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1、數(shù)學(xué) 分式及其運(yùn)算 第一章 數(shù)與式 1 分式的基本概念 (1) 形如 的式子叫分式； (2) 當(dāng) 時(shí) ， 分式 A B 有意義； 當(dāng) 時(shí) ， 分式 A B 無意義； 當(dāng) 時(shí) ， 分式 A B 的值為零 2 分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母都乘 ( 或除以 ) ， 分式的值不 變 ， 用式子表示為 A B ( A ， B 是整式 ， 且 B 中含有字母 ， B 0 ) B0 B 0 A 0且 B0 同一個(gè)不等于零的整式 A B A M B M ， A B A M B M ( M 是不等于零的整式 ) 4 最簡(jiǎn)分式 如果一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式 ， 那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn) 分式 5 分式的約分
2、、通分 把分式中分子與分母的公因式約去 ， 這種變形叫做約分 ， 約分的 根據(jù)是分式的基本性質(zhì) 把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式 ， 這種變 形叫做分式的通分 ， 通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)通分的關(guān)鍵是 確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母 6 分式的混合運(yùn)算 在分式的混合運(yùn)算中 ， 應(yīng)先算乘方 ， 再將除法化為乘法 ， 進(jìn)行約 分化簡(jiǎn) ， 最后進(jìn)行加減運(yùn)算若有括號(hào) ， 先算括號(hào)里面的靈活運(yùn) 用運(yùn)算律 ， 運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式 1 分式與分?jǐn)?shù)有許多類似的地方 ， 因此在分式的學(xué)習(xí)中 ， 要注 意與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)理解 2 分式運(yùn)算中的常用技巧 分式運(yùn)算 題 型多 ， 方法活 ， 要
3、根據(jù)特點(diǎn)靈活求解如： 分 組 通 分； 分步通分； 先 “ 分 ” 后 “ 通 ” ； 重新排序； 整體通分 ； 化 積為 差 ， 裂 項(xiàng) 相消 3 分式求值中的常用技巧 分式求 值 可根據(jù)所 給 條件和求 值 式的特征 進(jìn) 行適當(dāng)?shù)?變 形、 轉(zhuǎn) 化 主要有以下技巧： 整體代入法； 參數(shù)法； 平方法； 代入 法； 倒數(shù)法 1 ( 2015 常州 ) 要使分式 3 x 2 有意義 ， 則 x 的取值范圍是 ( ) A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 2 ( 2015 麗水 ) 分式 1 1 x 可變形為 ( ) A 1 x 1 B. 1 x 1 C 1 x 1 D. 1 x 1 D
4、 D 3 ( 2015 濟(jì)南 ) 化簡(jiǎn) m 2 m 3 9 m 3 的結(jié)果是 ( ) A m 3 B m 3 C. m 3 m 3 D. m 3 m 3 4 ( 2015 江西 ) 下列運(yùn)算正確的是 ( ) A (2 a 2 ) 3 6 a 6 B a 2 b 2 3 ab 3 3 a 2 b 5 C. b a b a b a 1 D. a 2 1 a 1 a 1 1 A C 5 (2015萊蕪 )甲乙兩人同時(shí)從 A地出發(fā)到 B地 ， 如果甲的速度 v 保持不變 ， 而乙先用 v的速度到達(dá)中點(diǎn) ， 再用 2v的速度到達(dá) B地 ， 則下列結(jié)論中正確的是 ( ) A 甲乙同時(shí)到達(dá) B地 B 甲先到
5、達(dá) B地 C 乙先到達(dá) B地 D 誰先到達(dá) B地與速度 v有關(guān) B 【例 1 】 (1) ( 2016 原創(chuàng) ) 下列各式中 ， 屬于分式的是 ( ) A. x 1 2 B. 3 x 1 C. 2 x 5 D. 2 3 ( a b ) (2) ( 2015 金華 ) 要使分式 1 x 2 有意義 ， 則 x 的取值應(yīng)滿足 ( ) A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 B D (3) ( 2015 衡陽 ) 若分式 x 2 x 1 的值為 0 ， 則 x 的值為 ( ) A 2 或 1 B 0 C 2 D 1 C 【點(diǎn)評(píng)】 (1) 根據(jù)分式定 義 ：形如 A B ( A ， B 表示兩
6、個(gè)整式 ) ， 且 B 中含 有字母 ， 則 式子 A B 叫做分式； (2) 分式有意 義 就是使分母不 為 0 ， 解不等式即可求出 ， 有 時(shí)還 要考 慮 二次根式有意 義 ； ( 3) 首先求出使分子 為 0 的字母的 值 ， 再 檢驗(yàn)這 個(gè)字母的 值 是否使分母 的 值為 0 ， 當(dāng)它使分母的 值 不 為 0 時(shí) ， 這 就是所要求的字母的 值 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 1) 如果代數(shù)式 x x 1 有意義 ， 那么 x 的取值范圍是 ( ) A x 0 B x 1 C x 0 D x 0 且 x 1 (2) 當(dāng) x _ _ 時(shí) ， 分式 | x | 3 x 3 的值為 0. D 3 【例
7、2 】 (1) 如果把 5 x x y 的 x 與 y 都擴(kuò)大 10 倍 ， 那么這個(gè)代數(shù)式的值 ( ) A 不變 B 擴(kuò)大 50 倍 C 擴(kuò)大 10 倍 D 縮小到原來的 1 10 (2) ( 2015 益陽 ) 下列等式成立的是 ( ) A. 1 a 2 b 3 a b B. 2 2 a b 1 a b C. ab ab b 2 a a b D. a a b a a b A C (3) ( 2014 濟(jì)寧 ) 已知 x y xy ， 求代數(shù)式 1 x 1 y (1 x)(1 y) 的值 解： x y xy ， 1 x 1 y ( 1 x )( 1 y ) y x xy ( 1 x y xy
8、 ) x y xy 1 x y xy 1 1 0 0 【 點(diǎn)評(píng) 】 (1)分式的基本性 質(zhì) 是分式 變 形的理 論 依據(jù) ， 所有分 式 變 形都不得與此相 違 背 ， 否 則 分式的 值 改 變 ； (2)將分式化 簡(jiǎn) ， 即 約 分 ， 要先找出分子、分母的公因式 ， 如果 分子、分母是多 項(xiàng) 式 ， 要先將它 們 分 別 分解因式 ， 然后再 約 分 ， 約 分 應(yīng)徹 底； (3)巧用分式的性 質(zhì) ， 可以解決某些 較 復(fù) 雜 的 計(jì) 算 題 ， 可 應(yīng) 用逆 向思 維 ， 把要求的算式和已知條件由兩 頭 向中 間 湊的方式來求代數(shù) 式的 值 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 1) 下列計(jì)算錯(cuò)誤的是 (
9、 ) A. 0.2 a b 0.7 a b 2 a b 7 a b B. x 3 y 2 x 2 y 3 x y C. a b b a 1 D. 1 c 2 c 3 c (2) ( 2015 河北 ) 若 a 2b 0 ， 則 a 2 b 2 a 2 ab 的值為 _ _ A 3 2 【例 3 】 ( 20 15 宜賓 ) 化簡(jiǎn)： ( 1 a 1 1 a 2 1 ) a 2 a a 2 1 . 解：原式 a 1 1 （ a 1 ）（ a 1 ） （ a 1 ）（ a 1 ） a （ a 1 ） a （ a 1 ）（ a 1 ） （ a 1 ）（ a 1 ） a （ a 1 ） 1 a 1 【點(diǎn)
10、評(píng)】 ( 1) 分式的加減運(yùn)算要把分子作 為 一個(gè)整體 進(jìn) 行加減 ， 當(dāng)分子是多 項(xiàng) 式 時(shí) ， 一定要添加括號(hào)； (2) 分式化 簡(jiǎn)時(shí) ， 分子分母能因式分解的一定先因式分解 ， 既可方便確定最 簡(jiǎn) 公分母 ， 又有利于 約 分達(dá)到 簡(jiǎn) 化 運(yùn)算的效果； ( 3) 乘除法是同 級(jí) 運(yùn)算 ， 必 須嚴(yán) 格按照從左到右的 順 序 ， 切不可先乘后除 ， 如 a b 1 b a 是 錯(cuò)誤 的 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 1) 化簡(jiǎn)： ( 2015 瀘州 ) m 2 m 2 2m 1 ( 1 1 m 1 ) ； (2) ( 2015 連云港 ) 化簡(jiǎn)： (1 1 m 1 ) m 2 4 m 2 m . 解
11、： ( 1 ) 原式 m 2 （ m 1 ） 2 m 1 1 m 1 m 2 （ m 1 ） 2 m 1 m m m 1 解：原式 m 2m 1 m （ m 1 ）（ m 2 ）（ m 2 ） mm 2 【例 4 】 ( 2015 牡丹江 ) 先化簡(jiǎn)： (x 4 x x 1 ) x 2 4x 4 x 1 ， 其中的 x 選一 個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值 解：原式 x （ x 1 ） 4 x x 1 x 1 （ x 2 ） 2 （ x 2 ）（ x 2 ） x 1 x 1 （ x 2 ） 2 x 2 x 2 ， 當(dāng) x 1 時(shí) ， 原式 1 3 【 點(diǎn)評(píng) 】 分式化 簡(jiǎn) 求 值時(shí) ， 應(yīng) 注意：當(dāng)自主確
12、定代數(shù)式中字母 的取 值時(shí) ， 一定要注意所 選 取的 值 不能使原分式中的分母 為 0； 另外可整體代入 計(jì) 算的要整體代入 ， 以達(dá)到 簡(jiǎn) 便 計(jì) 算的目的 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 1) ( 2014 十堰 ) 已知 a 2 3a 1 0 ， 則 a 1 a 2 的值為 ( ) A. 5 1 B 1 C 1 D 5 (2) ( 2015 黔東南州 ) 先化簡(jiǎn) ， 再求值： m 3 3m 2 6m ( m 2 5 m 2 ) ， 其中 m 是方程 x 2 2x 3 0 的根 B 解： m 3 3m 2 6m ( m 2 5 m 2 ) m 3 3m （ m 2 ） （ m 3 ）（ m 3 ） m
13、 2 1 3m （ m 3 ） x 2 2x 3 0 ， ( x 3 )( x 1 ) 0 ， 解得 x 1 3 ， x 2 1 ， m 是方程 x 2 2x 3 0 的根 ， m 1 3 ， m 2 1 ， m 3 0 ， m 3 ， m 1 ， 所以原式 1 3m （ m 3 ） 1 3 1 （ 1 3 ） 1 12 試題 ( 2014 河南 ) 先化簡(jiǎn) ， 再求值： x 2 1 x 2 x ( 2 x 2 1 x ) ， 其中 x 2 1 審題視角 本 題 考 查 分式的化 簡(jiǎn) 及求 值 ， 針對(duì) 本 題 ， 應(yīng) 從運(yùn)算 順 序上入 手即先 計(jì) 算括號(hào)里的分式加法 ， 再將除法 轉(zhuǎn) 化
14、為 乘法 ， 最后 約 分化 簡(jiǎn) ， 代入 x 的 值進(jìn) 行 計(jì) 算 規(guī)范答題 解：原式 （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） ( 2x x 2 1 x ) （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） x （ x 1 ） 2 1 x 1 當(dāng) x 2 1 時(shí) ， 原式 1 2 1 1 2 2 答題思路 分式化 簡(jiǎn) 求 值 的一般步 驟 第一步：若有括號(hào)的 ， 先 計(jì) 算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算 ， 括號(hào)內(nèi)如果是異 分母加減運(yùn)算 時(shí) ， 需將異分母分式通分化 為 同分母分式運(yùn)算 ， 然 后將分子合并同 類項(xiàng) ， 把括號(hào)去掉 ， 簡(jiǎn) 稱： 去括號(hào) ； 第二步：若有除法運(yùn)算的 ， 將分式中除號(hào)
15、( )后面的式子分子 、分母 顛 倒 ， 并把 這 個(gè)式子前的 “ ” 變?yōu)?“ ” ， 保 證 幾個(gè)分 式之 間 除了 “ 、 ” 就只有 “ 或 ” ， 簡(jiǎn) 稱： 除法變乘法 ； 第三步： 計(jì) 算分 式乘法運(yùn)算 ， 利用因式分解、 約 分來 計(jì) 算乘法 運(yùn)算 ， 簡(jiǎn) 稱： 先算乘法 ； 第四步：最后按照式子 順 序 ， 從左到右 計(jì) 算分式加減運(yùn)算 ， 直 到化 為 最 簡(jiǎn) 形式 ， 簡(jiǎn) 稱： 再算加減 ； 第五步：將所 給 數(shù) 值 代入求 值 ， 代入數(shù) 值時(shí) 要注意使原分式有 意 義 ，簡(jiǎn) 稱： 代入求值 試題 ( 2015 煙臺(tái) ) 先化簡(jiǎn)： x 2 x x 2 2x 1 ( 2 x
16、 1 1 x ) ， 再從 2 x 3 的范 圍內(nèi)選取一個(gè)你最喜歡的值代入 ， 求值 錯(cuò)解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當(dāng) x 0 時(shí) ， 原式 0. 剖析 ( 1) 由于 x 的 值 是根據(jù)自己的理解情況 給 出的 ， 所以此 題 是一道 開放型的 試題 ， 但在 選擇 x 的 值時(shí) ， 一定注意所 選擇 的 x 的 值 要保 證 原分式 有意 義 ； ( 2) 在 選擇 x 的 值時(shí) ， 注意 x 除不能取 0 ， 1 外 ， 取其他 值 均可 正解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 當(dāng) x 2 時(shí) ， 原式 4
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