=70種方法. (3)一共有52+57+27=59種方法. (二)6. 解：如下表： 人甲乙丙丁 卡乙甲 丙 丁丁 丁 甲丙 甲 丙 思路1：排出所有的分配方案，用窮舉法得本題解. 思路2：甲取乙卡分配方案如表所示，此時(shí)乙有甲、丙、丁3種取法，若乙取甲，則丙取丁，丁取丙，故有3種分配方案. 由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有3+3+3=9種. 思路3：分步法：第一步甲取1張不是自己的卡，有3種取法，第2步由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法，第三步由剩余兩人中任一人去取，此時(shí)，只有一種取法，第四步最后一人取也只有一種

36、取法，所以共有3311=9種. 點(diǎn)撥：這類(lèi)問(wèn)題一般情況是：n 個(gè)編號(hào)為1，2，，n 的小球放入編號(hào)為1，2，，n 的盒子中，而限制第i(i=1，2，，n) 個(gè)球不放入第i 個(gè)盒子里，問(wèn)共有多少種放法? 一般結(jié)論是A-A+A-+(-1)nA.(此點(diǎn)用到下節(jié)排列的知識(shí)) (三)7. 解：(1)34=12種.(2)3+4=7種.(3)76=42種. (四)8. 解：如答圖10-1-2，從M 到A1，A2，A3，A4，A5的走法分別有1，2，3，4，5種，然后從Ai(i=1，2，3，4，5) 到N 的走法都只有一種，所以，由兩個(gè)原理得從M 到N 的走法共有11+21+31+41+51=15種.

37、 點(diǎn)撥：本題求解的關(guān)鍵是把M 到N 分成兩步走. (五)9. 解：支付方法可分為三類(lèi)：第一類(lèi)為只使用10元或只使用5元或只用1元來(lái)支付，有3種方法; 第二類(lèi)是使用其中的兩樣，使用10元和5元的支付與使用10元和1元的支付，都各有1種方法，使用5元和1元的支付有3種方法，若使用10元、5元，1元三樣支付，則只有1個(gè)方法，所以共有3+5+1=9種支付方法. 10.D 點(diǎn)撥：該題是規(guī)劃問(wèn)題，對(duì)于我們是一個(gè)陌生情境，其實(shí)只要把傳遞的最大信息量類(lèi)比成水流量的瓶頸問(wèn)題，即一條水管所流過(guò)的水量等于水管中最窄地方流過(guò)的水量問(wèn)題，而A 到B 所傳遞信息等于每條路線所傳遞的信息量之和，故從A 到B 傳遞的最大信息為3+4+6+6=19. 五、11.C 點(diǎn)撥：由題意，ak1，ak2分別表示第k 號(hào)同學(xué)選舉第1號(hào)，第2號(hào)同學(xué)的情況. 由于所求的是同時(shí)同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)，而ak1ak2即可表示第k 號(hào)同學(xué)是否同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選，若同時(shí)同意，則ak1ak2=1，若不同時(shí)同意，則ak1ak2=0，故所求人數(shù)為. 本題難點(diǎn)在于理解題意，題意一旦讀懂，選項(xiàng)則一目了然了. 12.30 點(diǎn)撥：因直線過(guò)原點(diǎn)，所以C=0，從0，1，2，3，5，7，11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A ，B 兩數(shù)，且順序不同，表示直線不同，所以直線的條數(shù)為65=30.