計量地理學第三章統(tǒng)計分析方法2回歸分析.ppt

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1、第三章 統(tǒng)計分析方法 1 地理要素間的相關分析 2 地理要素間的回歸分析 3 時間序列分析法 4 系統(tǒng)聚類分析方法 5 主成分分析方法 6 馬爾可夫預測方法 7 地理系統(tǒng)的空間趨勢面分析 2 地理要素間的回歸分析 地理回歸分析的意義和作用 一元地理回歸模型的建立 多元地理回歸模型的建立 一、地理回歸分析的意義和作用 相關分析揭示了地理要素之間相互關系的密切程度。 若能在某些難測難控的要素與其他易測易控的要素 之間建立一種近似的函數(shù)表達式，可以比較容易地 通過那些易測易控要素的變化情況，了解那些難測 難控要素的變化情況 回歸分析方法，是研究要素之間具體的數(shù)量關系的 強有力的工具，運用這種方法能夠

2、建立反映地理要 素之間具體的數(shù)量關系的數(shù)學模型，即回歸模型 回歸分析 就是對具有相互聯(lián)系的要素，根據(jù)其聯(lián)系的形 態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模式，用來近似地表 達要素間平均變化關系。這個數(shù)學模式稱為回 歸模型（回歸方程 ） 回歸分析與相關分析的區(qū)別與聯(lián)系 研究對象和內(nèi)容上 : a.相關分析 主要是研究要素（變量）之間是否存 在關系和關系的密切程度，沒有自變量與因變量 之分 b.回歸分析 主要是研究要素之間聯(lián)系的形態(tài)、確 定要素之間關系的方程式，即回歸方程，可用于 對未來進行預測，對某些要素進行控制?；貧w分 析有自變量與因變量之分。回歸分析尚有地理預 測的性質(zhì) 從相關可以獲得回歸的一些重要信息，反之從

3、 回歸也能獲得相關的一些重要信息。故它們之間 是緊密相連的兩個概念 回歸分析的主要內(nèi)容 從一組地理數(shù)據(jù)出發(fā)，確定這些要素（變量）間的定 量數(shù)學表達式，即回歸模型 根據(jù)一個或幾個要素（自變量）的值來預測或控制另 一個要素（因變量）的取值 從某一地理過程中的許多要素中，找出哪些要素（變 量）是主要的，哪些要素是次要的，這些要素之間又 有些什么關系 回歸分析的分類 一元地理回歸模型和多元地理回歸模型 二、一元地理回歸模型的建立 （一）一元地理回歸模型類型的判斷方法 作圖法 差分法 曲度法 計算器法等 作圖法 若將地理要素（ x， y）的數(shù)據(jù)點繪在普通方格紙 上，散點圖呈直線，則一元地理回歸模型為 直

4、線 型 bxay 若將地理要素（ x， y）的數(shù)據(jù)點繪在雙對數(shù)格紙 上，散點圖呈直線，則一元地理回歸模型為 冪函 數(shù)型 bxb L na Axeey xb LnayLn )( )()( 若將地理要素（ x， y）的數(shù)據(jù)點繪在單對數(shù)格紙 上，而其橫坐標取對數(shù)分格，其縱坐標為普通分 格時呈直線，則一元地理回歸模型為 對數(shù)函數(shù)型 )( xbLnay 若將地理要素（ x， y）的數(shù)據(jù)點繪在單對數(shù)格 紙上，而其橫坐標為普通分格，其縱坐標取對 數(shù)分格時呈直線，則一元地理回歸模型為 指數(shù) 函數(shù)型 bxbxa Aeeey bxayLn )( （二）一元線性地理回歸模型的建立 假設有兩個地理要素（變量） x和

5、y， x為自變 量， y為因變量。則一元線性回歸模型的基本 結(jié)構形式為： yBxAy A、 B為選定參數(shù) 1， 2， ， n為 n組觀測數(shù)據(jù)（ x1， y1）， （ x2， y2）， （ xn， yn） 為隨機變量 設 a、 b分別為參數(shù) A和 B的最小二乘估計值，于 是便得到一元線性回歸模型。它是代表 x與 y之 間關系的最佳擬合直線，通常稱為回歸直線 bxay a為常數(shù) ,它就是 y的截距 b為回歸系數(shù)，也就是直線的斜率，它表示在 x中變更一個單 位則在 y中變更 b個單位 b0， 表示要素一齊增加或一齊減小 bF， 則認為回 歸方程效果在此水平下顯著 。 一般地 ， 當 FF1,100.

6、01=1 0.04 0.01* 剩余 （隨機 因素） Q lyy- blxy N-2=10 SQ2=Q/(N-2) =0.157 總計 lyy=y 2-(y) 2/N N-1=11 （三）一元非線性回歸模型的建立 選配曲線的方法 根據(jù)理論分析、過去的經(jīng)驗或觀測數(shù)據(jù)的分布 趨勢與特點，來確定兩個要素之間的曲線類型 及其函數(shù)形式，從而求非線性地理回歸模型的 過程及其方法叫做曲線選配 地理上常見的非線性回歸模型的建立方法 冪函數(shù)型 y=axb 對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù) Lny=Lna+bLnx或 Y A+bX 指數(shù)函數(shù)型 兩個地理要素（變量）之間的指數(shù)函數(shù)表達 式為 Y=aebx或 y=ae-

7、bx， y=abx 兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，則得 Lny=Lna+bx或 Y A+bx 對數(shù)函數(shù)型 y=a+bLnx 則 y a+bX 非線性關系線性化的幾種情況 對于指數(shù)曲線 ， 令 , 可 以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： ， 其中， ； 對于對數(shù)曲線 ， 令 ， ， 可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： ； 對于冪函數(shù)曲線 ， 令 ， ， 可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： 其 中， ； 非線性回歸模型 bxdy e xbay xbay ln xbay bdxy xbay yy ln xx da ln yy xx ln yy ln xx ln da ln 對于雙曲線 ， 令 ， 轉(zhuǎn)化為直線形 式： ； 對于 S型曲線

8、 ，可 轉(zhuǎn)化為直線形式： ； 對于冪乘積 ， 只要 令 ，就可以將其轉(zhuǎn) 化為線性形式 其中， ； x ba y 1 xbay x x xyybay e, 1, e 1 令 xbay kkxxdxy 21 21 kk xxxy 22110 xxyy 1,1 kk xxxxxxyy ln,ln,ln,ln 2211 dln0 對于對數(shù)函數(shù)和 只要令 ，就可以 將其化為線性形式 例 :表 3.2.1給出了某地區(qū)林地景觀斑塊面積 （ area） 與周長 （ perimeter） 的數(shù)據(jù) 。 下面我們建立林地 景觀斑塊面積 A與周長 P之間的非線性回歸模型 。 kk xxxy lnlnln 22110

9、kk xxxy 22110 kk xxxxxxyy ln,ln,ln, 2211 序號 面積 A 周長 P 序號 面積 A 周長 P 1 10 447.370 625.392 42 232 844.300 4 282.043 2 15 974.730 612.286 43 4 054.660 289.307 3 30 976.770 775.712 44 30 833.840 895.980 4 9 442.902 530.202 45 1 823.355 205.131 5 10 858.920 1 906.103 46 26 270.300 968.060 6 21 532.910 1 2

10、97.962 47 13 573.960 1 045.072 7 6 891.680 417.058 48 65 590.080 2 250.435 8 3 695.195 243.907 49 157 270.400 2 407.549 9 2 260.180 197.239 50 2 086.426 266.541 10 334.332 99.729 51 3 109.070 261.818 11 11 749.080 558.921 52 2 038.617 320.396 12 2 372.105 199.667 53 3 432.137 253.335 13 8 390.633 59

11、2.893 54 1 600.391 230.030 14 6 003.719 459.467 55 3 867.586 419.406 表 3.2.1 某地區(qū)各個林地景觀斑塊面積（ m2）與周長（ m） 15 527 620.200 6 545.291 56 1 946.184 198.661 16 179 686.200 2 960.475 57 77.305 56.902 17 14 196.460 597.993 58 7 977.719 715.752 18 22 809.180 1 103.070 59 19 271.820 1 011.127 19 71 195.940 1 15

12、4.118 60 8 263.480 680.710 20 3 064.242 245.049 61 14 697.130 1 234.114 21 46 9416.700 8 226.009 62 4 519.867 326.317 22 5 738.953 498.656 63 13 157.660 1 172.916 23 8 359.465 415.151 64 6 617.270 609.801 24 6 205.016 414.790 65 4 064.137 437.355 25 6 0619.020 1 549.871 66 5 645.820 432.355 26 1 451

13、7.740 791.943 67 6 993.355 503.784 27 31 020.100 1 700.965 68 4 304.281 267.951 28 26 447.160 1 246.977 69 6 336.383 347.136 29 7 985.926 918.312 70 2 651.414 292.235 30 3 638.766 399.725 71 2 656.824 298.473 31 58 5425.100 11 474.770 72 1 846.988 179.866 32 35 220.640 1 877.476 73 1 616.684 172.808

14、 33 10 067.820 497.394 74 1 730.563 172.143 34 27 422.570 1 934.596 75 11 303.970 881.042 35 43 071.550 1 171.413 76 14 019.790 638.176 36 57 585.940 2 275.389 77 9 277.172 862.088 37 28 254.130 1 322.795 78 13 684.750 712.787 38 497 261.000 9 581.298 79 1 949.164 228.403 39 24 255.030 994.906 80 4

15、846.016 324.481 40 1 837.699 229.401 81 521 457.400 7 393.938 41 1 608.625 225.842 82 564 370.800 12 212.410 解 :（ 1）作變量替換，令： ， ，將表 3.2.1 中的原始數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，變換后得到的各新變量對 應的觀測數(shù)據(jù)如表 3.2.2所示。 Ay ln Px ln 序號 y=lnA x=LnP 序號 y=lnA x=LnP 1 9.254 106 6.438 379 42 12.358 13 8.362 186 2 9.678 763 6.417 2 43 8.307 622

16、5.667 487 3 10.340 99 6.653 782 44 10.336 37 6.797 918 4 9.153 019 6.273 258 45 7.508 433 5.323 65 5 9.292 742 7.552 816 46 10.176 19 6.875 294 6 9.977 338 7.168 551 47 9.515 909 6.951 841 7 8.838 07 6.033 226 48 11.091 18 7.718 879 8 8.214 789 5.496 789 49 11.965 72 7.786 364 9 7.723 2 5.284 414 50

17、 7.643 208 5.585 528 10 5.812 135 4.602 457 51 8.042 079 5.567 651 11 9.371 53 6.326 008 52 7.620 027 5.7695 58 表 3.2.2 經(jīng)對數(shù)變換后的數(shù)據(jù) 12 7.771 533 5.296 653 53 8.140 938 5.534 711 13 9.034 871 6.385 013 54 7.378 003 5.438 211 14 8.700 134 6.130 066 55 8.260 386 6.038 839 15 13.176 13 8.786 501 56 7.573

18、626 5.291 597 16 12.098 97 7.993 105 57 4.347 755 4.041 328 17 9.560 748 6.393 579 58 8.984 408 6.573 334 18 10.034 92 7.005 852 59 9.866 399 6.918 821 19 11.173 19 7.051 092 60 9.019 601 6.523 136 20 8.027 556 5.501 457 61 9.595 408 7.118 109 21 13.059 25 9.0150 56 62 8.416 238 5.787 871 22 8.655 0

19、32 6.211 917 63 9.484 759 7.067 248 23 9.031 15 6.028 643 64 8.797 438 6.413 133 24 8.733 113 6.027 773 65 8.309 957 6.080 744 25 11.012 36 7.345 927 66 8.638 671 6.069 247 26 9.583 127 6.674 49 67 8.852 716 6.222 147 27 10.342 39 7.438 951 68 8.367 365 5.590 806 28 10.182 9 7.128 478 69 8.754 063 5

20、.849 717 29 8.985 436 6.822 537 70 7.882 848 5.677 56 30 8.199 4 5.990 776 71 7.884 887 5.698 678 31 13.280 09 9.347 906 72 7.521 311 5.192 213 32 10.469 39 7.537 684 73 7.388 132 5.152 181 33 9.217 099 6.209 381 74 7.456 202 5.148 326 34 10.219 12 7.567 654 75 9.332 909 6.781 105 35 10.670 62 7.065

21、 966 76 9.548 225 6.458 614 36 10.961 03 7.729 906 77 9.135 312 6.759 358 37 10.248 99 7.187 502 78 9.524 037 6.569 182 38 13.116 87 9.167 568 79 7.575 156 5.431 112 39 10.096 38 6.902 648 80 8.485 912 5.782 227 40 7.516 27 5.435 471 81 13.164 38 8.908 416 41 7.383 135 5.419 837 82 13.243 47 9.410 2

22、08 （ 2） 以 x為橫坐標、 y為縱坐標，在平面直角坐標系中 作出散點圖。很明顯， y與 x呈線性關系。 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 5 6 7 8 9 10 Ln P ln A 圖 3.2.2 林地景觀斑塊面積（ A）與周長（ P） 之間的雙對數(shù)關系 （ 3）根據(jù)所得表中的數(shù)據(jù)，運用建立線性 回歸模型的方法，建立 y與 x之間的線性回歸模 型，得到 對應于 （ 3.2.19） 式 ， x與 y的相關系數(shù)高 達 =0.966 5。 （ 4） 將 （ 3.2.19） 還原成雙對數(shù)曲線 ， 即 7505.0505.1 xy （ 3.2.19） 7505.0ln50

23、5.1ln PA （ 3.2.20） xyr 一元線性回歸模型內(nèi)容復習 模型的基本形式 模型參數(shù)的確定 效果檢驗 三、多元地理回歸模型的建立 （一）多要素線性地理回歸模型的建立 1、方法 設某一要素 y受 k個要素 x1， x2， ， xk的影響， 其內(nèi)在聯(lián)系是線性關系，通過 N組觀測，得到一 組地理數(shù)據(jù)為（ y； x1， x2， ， xn ）， 1， 2， ， n。設其數(shù)學結(jié)構模型為 0， 1， ， k為待定參數(shù)， 為隨機變量 kk xxxy 22110 為了估計 ，仍采用最小二乘法，則得回歸模 型為 式中， b0為常數(shù)項， b1， b2， ， bk為偏回 歸系數(shù) kk xbxbxbby 2

24、2110 參數(shù)的確定過程 依最小二乘法原理 2 1 22110 2 1 )( )( n kk n xbxbxbby yyQ 將上式分別對 b0， b1， ， bk求偏導數(shù)，并令其 等于零 ),2,1(,02 02 1 10 kjxyy b Q yy b Q j n j n 方程組（ 3.2.15）式稱為正規(guī)方程組。 引入矩陣 n a n a aka n a kka n a kaakaa n a ka n a n a aa n a kkaa n a aaa n a a n a n a aa n a kkaa n a aa n a a n a n a a n a kka n a aa yxbxbx

25、xbxxbx yxbxxbxbxxbx yxbxxbxxbxbx ybxbxbxnb 1 11 2 2 1 2110 1 1 1 2 1 22 1 2 21210 1 2 1 1 1 1 12 1 211 2 10 1 1 1 11 2 1 2110 )(.)()()( )()()()( )()()()( )()()( （ 3.2.15) knnn k k xxx xxx xxx xxx X 21 32313 22212 1k2111 1 1 .1 1 knnn k k k knkkk n n T xxx xxx xxx xxx xxxx xxxx xxxx XXA 21 32313 2221

26、2 12111 321 2232221 1131211 1 1 1 1 1111 n a ka n a kaa n a kaa n a ka n a kaa n a a n a aa n a a n a kaa n a aa n a n a a n a ka n a a n a a xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxn 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 21 1 2 1 1 1 21 1 2 1 1 1 11 2 1 1 n y y y Y 2 1 n b b b b b 2 1 0 則正規(guī)方程組 （ 3.2.15） 式可以進一步 寫成矩陣形式 BAb n a

27、aka n a aa n a aa n a a nknkkk n n T yy yx yx y y y y y xxxx xxxx xxxx YXB 1 1 2 1 1 1 3 2 1 321 2232221 1131211 1111 求解得 引入記號 YXXXBAb TT 11 )( n a jjiiajiij xxxxLL 1 )( n a aiiaiy yyxxL 1 )( （ 3.2.16） ),2,1,( kji ),2,1( ki 正規(guī)方程組也可以寫成 kk kykkkkk ykk ykk xbxbxbyb LbLbLbL LbLbLbL LbLbLbL 22110 2211 22

28、222121 11212111 )51.2.3( 例如， 某一國家某一經(jīng)濟區(qū)內(nèi)木材生產(chǎn) 指數(shù) y（以 1955年為 100）受該區(qū)森林蓄 積量指數(shù) x1、木材價格指數(shù) x2和運輸距離 指數(shù) x3的影響，如表 5-10所示，試建立 三元線性回歸模型，并檢驗其有無實際 意義 原始數(shù)據(jù)表 編號 1 2 3 4 5 6 7 年份 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 x1 95.5 102.1 97.7 100.0 105.2 101.5 99.3 x2 84.7 103.7 110.9 100.0 100.6 114.7 113.9 x3 30.4 62.0 82.1

29、 100.0 114.0 125.2 140.2 Y 88.4 99.7 95.4 100.0 107.9 108.7 105.5 設所求的線性回歸模型為 3322110 xbxbxbby 其正規(guī)方程組可寫成 及 y y y lblblbl lblblbl lblblbl 3333232131 2323222121 1313212111 3322110 xbxbxbyb 根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算后得到正規(guī)方程組 解此方程得出參數(shù)值 ,從而得到趨勢面方程 920.1488851.8754605.1857597.368 510.312605.1857255.661699.62 390.111597.368

30、699.62483.56 321 321 321 bbb bbb bbb 321 1 0 6 8 9.00 5 7 5 3.02 1 0 7 0.14 7 1 7 7.36 xxxy 2、回歸模型的顯著性檢驗 回歸平方和 U與剩余平方和 Q： 回歸平方和 剩余平方和為 F統(tǒng)計量為 計算出來 F之后，可以查 F分布表對模型進行顯著性檢驗。 k21 x,x,x QULS yy 總 n a n a iyi LbyyU 1 1 2)( n a yyaa ULyyQ 1 2)( )1/( / knQ kUF 2、多元線性回歸模型的顯著性檢驗 QULs yy 總 2 1 )( n yyQ n k i iyi LbyyU 1 1 2)( 若 F0.10（ k， n-k-1） F F0.05（ k， n-k-1），則 反映線性回歸在 0.10水平上顯著，并在 F值右 上角打上一個星號“（ *）” 若 F F0.10（ k， n-k-1），則稱線性回歸不顯著， 它表示 y與 k個自變量的線性關系不密切