2、 ， M 是 A B C 的中點 ， 則從 M 向 BC 所作垂線的 垂足 D 是折弦 A B C 的中點 ， 即 CD AB B D. 下面是運用 “ 截長法 ” 證 明 CD AB BD 的部分證明過程 證明：如圖 ， 在 CB 上截取 CG AB ， 連接 MA ， MB ， MC 和 MG . M 是 A B C 的中點 ， MA M C . 圖 3 任務： ( 1 ) 請按照上面的證明思路 ， 寫出該證明的剩余部分； ( 2) 填空：如圖 ， 已知等邊 A B C 內接于 O ， AB 2 ， D 為 AC 上一點 ， A B D
3、45 ， AE BD 于點 E ， 則 B DC 的周長是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 2 2 解： (1) A C， MBA MGC(SAS)， MB MG.在 MBG 中 ， MD BG， BD GD， CD CG GD AB BD 【解法提示】 如圖 ， 連接 DC ， A B C 為等邊三角形 ， 點 A 為 B A C 的中點 ， BD 和 DC 為 O 中的 兩條弦 ， B DD C ， 又 AE BD ， 垂足 E 為折弦 B DC 的中點 ， C BDC BD DC BC 2 B E BC ， 在 Rt A
4、B E 中 ， A B D 45 ， AB 2 ， AE BE 2 ， B D C 的周長為 2 2 2. 對應訓練 1 (2015山西 )我們解一元二次方程 3x2 6x 0時 ， 可以運用因式分 解法 ， 將此方程化為 3x(x 2) 0， 從而得到兩個一元一次方程： 3x 0或 x 2 0， 進而得到原方程的解為 x1 0， x2 2.這種解法體現的數 學思想是 ( ) A. 轉化思想 B. 函數思想 C. 數形結合思想 D. 公理化思想 A 2 “ 雞兔同籠 ” 源于我國古代孫子算經 ， 其中有這樣一題： “ 今有雞 兔同籠 ， 上有三十五頭 ，
5、 下有九十四足 ， 問雞兔各幾何？ ” 解決這道題 ， 我們通常設雞有 x 只 ， 兔有 y 只 ， 根據題意可列方程組 x y 35 2x 4y 94 ， 這 種解法體現的數學思想是 ( ) A 分類討論思想 B 數形結合思想 C 轉化思想 D 方程的思想 ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 3 ) D 3 ( 2 0 1 6 黔南州 ) 王杰同學在解決問題 “ 已知 A 、 B 兩點的坐標為 A ( 3 ， 2 ) ， B ( 6 ， 5 ) ， 求直線 AB 關于 x 軸的對稱直線 AB 的解析式 ” 時 ， 解法如下：先是建立平面直角坐標
6、系 ( 如圖 ) ， 標出 A 、 B 兩點 ， 并利用軸 對稱性質求出 A 、 B 的坐標分別為 A ( 3 ， 2 ) ， B ( 6 ， 5 ) ；然后設直線 AB 的解析式為 y kx b ( k 0 ) ， 并將 A ( 3 ， 2 ) ， B ( 6 ， 5 ) 代入 y kx b 中 ， 得方程組 3k b 2 6k b 5 ， 解得 k 1 b 1 ， 最后求得直線 A B 的解析式 為 y x 1. 則在解題過程中他運用的數學思想是 ( ) A . 分類討論與轉化思想 B . 分類討論與方程思想 C . 數形結合與整體
7、思想 D . 數形結合與方程思想 ( 導 學號 0 2 0 5 2 6 7 4 ) D 4 (2015山西 )我國古代秦漢時期有一部數學著作 ， 堪稱是世界數學經 典名著它的出現 ， 標志著我國古代數學體系的正式確立它采用按類 分章的問題集的形式進行編排其中方程的解法和正負數加減運算法則 在世界上遙遙領先 ， 這部著作的名稱是 ( ) A. 九章算術 B. 海島算經 C. 孫子算經 D. 五經算術 5 三國時期吳國的數學家趙爽 ， 他創(chuàng)制了一幅 “ 勾股圓方圖 ” ， 用數形 結合的方法給出了勾股定理的詳細證明 ， 這部著作的名稱是 ( ) A 勾股圓方
8、圖 B 幾何原本 C 海島算經 D 算學啟蒙 A A 6 在同一平面直角坐標系中 ， 已知兩點坐標 ， 求在坐標軸上是否存 在一點使得以三點為頂點的三角形是直角三角形 ， 則應分已知兩點的 連線是直角邊和斜邊兩種情況討論 ， 這種解決問題的方法體現的數學 思想是 _____________ 7 數學很多的知識都是以發(fā)明者的名字命名的 ， 如韋達定理、楊輝 三角、費馬點等 ， 你知道平面直角坐標系是由數學家 __________創(chuàng)立 并以他的名字命名的 分類討論 笛卡爾 8 九章算術是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作在它的 “ 方 程 ” 一章里 ， 一次方程組
9、是由算籌布置而成的九章算術中的算籌圖 是豎排的 ， 為看圖方便 ， 我們把它改為橫排 ， 如圖 、圖 . 圖中各行從 左到右列出的算籌數分別表示未知數 x ， y 的系數與相應的常數項把圖 所示的算籌圖用我們現在所熟悉的方程組形式表述出來 ， 就是 3x 2y 19 x 4y 23 . 類似地 ， 圖 所示的算籌圖我們可以表述為 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 5 ) 2x y 114x 3y 27 解析：結合圖 和對應方程組可得圖 對應的第一個方程 x 的系數為 2 ， y 的系數為 1 ， 相
10、加的結果為 11 ；第二個方程 x 的系數為 4 ， y 的系數為 3 ， 相加的結果為 27 ， 所以可列方程組為 2x y 11 4x 3y 27 9 (2016黔西南州 )求兩個正整數的最大公約數是常見的數學問題，中國 古代數學專著 九章算術 中便記載了求兩個正整數最大公約數的一種 方法 更相減損術，術曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子 之數，以少成多，更相減損，求其等也以等數約之”，意思是說，要 求兩個正整數的最大公約數，先用較大的數減去較小的數，得到差，然 后用減數與差中的較大數減去較小數，以此類推，當減數與差相等時， 此時的差 (或減數 )即為這兩個正整
11、數的最大公約數 例如：求 91與 56的最大公約數 解： 91 56 35 56 35 21 35 21 14 21 14 7 14 7 7 所以 ， 91與 56的最大公約數是 7. 請用以上方法解決下列問題： (1)求 108與 45的最大公約數； (2)求三個數 78、 104、 143的最大公約數 (導學號 02052676) 解： (1)108 45 63， 63 45 18， 45 18 27， 27 18 9， 18 9 9 ， 所以 ， 108與 45的最大公約數是 9 (2)( )先求 104與 78的最大公約數 ， 104 78 26， 78 26 52， 52
12、 26 26, 所以 ， 104與 78的最大公約數 是 26. ( )再求 26與 143的最大公約數 ， 143 26 117， 117 26 91， 91 26 65， 65 26 39， 39 26 13， 26 13 13， 所以 ， 26與 143的 最大公約數是 13. 綜上所述 ， 78、 104、 143的最大公約數是 13 10 ( 2 0 1 5 山西 ) 閱讀與計算： 請閱讀以下材料 ， 并完成相應的任務 斐波那契 ( 約 1 1 7 0 1250 ) 是意大利數學家 他研究了一列數 ， 這列數非常 奇 妙 ， 被稱為斐波那契數列 ( 按照一定順序排列著的
13、一列數稱為數列 ) ， 后 來人們在研究它的過程中 ， 發(fā)現了許多意想不到的結果 在實際生活中 ， 很多花朵 ( 如梅花、飛燕草、萬壽菊等 ) 的瓣數恰是斐波那契數列中的數 斐 波那契數列還有很多有趣的性質 ， 在實際生活中也有廣泛的應用 斐波那契數列中的第 n 個數可以用 1 5 ( 1 5 2 ) n ( 1 5 2 ) n 表示 ( 其中 n 1 ) 這是用無理數表示有理數的一個范例 任務： 請根據以上材料 ， 通過計算求出斐波那契數列中的第 1 個數和第 2 個數 ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 7 ) 解：第 1 個數：當 n 1 時 ， 1
14、 5 ( 1 5 2 ) n ( 1 5 2 ) n 1 5 ( 1 5 2 1 5 2 ) 1 5 5 1 ; 第 2 個數：當 n 2 時 ， 1 5 ( 1 5 2 ) n ( 1 5 2 ) n 1 5 ( 1 5 2 ) 2 ( 1 5 2 ) 2 1 5 ( 1 5 2 1 5 2 ) ( 1 5 2 1 5 2 ) 1 5 1 5 1 11 閱讀與計算： 閱讀以下材料 ， 并完成相應的任務 歐拉 ， 瑞士數學家和物理學家 ， 近代數學先驅之一小時候放學回家 常幫父親放羊 ， 一邊放羊 ， 一邊讀書有
15、一天 ， 他發(fā)現羊的數量越來 越多 ， 達到了 100只 ， 羊圈很擁擠后來 ， 歐拉的父親就規(guī)劃出了面積 剛好為 600平方米的土地修建新羊圈 ， 平均每只羊剛好占地 6平方米 ， 即將動工時發(fā)現用來作圍欄的籬笆只有 100米長 ， 若按原計劃建羊圈 ， 就要再添 10米長的材料；要是縮小面積 ， 每只羊的占地面積將會小于 6 平方米此時 ， 見父親一臉無奈 ， 小歐拉卻對父親說： “ 不用增加材 料 ， 也不用縮小羊圈 ， 我還能使羊圈的面積達到最大 ” 任務： 你能用二次函數的知識解釋歐拉是如何修建羊圈 ， 并使羊圈的 面積增大的？ (導學號 02052678) 解：設羊圈的長為
16、x米 ， 則寬為 (50 x)米 ， S x(50 x) x2 50 x (x 25)2 625， 即 x 25時 ， S取得最大值 ， 此時 ， S 625， 即歐拉設計的羊圈的長和寬都為 25米 ， 則材料不用增加 ， 面積達到 了最大值 625且大于 600 12 ( 2 0 1 6 太原一模 ) 閱讀與計算： 請閱讀以下材料 ， 并完成相應的任務 古希臘的幾何學家海倫在他的度量一書中給出了利用三角形的三邊 求三角形面積的 “ 海倫公式 ” ：如果一個三角形的三邊長分別為 a 、 b 、 c ， 設 p a b c 2 ， 則三角形的面積 S p （ p a ）（
17、 p b ）（ p c ） . 我國南宋著名的數學家秦九韶 ， 曾提出利用三角形的三邊求面積的 “ 秦 九韶公式 ” ( 三斜求積術 ) ：如果一個三角形的三邊長 分別為 a 、 b 、 c ， 則 三角形的面積 S 1 4 a 2 b 2 （ a 2 b 2 c 2 2 ） 2 . ( 1 ) 若一個三角形的三邊長分別是 5 ， 6 ， 7 ， 則這個三角形的面積等于 ___ 6 6 ___ ； ( 2 ) 若一個三角形的三邊長分別是 5 、 6 、 7 ， 求這個三角形的面積 ( 導學號 0 2 0 5 2 6 7 9 ) 解： ( 2 ) S 1 4 a 2
18、b 2 （ a 2 b 2 c 2 2 ） 2 1 4 （ 5 ） 2 （ 6 ） 2 （ （ 5 ） 2 （ 6 ） 2 （ 7 ） 2 2 ） 2 1 4 5 6 （ 5 6 7 2 ） 2 1 4 （ 30 4 ） 26 2 . 答：這個三角形的面積是 26 2 13 閱讀材料 ， 回答問題： 中國古代數學著作周髀算經 ( 圖 ) 有著這樣的記載： “ 勾廣三 ， 股修 四 ， 經隅五 ” 這句話的意思是： “ 如果直角三角形兩直角邊為 3 和 4 時 ， 那么斜邊的長為 5 ” 上述記載表明了：在 Rt A B C 中 ， 如果
19、C 90 ， BC a ， AC b ， AB c ， 那么 a ， b ， c 三者之間的數量關系是： a 2 b 2 c 2 . 對于這個數量關系 ， 我國漢代數學家趙爽根據 “ 趙爽弦圖 ” ( 如圖 ， 它是 由八個全等直角三角形圍成的一個正方形 ) ， 利用面積法進行了證明 參考 趙爽的思路 ， 將下面的證明過程補充完整： 證明： S A BC 1 2 ab ， S 正方形 ABDE c 2 , S 正方形 MNPQ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 又 正方形 MNP Q 的面積 ___ _ _ _ _ _ _ _ _
20、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ ， (a b) 2 4 1 2 ab c 2, 整理得 a 2 2 ab b 2 2 ab c 2, ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ( 1 ) 將材料中空缺部分補充完整； ( 2 ) 如圖 ， 把矩形 A B C D 折疊 ， 使點 C 與點 A 重合 ， 折痕為 EF ， 如果 AB 4 ， BC 8 ， 求 BE 的長 ( 導學號 0 2 0 5 2 6 8 0 ) (a b)2 四個全等直角三角形的面積 正方形 AEDB的面積 a2 b2 c2 解： (2)設 BE x， 則 EC 8 x， 由折疊的性質可知 ， AE EC 8 x， 在 Rt ABE中 ， AE2 AB2 BE2， 則 (8 x)2 42 x2， 解得： x 3， 則 BE的長為 3
中考數學總復習 拓展題型 數學思想、歷史背景及材料閱讀課件1.ppt
