北京航空航天大學(xué)材料力學(xué)材料力學(xué)總結(jié)

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1、復(fù)習(xí) 基本概念與理論 大,如鐵絲受壓)(載荷不大,變形卻很 (保持原有平衡形式) (抵抗變形) (抵抗破壞) 穩(wěn)定性 剛度 強(qiáng)度 經(jīng)濟(jì)、減重 矛盾 安全基本要求 合理設(shè)計(jì) 材料力學(xué)的基本假設(shè) : 連續(xù)性假設(shè) ;均勻性假設(shè) ;各向同性假設(shè) 桿受力和變形的形式 : 拉壓 -桿 , 扭轉(zhuǎn) -軸 ,彎曲 -梁 基本概念 :, 內(nèi)力、應(yīng)力 ( 正應(yīng)力與切應(yīng)力 )、應(yīng)變( 正 應(yīng)變 ,切 應(yīng)變)應(yīng)變能 基本定律: 切應(yīng)力互等定理、胡克定律、剪切胡克定律、圣維南原理、 疊加原理 材料力學(xué)的任務(wù)與研究對(duì)象 材料的力學(xué)性能 塑性材料 e 彈性極限 e e 彈性應(yīng)變 e p 塑性應(yīng)變 冷作硬化 000 10 0

2、l l 001 1 0 0 A AA b-強(qiáng)度極限 s-屈服極限 p-比例極限 低碳鋼四個(gè)階段:線性階段(應(yīng)力應(yīng)變成正比,符 合胡克定律,結(jié)束點(diǎn)稱為比例極限)、屈服階段 (滑移線 )(屈服極限)、強(qiáng)化階段(強(qiáng)度極限)、 局部變形 (頸縮 )階段 (名義應(yīng)力下降 ,實(shí)際應(yīng)力上升 ) p0.2 名義屈服極限 E-彈性模量 m 泊松 比 y x z FP1 FP2 FR M M y Mx FQ y FQ z FN FQ 內(nèi)力 (Internal Forces) 內(nèi)力主矢與內(nèi)力主矩 (Resultant Force and Resultant Moment) 內(nèi)力分量 (Components of t

3、he Internal Forces) FN FN Fs Fs 內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)則 (Sign convention for Internal Forces) 同一位置處左 、 右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào) 。 內(nèi)力的 分析方法 符號(hào): 1.FN: 拉力為正 2.T:扭矩矢量離開截面為正 3.Fs:使保留段順時(shí)鐘轉(zhuǎn) M:使保留段內(nèi)凹為正 剛架 、曲桿 M: 不規(guī)定正負(fù),畫在受壓一側(cè) 截面法 Method of section 內(nèi)力方程 剛體平衡概念的擴(kuò)展和延伸:總體平 衡,則其任何局部也必然是平衡的。 注意彈性體模型與剛體模型的區(qū)別與聯(lián)系 剛體模型適用 的概念、原理、方法,對(duì)彈性體可用

4、性與限制性。 內(nèi)力方程、內(nèi)力圖 危險(xiǎn)截面 qdxdFs sFdxdM qdxMd 2 2 (端值、極值、正負(fù)號(hào) ) 內(nèi)力圖( Internal Force Diagram) 平衡微分方程 由載荷變化規(guī)律,即可推知內(nèi)力 Fs 、 M 的變化規(guī)律 剪力圖和彎矩圖 根據(jù)平衡,可以確定控制面上 Fs、 M數(shù)值 ,確定函數(shù)變化區(qū)間; 根據(jù)平衡微分方程可以確定 Fs 、 M的變化圖形 。 沿梁軸線的內(nèi)力分布(包括剛架): Fs: 跟著箭頭走,段內(nèi)變化看 q面積 M: 順時(shí)針向上走,段內(nèi)變化看 Fs面積 dxqFF xxSS 2 112 dxFMM x x s 2 112 在 Me 作用處 ,左右橫截面的

5、剪力連續(xù) ,彎矩值突變 在 F 作用處 ,左右橫截面上的 剪力值突變 ,彎矩連續(xù) FFF 左右 SS eMMM 左右 (q : 向 上為正 ; x : 向右為正 .) Fs 拉壓 : A F 扭轉(zhuǎn): PP W T I T m a x 彎曲: 受力桿件的應(yīng)力不僅與外力相關(guān),而且與截面的幾何性質(zhì)相關(guān)。 橫 截面上應(yīng)力 , 的計(jì)算公式 與 強(qiáng)度條件 A, IP, WP, Iz, Wz 截面幾何性質(zhì) Iz:平行移軸定理 ( 薄壁 ) tI QSs z z bI SFs z zs m a x m a x max(閉口薄壁桿 ) tT 2 max 梁強(qiáng)度問題的分析步驟 : 1、內(nèi)力分析 確定危險(xiǎn)截面 2、

6、應(yīng)力分析 確定危險(xiǎn)點(diǎn) 3、根據(jù)強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度校核。 塑性材料,對(duì)稱截面 脆性材料, m a xm a x MM maxM minM 非對(duì)稱截面校核三點(diǎn) tt m a x, cc m a x, 例題 如圖 1-10所示的結(jié)構(gòu) , 已知各桿的面積和材料 為 A1=400mm2, A2=300mm2, 1=2=160MPa, 試 計(jì)算該結(jié)構(gòu)所能承受的最大載荷 。 ( 1)由平衡條件確定各桿軸力與載荷 P之間的關(guān)系式: MA=0 N2=F/3; Y=0 N1=2/3F N2 N1 l /3 2l /3 F 要使結(jié)構(gòu)安全工作應(yīng)取其較小值 , 即 F=96kN ( 2) 由強(qiáng)度條件計(jì)算最大載荷 桿 1的

7、強(qiáng)度條件; N1/A11 F=3/2A11=3/2400160=96000N=96kN 桿 2的強(qiáng)度條件; N2/A22 F=3A22=3300160=114000N=114kN ( 2)為使該結(jié)構(gòu)安全受力,按桿 1的強(qiáng)度取 F=96kN。對(duì) 桿 2來說,強(qiáng)度是有富裕的 不經(jīng)濟(jì) 載荷可移動(dòng)? 注意: ( 1)最大載荷可否寫為 F=A11+A22=112kN? x 連接部分的強(qiáng)度 -假定計(jì)算法 破壞形式: 剪豁( 當(dāng)邊距大于釘直徑 2倍時(shí)可避免剪豁) 拉斷( 拉斷可按拉壓桿公式計(jì)算)。 S AF bbs bsdF 剪斷 : 擠壓破壞 : 例 鑄鐵梁 , y1 = 45 mm, y2 = 95 m

8、m, t = 35 MPa , c = 140 MPa, Iz =8.8410-6 m4, 校核梁的 強(qiáng)度 解: MD 最大正彎矩 MB 最大負(fù)彎矩 危險(xiǎn)截面 截面 D, B 對(duì)于脆性材料梁來說,危險(xiǎn)截面是否一定發(fā)生在 Mmax 處? daBD yy,MM da 危險(xiǎn)點(diǎn) z Da I yM 2 M P a 859- . z Db I yM 1 M P a 328 . z Bc I yM 2 M P a 633 . M P a 859m axc, .a M P a 633m a xt, .c c t a, b, c 截面 D 截面 B 拉壓: EA Fll 變形 剛度 靜不定問題 mee 扭轉(zhuǎn):

9、 PGI Tl (閉口薄壁桿 ) tGI Tl t dsI t 24 微 段 變 形 EAFNe pGITdxd 整 體 變 形 zEI M 1 彎曲 : l xxEA xFl d)( )(N 1.分析各桿軸力 ( T e n s io n ) 2N1 FF o n )( Co m p r e s s i N2 FF EA lF AE lFl 22 11 1N1 1 22 2N2 2 EA Fl AE lFl 圖示桁架, 已知 E1A1= E2A2=EA, l2=l。 試求 節(jié)點(diǎn) A 的水 平與鉛垂位移 2EAFl 2.確定各桿變形 (elongation) (contraction) P A

10、 B C 45o A B C 受力分析 ? 小變形 用原結(jié)構(gòu)尺寸 桁架的節(jié)點(diǎn)位移 用切線代替圓弧,畫出變形圖 3.作小變形情況下的變形圖 Construct the displacement diagram under the condition of small deflection 4. F節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算 Find displacement components of joint A by geometry )( 22 lAAAx 5AAA y An arc may be replaced by a line perpendicular to bar axis 切線代圓弧 )( 45c o

11、s 21 ll 求 A點(diǎn)的位移 2、 AB為剛性桿。 P C D B A P C D B A A C 1、 零力桿 計(jì)算總扭轉(zhuǎn)角 , 校核強(qiáng)度與剛度 Example: To calculate the total angle of twist, and analysis the strength and stiffness of the shaft. Solution: 1、 扭矩圖 Torque diagram a a a a d D M M=2M/a 3M T x M 2M A B 2、 總扭轉(zhuǎn)角 Total angle of twist a dDG Ma DG Ma DG Ma DG x

12、 dx a M 0 44444 323232 2 32 2 總 3、 強(qiáng)度 Strength( A、 B兩危險(xiǎn)截面 ) max )1( 16 : 16 2 : 43 3 m a x D M B D M A a a a a d D T x M 2M A B 彎曲 : zEI M 1 1、變形微分方程、位移邊界和連續(xù)條件 撓曲線 力邊界條件已通過 M(x)滿足。 EIxMy DCxxEI xMw d)(位移邊界條件 右左 CC ww Pin or roller support(鉸支座 ) : wA=0 Interface continuum conditions(連續(xù)條件 ): Fixed sup

13、port(固定 端 ): wD=0, D =0 右左 BB 右左 BB ww C,D 2、撓曲線大致形狀 EI xMy 由 M 圖的正 、 負(fù),確定撓曲軸的凹 、 凸 由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓曲線的大致形狀及位置。 位移與變形的相依關(guān)系 比較二梁的受力、彎矩、變形與位移 位移除與變形有關(guān)外,還與約束有關(guān) ; 總體變形是微段變形累加的結(jié)果 ; 有位移不一定有變形 ; 有變形不一定處處有位移。 疊加原理 在一定條件下,桿件所有內(nèi)力分量作用的 效果,可以視為各個(gè)內(nèi)力分量單獨(dú)作用效果的疊加。 3、疊加法 分解載荷 分別計(jì)算位移 求位移之和 疊加法適用范圍:力與位移之間的線性關(guān)系 (小變形,比例極限

14、內(nèi) ) 逐段分析求和法 C B q A l a 2 2qaM C B q A 零彎矩,不變形 A C B q 22qaM 相當(dāng)于懸臂梁 剛化 AB段 剛化 BC段 C B q A A C B q 2 2qaM F=q a C B q A wB= wB1+ wB2+ wB3 wE 2 wB=? wE 1 wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2 靜定結(jié)構(gòu) 未知力(內(nèi)力或外力)個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平 衡方程數(shù) 靜不定結(jié)構(gòu) 未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù) 靜不定度 未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差 求解靜不定問題的基本方法 平衡、變形協(xié)調(diào)、物理方程。 多余約束的兩種作用:增加了未知力個(gè)數(shù),

15、同時(shí)增加對(duì)變 形的限制與約束,前者使問題變?yōu)椴豢山猓笳呤箚栴}變 為可解。 多余約束 物理方程體現(xiàn)為力與變形關(guān)系。 簡(jiǎn)單靜不定問題(含 熱應(yīng)力與初應(yīng)力) 求解思路 建立平衡方程 建立補(bǔ)充方程 ( 變形協(xié)調(diào)方程) 3-3=0 4-3=1 A B q l FAy FAx MA A B q l FAy FAx MA FB 簡(jiǎn)單的靜不定梁 B FBx A q l FAy MA FBy FAx MA FAx MB FBx FBy q l A B FAy 5 3 2 6 3 3 應(yīng)用對(duì)稱性分析可以推知某些未知量: q l A B MA FAx MB FBx FBy FAy FAx= FBx= 0 , FAy= FBy= q l / 2 , MA=MB 2I1I C A F B a a a a 應(yīng)用對(duì)稱性分析可以化簡(jiǎn) C F/2 B a a 合理設(shè)計(jì) zI zW pI pW 6 2bh 44 164 D 43 132 D 44 132 D 43 116 D 矩形 圓 (空心 ) 12 3bh (等強(qiáng)概念 ) 如 ,選擇梁的合理截面形狀; 變截面梁;梁的合理受力 拉壓與剪切應(yīng)變能概念 Eu 22 2e 拉壓 純剪 Gu 22 2 外力功 PW 2 1

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