分片實驗與有限元法

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1、分片實驗與有限元法 摘要：本文提出分片試驗在有限元法中有著重要的作用，它是近代有限元發(fā)展的一個主要特色。得出分片試驗對位移函數(shù)和應變函數(shù)的要求，這些要求便是一個好的有限元法所應保證的；分析了幾何方程弱形式與分片試驗的關系，借此分析了雜交元、擬協(xié)調(diào)元如何滿足這些要求，以及在滿足這些要求的同時產(chǎn)生的對其他條件的影響；分析了精化直接剛度法、廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法如何保證分片試驗的滿足；最后作為位移條件的應用例子，改進了BCIZ元。關鍵詞：分片試驗，弱形式，網(wǎng)線函數(shù)，有限元法 1 引言 連續(xù)問題極大地推動了有限元的發(fā)展，目前，成熟的構(gòu)造單元的方法有傳

2、統(tǒng)的位移法有限元[1]、應力雜交元[4]、雜交混合元[5]、擬協(xié)調(diào)元[2][3]、廣義協(xié)調(diào)元[6]、雙參數(shù)法[7]、精化直接剛度法[8]等多種。有些方法在上已有證明，但這些方法的更為完善的證明仍是一個課題，而且其數(shù)學證明還很難被研究力學的人們所理解。人們?nèi)员容^普遍以事后的分片試驗來驗證單元的收斂性。盡管當前仍有對分片試驗的討論，但以往的大量實踐說明：通過分片試驗的單元使用起來是令人放心的。通過分片試驗是絕大多數(shù)有限元分析方法的共同點，近期有限元的發(fā)展可以說是以分片試驗為一個主要內(nèi)涵的發(fā)展。 眾所周知，分片試驗是與單元間的位移協(xié)調(diào)性密切相關的。人們在進行有限元分析時，不可避免的涉及了單元

3、間的協(xié)調(diào)關系，這種協(xié)調(diào)關系與兩個單元有關，文[4][5]采用了單元邊界上的的位移插值函數(shù)，文[9]把這種位移插值函數(shù)成為“網(wǎng)線函數(shù)”。正式這種所謂的“網(wǎng)線函數(shù)”的采用，單元間的協(xié)調(diào)問題可以在單元內(nèi)獨立考慮。目前成功解決 連續(xù)問題的有限元法均有意或無意地使用了這種網(wǎng)線函數(shù)。本文通過網(wǎng)線函數(shù)給出了分片試驗對應變和位移的要求。 目前對各種有限元法分析的方法均是在單元一級上采用變分原理，從而得到單元的應變（或應力）的，由結(jié)點位移為參數(shù)表達的表達式，再把它們代入最小勢能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應變（或應力）的做法上不同，好的有限元法得到的應變表達式已滿足了通過分片實驗所應滿足的條件。

4、 2 分片的要求 因有限元法最終列出的是勢能的方程，因此分片試驗可以看作：在常應變情況下，位移的不協(xié)調(diào)部分對勢能無貢獻，在薄板彎曲問題中，可如下表達： (1) 其中,A：單元域， 為位移的不協(xié)調(diào)部分,有： (2) 為位移， 為位移的協(xié)調(diào)部分。 方程(1)可以理解為：在常內(nèi)力情況下，不協(xié)調(diào)位移對應變能無貢獻。把(2)式代入方程(1) (3) 對(3)式中的 項應用格林公式，并應用坐標變換公式： (4) 其中 、 分別為位移協(xié)調(diào)部分在單元邊界的法向和切向的導數(shù)，即為文中的網(wǎng)線函數(shù)， 、 為單元邊界外法

5、線的方向余弦。對含 的項再分步積分得： （ >r時 ）(5) r表示單元的邊數(shù)， 表示結(jié)點的位移參數(shù)。對(3)中的含 項也進行分步積分并整理有： (6) 同樣，對 項再分步積分得： (7) ai、bi、ci為由各邊的nx與ny組成的參數(shù)， 表示位移函數(shù)在結(jié)點處的值。 (4)、(5)、(6)、(7)便是通過分片檢驗所需滿足的方程。 (4)、(5)是從應變的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為應變約束條件；(6)、(7)是從位移的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應用

6、了這些條件。 傳統(tǒng)的位移法構(gòu)造的協(xié)調(diào)元自動滿足了上述各式，下面對其它有限元分析方法進行分類分析。 3 使用應變約束的有限元法 方程(4)、(5)是對應變的要求，沒有涉及剛體位移，同時應力和應變之間只有一個線性關系，所以，假設應變或應力的有限元法都應滿足這兩個方程。 方程(4)、(5)表達的是應變與位移之間的關系，它們必然與彈性力學的幾何方程： (8) 有著密切的關系。把幾何方程(3.1)寫成弱形式： (9) 、 、 為權(quán)函數(shù)，應用兩次格林公式變換上述方程： (10) 在上式中，單元邊界上的 、 、 分別以它們對應

7、的網(wǎng)線函數(shù) 、 、 代替： (11) 如果方程(11)中 、 、 是應力的變分，即滿足了齊次的平衡方程： (12) 則方程(12)變?yōu)椋? (13) 此即為薄板彎曲問題在單元上的最小余能原理的變分方程。 方程(11)與(13)便是連續(xù)性方程弱形式中的兩個典型形式。在方程(11)與(13)中當 、 、 分別取常數(shù)，另兩個為零時，便可得到方程(4)或(5)，即符合分片試驗的要求。 擬協(xié)調(diào)元與雜交混合元便是采用方程(11)對應變或應力進行離散，而應力雜交元采用的是(13)式。不同的是應力雜交元與雜交混合元是由假設應力出發(fā)，而

8、擬協(xié)調(diào)元是由假設應變?nèi)胧?。而應力與應變之間的關系只是一個線性變換，如果應力與應變設在同一空間，僅是設應力與設應變的不同是不會影響最終結(jié)果的。 從方程(11)與(13)的來源(9)式可以看出，幾類單元中的應變（或應力）只在較弱的意義上滿足相容方程。因平衡方程與連續(xù)性方程是一對對偶的微分方程組，有限元法中已經(jīng)使用了平衡方程的弱形式—最小勢能原理，這里使用了連續(xù)性方程的弱形式也許更為合理。可以驗證，單元應變滿足相容條件的強形式與弱形式對單元的精度一般影響不大。 由以上討論可見，在有限元分析中選常數(shù)作檢驗函數(shù)是保證單元通過分片檢驗的關鍵。而這一點在以上提到的三種有限元法中都能自然得到滿足。

9、構(gòu)造三角形單元時，常取面積坐標作為檢驗函數(shù)基，因三個面積坐標之和為1，固在離散每個應變時，檢驗函數(shù)應取遍三個面積坐標，這樣便保證了檢驗函數(shù)為常數(shù)時式(5)或(6)成立。 精化直接剛度法雖然從設位移出發(fā)，但又對應變矩陣進行了修正。以下討論其應變的改進作用。 在方程(4)的兩邊同時除以單元的面積 ，變?yōu)椋? (14) 上式表達了單元的平均應變所應滿足的方程?？砂焉鲜綄懗扇缦戮仃囆问剑? (15) 其中 與文[7]中相一致， 為結(jié)點參數(shù)矢量。一般的有限元法得到的應變表達式： (16) 其單元的平均應變： (17) 不一定滿

10、足式(14)，因此把平均應變進行修正，即換成式(18)中表達的所需形式，修正后的應變陣為： (18) 這樣便保證了單元能夠通過分片檢驗。此外，得到 時還可使用(6)式，從而得到與式(14)不盡相同的形式。 因此，可以說精化直接剛度法是通過修正單元的平均應變，使其通過分片試驗的有限元分析方法。精化直接剛度法實施起來是巧妙而方便的。 4 使用位移約束的有限元法 使用位移約束方程的方式有兩種：第一種是位移的廣義參數(shù)的個數(shù)不增加，改變以往的采用結(jié)點參數(shù)確定各廣義參數(shù)的方法，廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法便是采用這種方法；第二種方法是采用增加位移中的廣義參數(shù)的做法。此外兩種做法也可

11、混合使用。 4.1 廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法 方程(6)、(7)反映了分片檢驗對位移函數(shù)的要求，與其相應的有限元法是廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法。從(6)、(7)可以看出，若使單元通過分片檢驗，則應包含條件： 或 （i=1,…,r）(19) 廣義協(xié)調(diào)元與雙參數(shù)法在確定位移廣義參數(shù)的時候包含上述方程。這兩種有限元法得到的位移插值函數(shù)在結(jié)點處的表達不一定精確，有時會有一個高階小量的誤差。而邊界位移條件是直接由結(jié)點位移表示的，因此在做分片檢驗時會有一定的誤差，即不很準確地通過分片檢驗。這一點可由文[8]中的算例看出。 對于某些特殊形狀的單元來說，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分條件，非必要條件，這一點可以從十二參矩形單元中看出。眾所周知，矩形薄板單元不滿足 連續(xù)，可以驗證它同樣不滿足(19)式。但這種單元能通過分片試驗而且計算精度較高，其原因是它滿足方程(6)和(7)。 4.2 增加位移中的廣義參數(shù)