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1、數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)與式 整式及其運(yùn)算 1 單項(xiàng)式： 由 _或 _相乘組成的代數(shù)式 叫做單項(xiàng)式 ， 所有字母指數(shù)的和叫做 _， 數(shù)字因數(shù) 叫做 _單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式 2 多項(xiàng)式： 由幾個(gè) _組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式 ， 多 項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè) _， 其中不 含字母的項(xiàng)叫做 _ 3 整式： _統(tǒng)稱為整式 4 同類項(xiàng)： 多項(xiàng)式中所含 _相同并且 _ 也相同的項(xiàng) ， 叫做同類項(xiàng) 數(shù)與字母 字母與字母 單項(xiàng)式的次數(shù) 單項(xiàng)式的系數(shù) 單項(xiàng)式相加 多項(xiàng)式的次數(shù) 常數(shù)項(xiàng) 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式 字母 相同字母的指數(shù) 5 冪的運(yùn)算法則 (m， n都是整數(shù) ， a0， b0) 6 整式乘法 (a b
2、)(a b) a2 b2 7 乘法公式 (1)平方差公式： _； (2)完全平方公式： _ 8 整式除法 (a b)2 a2 2ab b2 1 法則公式的逆向運(yùn)用 法 則 公式既可正向運(yùn)用 ， 也可逆向運(yùn)用當(dāng)直接 計(jì) 算有 較 大困 難時(shí) ， 考 慮 逆向運(yùn)用 ， 可起到化 難為 易的功效 2 整式運(yùn)算中的整體思想 在 進(jìn) 行整式運(yùn)算或求代數(shù)式 值時(shí) ， 若將注意力和著眼點(diǎn)放在 問 題 的整體 結(jié) 構(gòu)上 ， 把一些 緊 密 聯(lián) 系的代數(shù)式作 為 一個(gè)整體來 處 理 借助 “ 整體思想 ” ， 可以拓 寬 解 題 思路 ， 收到事半功倍之效 整體思想最典型的是 應(yīng) 用于乘 法公式中 ， 公式中的
3、字母 a和 b不 僅 可以表示 單項(xiàng) 式 ， 也可以表示多 項(xiàng) 式 ， 如 (x 2y z)(x 2y z) x (2y z)x (2y z) x2 (2y z)2 x2 4y2 4yz z2. 3 乘法公式的常用變形： ( 1 ) a 2 b 2 (a b) 2 2 a b ； ( 2 ) a 2 b 2 (a b) 2 2 a b ； ( 3 ) ( a b) 2 ( a b) 2 4 a b ； ( 4 ) ( a b) 2 (a b) 2 4 ab ； ( 5 ) a 2 b 2 （ a b ） 2 （ a b ） 2 2 ； ( 6 ) 2 ab (a b) 2 (a 2 b 2 )
4、 ； ( 7 ) 4 ab (a b) 2 (a b) 2 . C 1 (2015大連 )計(jì)算 ( 3x)2的結(jié)果是 ( ) A 6x2 B 6x2 C 9x2 D 9x2 2 (2015本溪 )下列運(yùn)算正確的是 ( ) A 5m 2m 7m2 B 2m2m 3 2m5 C ( a2b)3 a6b3 D (b 2a)(2a b) b2 4a2 3 ( 2 0 1 5 丹東 ) 下列計(jì)算正確的是 ( ) A 2a a 3a 2 B 4 2 1 16 C . 9 3 D (a 3 ) 2 a 6 C D D 4 ( 2 0 1 5 沈陽 ) 下列計(jì)算結(jié)果正確的是 ( ) A a 4 a 2 a 8
5、 B (a 5 ) 2 a 7 C (a b) 2 a 2 b 2 D ( ab ) 2 a 2 b 2 5 ( 2 0 1 5 營(yíng)口 ) 下列計(jì)算正確的是 ( ) A | 2| 2 B a 2 a 3 a 6 C ( 3) 2 1 9 D . 12 3 2 6 ( 2 0 1 5 朝陽 ) 下列運(yùn)算正確的是 ( ) A 3x 2 2x 6x 3 B x 6 x 3 x 2 C ( 3 a) 2 3a 2 D (a b) 2 a 2 b 2 C A C 7 ( 2 0 1 5 撫順 ) 下列運(yùn)算正確的是 ( ) A 3a 2 a 3 3a 6 B 5x 4 x 2 4x 2 C ( 2 a 2
6、 ) 3 ( ab ) 8a 7 b D 2x 2 2x 2 0 8 ( 2 0 1 5 遼陽 ) 下列計(jì)算正確的是 ( ) A x 2 x 3 x 6 B x 5 x 5 2x 10 C ( 2 x ) 3 8x 3 D ( 2x 3 ) ( 6x 2 ) 1 3 x D C 9 (2015盤錦 )下列計(jì)算正確的是 ( ) A x4 x4 x16 B ( 2a)2 4a2 C x7 x5 x2 D m2m 3 m6 10 (2015鐵嶺 )下列各式運(yùn)算正確的是 ( ) A a3 a2 2a5 B a3 a2 a C (a3)2 a5 D a6 a3 a3 D 整式的加減運(yùn)算 【 例 1】 (
7、1)(2015連云港 )下列運(yùn)算正確的是 ( B ) A 2a 3b 5ab B 5a 2a 3a C a2a 3 a6 D (a b)2 a2 b2 (2)(本溪模擬 )下列運(yùn)算正確的是 ( C ) A 3a 4b 12a B (ab3)2 ab6 C (5a2 ab) (4a2 2ab) a2 3ab D x12 x6 x2 (3)(丹東模擬 )計(jì)算： 3(2xy y) 2xy _4xy 3y_ 【 點(diǎn)評(píng) 】 整式的加減 ， 實(shí)質(zhì) 上就是合并同 類項(xiàng) ， 有括號(hào)的 ， 先去括 號(hào) ， 只要算式中沒有同 類項(xiàng) ， 就是最后的 結(jié) 果 對(duì)應(yīng) 訓(xùn)練 1 ( 1 ) ( 2 0 1 4 威海 )
8、下列運(yùn)算正確的是 ( ) A 2x 2 x 2 2 x B ( 1 2 a 2 b ) 3 1 6 a 6 b 3 C 3x 2 2x 2 5x 2 D (x 3) 3 x 3 9 ( 2 ) ( 鞍山模擬 ) 如果整式 x n 2 5x 2 是關(guān)于 x 的三次三項(xiàng) 式 ， 那么 n ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 C C ( 3 ) ( 2015 河北 ) 老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程 ， 隨后用手掌捂住了如圖所示的一個(gè)二次三項(xiàng)式 ， 形式如圖： ( 1 ) 求所捂的二次三項(xiàng)式； ( 2 ) 若 x 6 1 ， 求所捂二次三項(xiàng) 式的值 解： 設(shè)所捂的二次三項(xiàng)式為 A ， 根據(jù)
9、題意得： A x 2 5x 1 3x x 2 2x 1 ； 當(dāng) x 6 1 時(shí) ， 原式 7 2 6 2 6 2 1 6 同類項(xiàng)的概念及合并同類項(xiàng) 【 例 2】 (本溪模擬 )若 4xay x2yb 3x2y， 則 a b _3_ 解析： 4xay x2yb 3x2y， 可知 4xay， x2yb， 3x2y 是同類項(xiàng) ， 則 a 2， b 1， 所以 a b 3 【 點(diǎn)評(píng) 】 (1)判斷同 類項(xiàng)時(shí) ， 看字母和相 應(yīng) 字母的指數(shù) ， 與 系數(shù)無關(guān) ， 也與字母的相關(guān)位置無關(guān) ， 兩個(gè)只含數(shù)字的 單項(xiàng) 式 也是同 類項(xiàng) ； (2)只有同 類項(xiàng) 才可以合并 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 1 ) ( 2 0
10、1 5 巴中 ) 若單項(xiàng)式 2x 2 y a b 與 1 3 x a b y 4 是同類項(xiàng) ， 則 a ， b 的值分別為 ( ) A a 3 ， b 1 B a 3 ， b 1 C a 3 ， b 1 D a 3 ， b 1 ( 2 ) ( 錦州模擬 ) 已知一個(gè)多項(xiàng)式與 3x 2 9x 的和等于 3x 2 4x 1 ， 則這個(gè)多項(xiàng)式是 ( ) A 5x 1 B 5x 1 C 13x 1 D 13x 1 A A (2)(2015桂林 )下列計(jì)算正確的是 ( A ) A (a5)2 a10 B x16 x4 x4 C 2a2 3a2 6a4 D b3b 3 2b3 【 點(diǎn)評(píng) 】 (1)冪 的運(yùn)
11、算法 則 是 進(jìn) 行整式乘除法的基 礎(chǔ) ， 要熟 練 掌握 ， 解 題時(shí) 要明 確運(yùn)算的 類 型 ， 正確運(yùn)用法 則 ； (2)在運(yùn)算的 過 程中 ， 一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號(hào)的 處 理 冪的運(yùn)算 【例 3 】 ( 1 ) ( 錦州模擬 ) 下列運(yùn)算正確的是 ( B ) A (a 2 ) 5 a 7 B a 2 a 4 a 6 C 3a 2 b 3 ab 2 0 D ( a 2 ) 2 a 2 2 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (1)(2015衢州 )下列運(yùn)算正確的是 ( ) A a3 a3 2a6 B (x2)3 x5 C 2a6 a3 2a2 D x3x 2 x5 D ( 2 ) ( 撫順模擬 ) 計(jì)算
12、 ( 1 2 xy 2 ) 3 ， 結(jié)果正 確的是 ( ) A . 1 4 x 2 y 4 B 1 8 x 3 y 6 C . 1 8 x 3 y 6 D 1 8 x 3 y 5 B 整式的混合運(yùn)算及求值 【例 4 】 ( 本溪模擬 ) 先化簡(jiǎn) ， 再求值 ： (2 a) ( 2 a) a (a 5b) 3a 5 b 3 ( a 2 b ) 2 ， 其中 ab 1 2 . 解：原式 4 a 2 a 2 5 ab 3 ab 4 2 ab ， 當(dāng) ab 1 2 時(shí) ， 原式 4 1 5 【點(diǎn)評(píng)】 注意多 項(xiàng) 式乘多 項(xiàng) 式的運(yùn)算中要做到不重不漏 ， 應(yīng) 用 乘法公式 進(jìn) 行 簡(jiǎn) 便 計(jì) 算 ， 另
13、外去括號(hào) 時(shí) ， 要注意 符號(hào)的 變 化 ， 最后把所得式子化 簡(jiǎn) ， 即合并同 類項(xiàng) ， 再代 值 計(jì) 算 A 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 (2015北京 )已知 2a2 3a 6 0.求代數(shù)式 3a(2a 1) (2a 1)(2a 1)的值 解： 2a2 3a 6 0， 即 2a2 3a 6， 原式 6a2 3a 4a2 1 2a2 3a 1 6 1 7 乘法公式 【 例 5】 (1)(2015遵義 )下列運(yùn)算正確的是 ( D ) A 4a a 3 B 2(2a b) 4a b C (a b)2 a2 b2 D (a 2)(a 2) a2 4 (2)(2015邵陽 )已知 a b 3， ab 2， 則
14、a2 b2的值為 ( C ) A 3 B 4 C 5 D 6 【 點(diǎn)評(píng) 】 (1)在利用完全平方公式求 值時(shí) ， 通常用到以下幾種 變 形： a2 b2 (a b)2 2ab； a2 b2 (a b)2 2ab； (a b)2 (a b)2 4ab； (a b)2 (a b)2 4ab. 注意公式的 變 式及整體代入的 思想 (2)算式中的局部直接使用乘法公式、 簡(jiǎn) 化運(yùn)算 ， 任何 時(shí) 候都要 遵循先化 簡(jiǎn) ， 再求 值 的原 則 3 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 5 ( 1 ) ( 2 0 1 5 衡陽 ) 已知 a b 3 ， a b 1 ， 則 a 2 b 2 的值 為 _ _ _ _ ( 2 ) ( 葫
15、蘆島模擬 ) 已知多項(xiàng)式 A (x 2) 2 (1 x ) ( 2 x ) 3. 化簡(jiǎn)多項(xiàng)式 A ； 若 (x 1) 2 6 ， 求 A 的值 解： A (x 2) 2 (1 x ) ( 2 x ) 3 x 2 4x 4 2 2x x x 2 3 3x 3 (x 1) 2 6 ， 則 x 1 6 ， A 3x 3 3 ( x 1) 3 6 2.冪運(yùn)算易出現(xiàn)的錯(cuò)誤 ) 試題 計(jì)算： x3x 5； x4x 4； (am 1)2； ( 2a2b)2； (m n)6 (n m)3. 錯(cuò)解 x3x 5 x3 5 x15； x4x 4 2x4； (am 1)2 a2m 1； ( 2a2b)2 22a4b2
16、； (m n)6 (n m)3 (m n)6 3 (m n)3. 剖析 冪 的四種運(yùn)算 (同底數(shù) 冪 相乘、 冪 的乘方、 積 的乘方、同 底數(shù) 冪 相除 )是學(xué) 習(xí) 整式乘除的基 礎(chǔ) ，對(duì)冪 運(yùn)算的性 質(zhì) 理解不深刻 ，記憶 不牢固 ， 往往會(huì)出 現(xiàn)這樣 或那 樣 的 錯(cuò)誤針對(duì) 具體 問題 要 分清 問題 所 對(duì)應(yīng) 的基本形式 ， 以便合理運(yùn)用法 則 ， 對(duì) 符號(hào)的 處 理 ， 應(yīng) 特 別 引起 重 視 正解 x3x 5 x3 5 x8； x4x 4 x4 4 x8； (am 1)2 a(m 1) 2 a2m 2； ( 2a2b)2 ( 2)2a4b2 4a4b2； (m n)6 (n m)3 (n m)6 (n m)3 (n m)3
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