《橢圓的幾何性質》教學設計

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1、 《橢圓的幾何性質》教學設計 黃小潔 【教材分析】 教材的地位和作用地位：本節(jié)課是在橢圓的概念的基礎上，介紹橢圓簡單幾何性質及簡單應用 . 本節(jié)課內容的掌握程度直接影響學習雙曲線和拋物線幾何性質。作用：提高學生的數(shù)學素質,培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想，及分析問題和解決問題的能力。因此，內容在解析幾何中占有非常重要的地位。 【教學目標】 1.知識目標： (1).使學生掌握橢圓的性質，能根據(jù)性質正確地做出橢圓草圖；掌握橢圓中 a、b、c的幾何意義及相互關系； (2) 通過對橢圓標準方程的討論，使學

2、生知道在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質的，逐步領會解析法（坐標法）的思想。 (3) 能利用橢圓的性質解決實際問題。 2.能力目標： 培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數(shù)形結合思想解決 實際問題的能力。 3.情感目標： 通過對問題的探究活動，親歷知識的建構過程，使學生領悟其中所蘊涵 的數(shù)學思想和數(shù)學方法，體驗探索中的成功和快樂，使學生在探索中喜歡數(shù)學、欣賞數(shù)學。 【教學重點】橢圓性質的探索過程及性質的運用。 【教學難點】利用曲線方程研究橢圓性質的方法及離心率的概念。 【教學方法】發(fā)現(xiàn)探究式 【教學組織方式】學生獨立思考、合作交流、師生共同探究相結合。

3、 【教學工具】多媒體課件、實物投影儀。 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境 教師：2008.9.25，是我國航天史上一個非常重要的日子，“神舟七號”載人飛船成功發(fā)射，實現(xiàn)了幾代中國人遨游太空的夢想,這是我們中華民族的驕傲。 我們知道，飛船繞地運行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中 心為一個焦點的橢圓軌道運行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠的距 離，即近地點距地面的距離和遠地點距地面的距離，如何確定飛船運行的軌道方 程？要想解決這一實際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起 探求橢圓的性質。（引出課題） 教師：前面我們學習了橢圓的定義和標準方程，誰

4、能說說橢圓的標準方程（學生回答）。 二、探索研究 同學們展示預習導圖： 1. 范圍 教師：同學們觀察橢圓，如果分別過A1、A2作y軸的平行線，過B1、B2作x軸的平行線（課件展示），同學們能發(fā)現(xiàn)什么？ 學生能答出：橢圓圍在一個矩形內。 教師補充完整：橢圓位于四條直線x=a, y=b所圍成的矩形里，說明橢圓是有范圍的。 教師：下面我們想辦法再用方程+=1(a>b>0)來證明這一結論的正確性。啟發(fā)學生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。 從方程的結構特點出發(fā)，師生共同分析，給出證明過程。 由+=1，利用兩個實數(shù)的平方和為1，結合不等式知識得， x≤a

5、且y≤b,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。 2．對稱性的發(fā)現(xiàn) 教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦 點所在的直線上下對折，沿兩焦點連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質？（學生動手折紙，課前教師要求學生把上節(jié)學習橢圓定義時畫的橢圓拿來。） 學生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對稱性。 教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？ 稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對稱性。 3.頂點的發(fā)現(xiàn)與確定 教師：我們研究曲線，常常需要根據(jù)曲線上特殊點的位置來確定曲線的位置。 教師提問：你認為橢圓上哪幾個點比較特殊？ 由學生觀察容易發(fā)現(xiàn)

6、，橢圓上存在著四個特殊點，這四個點就是橢圓與坐標 軸的交點，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點。 教師啟發(fā)學生與一元二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點作類比，并給出橢圓的頂點定義。 教師：能根據(jù)方程確定這四個頂點的坐標嗎？ 由學生自主探究,求出四個頂點坐標。即令x=0,得 y=b，因此B1(0,-b), B2(0,b) ，令y=0，得x=a，因此A1 (-a,0), A2(a,0)。 結合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點明方程中a、b和c的幾何意義和數(shù)量關系。 由學生探究得出橢圓的一個焦點F2到長軸兩端點A1 , A2的距離分別為a+c和a-c。教師指

7、出，這在解決天體運行中的有關實際問題時經(jīng)常用到。 4．離心率 教師：我們在學習橢圓定義時，用同樣長的一條細繩畫出的橢圓形狀都一樣 嗎？ 小組合作探究：講全班多個小組分為兩部分，分別為理論組和實踐組，理論組利用計算的方法論證e對橢圓的影響，實踐組利用畫圖的方法作圖說明。 師生共同總結：e對橢圓的影響 三、鞏固與創(chuàng)新應用 例1求橢圓 的長軸長、短軸長、離心率和頂點。 例2 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程： （1） a=4,焦點為F1（-3,0）,F2（3,0）； （2） b=6,焦點為F1（0,5 ）,F2（0,-5）. 解題思路指引： 四、課堂小結 1.知識總結:本節(jié)課我們討論了橢圓的四個簡單性質,掌握這些性質是解決有關問題的基礎。 2.數(shù)學思想:本節(jié)主要用到數(shù)形結合、猜想、類比的思想方法，平時學習中 注意運用。 3.數(shù)學方法:掌握利用曲線方程研究曲線性質的重要方法——解析法（坐標法），這種方法不僅適用于橢圓也適用于后續(xù)課程中的其它曲線。 橢圓性質的思維導圖： 【教學后記】 通過利用思維導圖設計教學，學生的思路更加清晰，對學習內容的把握更加容易，利用導圖進行總結和復習是數(shù)學復習的一大優(yōu)勢，學生可以進行思維拓展，有利于理解和記憶，快速形成知識網(wǎng)，教學效果較好。