數(shù)學(xué)物理方程 第九章第一講.ppt

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1、1 數(shù)學(xué)物理方程 數(shù)學(xué)物理方程主要是描述各種物理、 力學(xué)等自然現(xiàn)象的偏微分方程和積分 方程，本課程只介紹其最基本的內(nèi)容， 即三大類二階線性偏微分方程方程的 基本性質(zhì)及其求解方法。 2 第九章 典型方程與定解問題 本章將介紹三大類偏微分方程的來由、偏微 分方程定解問題的提法、偏微分方程的簡單 分類和線性偏微分方程的簡單性質(zhì)等基本內(nèi) 容。 3 9.1 典型方程的建立 波動方程的導(dǎo)出 設(shè)有一根兩端拉緊的均勻柔軟細(xì)弦，其長為 L。當(dāng)弦作微小橫振動時，求弦上各點(diǎn)的運(yùn) 動規(guī)律 (不妨設(shè)弦的兩端是固定的 )。 在弦作微小橫振動時所處的平面上建立一個 直角坐標(biāo)平面，使得弦的平衡位置處于 x軸 的區(qū)間 0,L上

2、，則其所的運(yùn)動規(guī)律可用一 函數(shù) u(x,t)來表示。 4 9.1.1 波動方程的導(dǎo)出 只作微小橫振動： 2 2 1 1c o s c o s 0TTaa-= 由牛頓力學(xué)定律： 2 2 1 1s i n s i n ( , )ttT T u x x t xa a r q- = + D D 弦作微小橫振動： ( ) 2( , ) 1 ( , ) 0 xxu x t u x t 芻 ( , ) sin , c o s 1 ( 1 , 2 )j x j j j jtg u x t tg ja a a a= 藁 ? 從而有： 210,TT-= 2 21 2 ( , ) ( , ) ( , )u x x

3、t u x t u x x tT T x x x t qr?D 抖 +D- = D 抖 ? 由于 ( ) 21 ( , )xx xxs u x t d x x +DD = + 籇 所以， T=T(x,t)與 x,t均無關(guān) 5 9.1.1 波動方程的導(dǎo)出 所以， 應(yīng)該滿足如下偏微分方程： 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x x tt tt x x TTu x t u x t u x t a u x t ar r 驏琪= ? = 琪桫 如果在 t 時刻， x處受一線密度為 F(x,t)， 方向與 u軸平行的外力作用，在弦段微元處 的合力為 2 2 1 1s i n s i n (

4、 , ) ( , )ttT T F x x t x u x x t xa a q r q- + + D D = + D D 進(jìn)而有： 2 1( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) tt x x Tu x t a u x t f x t a f x t F x t rr 驏琪= + = = 琪桫 ),( txu 6 9.1.1 波動方程的導(dǎo)出 所以，弦振動過程中的位移函數(shù) 滿足 ),( txu 2( , ) ( , ) ( , )tt x xu x t a u x t f x t-= ( )1.2 稱此方程一維非齊次波動方程，其中 稱為非齊次項或自由項，描述強(qiáng)迫振動過 程

5、。如果 它描述的是弦的自由振動 過程： ),( txf ( , ) 0,f x t 2( , ) ( , )tt x xu x t a u x t= 這個方程通常也稱為弦振動方程。 ( )1.3 7 9.1.1 波動方程的導(dǎo)出 用類似的方法可以導(dǎo)出 二維波動方程： 2 ( ) ( , , ) tt x x y yu a u u f x y t= + + 三維波動方程： 2 ( ) ( , , , ) tt x x y y z zu a u u u f x y z t= + + + 此處的 或 也稱為非齊次項，若 或 ，則也稱為二維或三維 齊次波動方程 ),( tyxf ),( tzyxf (

6、, , ) 0f x y t ( , , , ) 0f x y z t 若記 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,orx y x y z 抖抖 ?D = + + + ? ( )1.4 ( )1.5 8 9.1.1 波動方程的導(dǎo)出 則二維或三維波動方程可統(tǒng)一地記為： 2ttu a u f= D + 同樣可以類似地定義 n維波動方程如下： 2ttu a u f= D + 其中 22 1 1 , ( , , , )n n f f x x txx抖D= + + =抖 12, ( , , , , )nu u x x x t= 9 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 設(shè)某溫度場內(nèi)有熱源，在 t時刻， 處單

7、位 時間單位體積產(chǎn)生的熱量為 ，求溫度 場的溫度函數(shù) 滿足的方程。 ( ),x y z ),( tzyxF ),( tzyxu 在溫度場中任取一個有界區(qū)域 ，時間段 , 21 tt 設(shè)在區(qū)域 、給定的時間段 內(nèi)， , 21 tt 通過 的邊界流出 外的熱量為 ， 內(nèi)溫度變化所需要的熱量為 。 熱源所產(chǎn)生的熱量為 , 1Q 2Q 3Q 10 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 則 1 2 3Q Q Q=+ 2 11 ( , , , )ttQ F x y z t d V d tW= 蝌蝌 由熱力學(xué)的 Fourier實(shí)驗(yàn)定理得： 2 122 t t uudQ k d dt Q k d dt nnss 禬

8、抖= - ? - 抖 蝌 ? 其中 n為 的邊界的外法線方向。 ( )c o s , c o s , c o s c o s c o s c o su u u un n x y za b g a b g抖抖= ? + + ( )1.6 ( )1.7 11 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 定理 設(shè)空間區(qū)域 是由分片光滑的閉曲 面 所圍成，函數(shù) 在 上一階連續(xù)可導(dǎo)，則有 ),(),(),( zyxRzyxQzyxP P Q R d v P d y d z Q d z d x R d x d y x y zWS 驏 抖 ?琪 + + = + + 琪 抖 ?桫蝌蝌 ? 或 ( )c o s c o s

9、c o sP Q R d v P Q R d Sx y z a b g WS 驏 抖 ?琪 + + = + + 琪 抖 ?桫蝌蝌 ? 其中， 是 在 處的外法向量 的方向余弦，以上公式稱為 Gauss公式。 c o s,c o s,c o s ( ),x y z 12 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 由 Gauss公式可得： 2 12 t t uQ k dS dt n禬 =- 蝌 ? 2 1 ( c o s c o s c o s )tt u u uk d S d tx y za b g禬 抖 ?= - + +抖 ?蝌 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2 t t u u uQ k d v d

10、 t x y zW 驏 抖 ?琪= - + + 琪 抖 ?桫蝌蝌 ( ) ( )3 ( , , , ) ( , , , ) td Q c d v u x y z t t u x y z t c u d v d trr= + D - = 2 13 ( , , , )t ttQ c u x y z t d v d trW= 蝌蝌 ( )1.8 ( )1.9 13 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 所以 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 t t t tt t t u u uF d v d t k d v d t c u d v d t x y z rW W W 驏 抖 ?琪= - + +

11、+ 琪 抖 ?桫蝌 蝌 蝌 蝌 蝌 蝌 ( )21 0t tt c u k u F d v d trW - D - = ?蝌蝌 記 2 2 2 2 2 2x y z 抖 ?D = + + 抖 ? 則 22 1, tt kc u k u F u a u f a f F ccr rr 驏琪 = D + ? D + = =琪 桫 也就是 2 ( ) ( , , , )t x x y y z zu a u u u f x y z t= + + +( )1.10 2 2 2 2 2 2 u u uu x y z 抖 ?轉(zhuǎn) = + + 抖 ? 14 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 對問題作適當(dāng)簡化，可得 二

12、維熱傳導(dǎo)方程： 2 ( ) ( , , ) t x x y yu a u u f x y t= + + 一維熱傳導(dǎo)方程： 2 ( , ) t x xu a u f x t=+ ( )1.11 ( )1.12 其中的函數(shù) 稱為熱源，相應(yīng)的方程稱為 非齊次熱傳導(dǎo)方程；若 ( ) f ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) 0 ,f x t o r f x y t o r f x y z t漢 ? 則稱相應(yīng)的方程為齊次熱傳導(dǎo)方程。 15 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 同一個方程可以描述多個物理現(xiàn)象，例如傳 輸線方程組 UII R L xt IUGU C xt 抖 - = + 抖 抖

13、- = + 抖 ( )1.13 22 2 22 2 U I L RL x x x t I U U GC x t t t 抖 ? - = + 抖抖 抖 ? - = + 抖抖 16 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 可得 22 2 U I IRL x x x t 驏驏抖 ?琪琪= - + - 琪 琪抖抖桫 桫 2 2 U U UR G U C L G C t t t 驏驏 抖 ?琪琪= + + + 琪 琪抖 ?桫 桫 ( )2222U U ULC R C LG R G Ux t t抖 ?= + + +抖 ? 同理 UII R L xt IUGU C xt 抖 - = + 抖 抖 - = + 抖 22

14、2 22 2 U I IRL x t t t I U UGC x x x t 抖 ?- = + 抖抖 抖 ?- = + 抖抖 2 2 I I IG I R L C R L t t t 驏驏 抖 ?琪琪= + + +琪 琪抖 ?桫 桫 22 2 I U UGC x x x t 驏驏抖 ?琪琪= - + -琪 琪抖抖桫 桫 14.1 17 9.1.2 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出 化簡得 ( )22 22 I I ILC LG R C G R I x t t 抖 ?= + + + 抖 ? 15.1 電報方程： G=L=0，方程化為 22 ,I I U UR C R C x t x t 抖抖= 高頻傳輸問題：

15、G=R=0，方程化為 2 2 2 2 2 2 2 2, I I U ULC LC x t x t 抖抖= 18 9.1.4 穩(wěn)定問題 在熱傳導(dǎo)問題中，在某些條件下，物體的 溫度可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時，溫度函數(shù) 和熱源函數(shù)均與時間無關(guān)： ( , , , ) ( , , ) , ( , , , ) ( , , )u x y z t u x y z f x y z t f x y z= 從而有： 2 ( , , , ) tu a u f x y z t- D = ( , , )u g x y z跠 = ( )1.16 此方程稱為 Poisson方程，若 ( , , ) 0 ,g x y z 則稱為

16、Laplace方程或調(diào)和方程。 19 9.1.4 穩(wěn)定問題 用同樣的方法，可以得到二維 Poisson 方程和二維 Laplace方程如下： Poisson方程： ( , )x x y yu u u g x yD = + = Laplace方程： 0 x x y yu u uD = + = 對于二維和三維波動方程，可以考慮其穩(wěn)定 問題，同樣可得相應(yīng)維數(shù)的 Poisson 方程 和 Laplace 方程。 20 9.1 典型方程的建立 三類典型方程： 波動方程 2ttu a u f- D = 熱傳導(dǎo)方程 2tu a u f- D = Poisson方程 ugD= 21 9.2 定解條件與定解問題

17、 三類方程 22tt tu a u f u a u f u g- D = - D = D = 如果有解，則其解應(yīng)該不唯一。 在這眾多的解中確定出所需要的解，還需要 增加另外的條件，即定解條件，使之成為定 解問題，在此條件下，再來討論適定性，即 存在性、唯一性和穩(wěn)定性。 22 9.2.1 有界弦振動的定解條件 對于弦振動方程 2 ( , )tt x xu a u f x t-= 弦的初始狀態(tài)，也就是初始位移和初始速 度，對弦的振動過程應(yīng)該有重要影響，必 須給予考慮： ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) ( )tu x x u x xfy= 對于有界弦振動，其端點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律也必 須考慮，也

18、就是：考慮其端點(diǎn)條件或邊界 條件。 ( )2.1 23 9.2.1 有界弦振動的定解條件 對于有界弦振動而言，其界條件有如下三種： (1) 給定端點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律： 01(0 , ) ( ) ( , ) ( )u t g t o r u l t g t= 如果端點(diǎn)固定： ( 0 , ) 0 ( , ) 0u t or u l t= 這樣的邊界條件稱為第一類邊界條件。 則稱為第一類齊次邊界條件。 ( )2.2 ( )2.3 24 9.2.1 有界弦振動的定解條件 (2) 作用在端點(diǎn)的外力在 u軸方向上的分量 已知： 01( 0 , ) ( ) ( , ) ( )xxT u t G t o r T u

19、 l t G t- = = ? 01(0 , ) ( ) ( , ) ( )xxu t g t o r u l t g t= 這樣的邊界條件稱為第二類邊界條件。 同樣可得第二類齊次邊界條件： (0 , ) 0 ( , ) 0 xxu t o r u l t= ( )2.4 ( )2.5 25 9.2.1 有界弦振動的定解條件 (3) 端點(diǎn)的彈性支撐 弦在 處固定在彈簧上，彈簧另一端 固定，彈簧的彈性系數(shù)為 k，則彈簧的 張力應(yīng)與弦的彈性恢復(fù)力平衡： xl= ( , ) ( , )xT u l t k u l t- = ? ( ( , ) ( , ) ) 0 xu l t u l ts+= (

20、)2.6 如果彈簧的另一端不是固定，而是按某 一規(guī)律運(yùn)動，以上的平衡條件應(yīng)為 26 9.2.1 有界弦振動的定解條件 ( , ) ( ( , ) ( ) )xT u l t k u l t h t- = - ? ( )( , ) ( , ) ( )xu l t u l t tsm+= ( )2.7 對于弦的左端點(diǎn) 也可以作類似的討論， 得到的結(jié)論為： 0,x = ( )( 0 , ) ( 0 , ) 0 xu t u ts-= ( )( 0 , ) ( 0 , ) ( )xu t u t tsl-=或 ( )2.9 ( )2.8 (2.7)或 (2.9)稱為第三類邊界條件， (2.6) 或 (

21、2.8)稱為第三類齊次邊界條件。 27 9.2.1 有界弦振動的定解條件 第三類邊界條件可統(tǒng)一記成 0 0 ( )j x o r l u u o r t n sm= 驏 琪 +=琪 桫 ( )2.10 有界弦振動方程加上初始條件和兩個端點(diǎn)各 加一個邊界條件后可構(gòu)成一個定解問題。兩 個端點(diǎn)的邊界條件可以是這三類邊界條件之 一，它們的類型可以互不相同。這樣的定解 問題稱為有界弦振動方程的初邊值問題。例 如，如下便是一個完整的初邊值問題： 28 9.2.1 有界弦振動的定解條件 ( )2 01 ( , ) 0 , 0 ( , 0) ( ) , ( , 0) ( ) ( 0 , ) ( ) , ( ,

22、 ) ( ) tt x x t u a u f x t x l t u x x u x x u t t u l t t fy mm - = = = 對于空間區(qū)域?yàn)橛邢迏^(qū)域的二維三維波動方 程，同樣有三類邊界條件，也可以構(gòu)成二維 三維甚至更高維的波動方程的初邊值問題。 29 9.2.2 三維熱傳導(dǎo)方程定解條件 對于熱傳導(dǎo)問題，我們也可以提初邊值，其 邊界條件也可分為第一、第二、第三類邊界 條件，而且還有明確的物理意義。 設(shè)區(qū)域 的邊界為 , 內(nèi)的溫度函數(shù) ),( tzyxu 滿足熱傳導(dǎo)方程 2 ( ) ( , , , )t x x y y z zu a u u u f x y z t- + +

23、= 顯然，初始時刻的溫度對隨后的溫度變化有 明顯影響，因此需要知道溫度的初始分布： ( , , , 0) ( , , )u x y z x y zf= ( )2.11 ( )2.12 30 9.2.2 三維熱傳導(dǎo)方程定解條件 邊界條件的提法： (1) 邊界上的溫度變化規(guī)律已知： ( ), , ,u x y z tlG = 這樣的邊界條件稱為第一類邊界條件 ( )2.13 (2) 第二類邊界條件：在點(diǎn) 處單位時 間單位面積流出曲面 的熱量為 ( , , )x y z 蜧 :),( tzyxG ( , , , )d Q uk G x y z td td ns GG = - = ( , , ) u

24、g x y z t n G ? ( )2.14 31 9.2.2 三維熱傳導(dǎo)方程定解條件 (3) 不同介質(zhì)之間的熱傳遞：第三邊界條件 設(shè) 的邊界 的另一邊是另一種介質(zhì)， 與 接觸的溫度是 00 ( , , , ),u u x y z t= 牛頓定律：通過 上的面積元 d ,從一 種介質(zhì)流到另一種介質(zhì)的熱量 與兩 介質(zhì)的溫度差成正比，與 成正比： *dQ * 10()d Q k u u d d ts=- dtd 32 9.2.2 三維熱傳導(dǎo)方程定解條件 通過 的邊界 流出 的熱量 服從 Fourier 實(shí)驗(yàn)定律： dQ udQ k d dt n s =- 1 1 0 0( ) ( ) kuuk

25、ds dt k u u ds dt u u n n kss 驏抖 琪- = - ? - = 琪抖 桫 0 u uu n ssG 驏 琪 += 琪 桫 ( , , , )u u g x y z tn s G 驏 琪 +=琪 桫 ( ) 2.15 33 9.2.2 三維熱傳導(dǎo)方程定解條件 三類邊界條件的統(tǒng)一形式： u ug nds 禬 驏 琪 += 琪 桫 其中 g為已知函數(shù)。 第一邊界條件： 0 , 1ds= 第二邊界條件： 1 , 0ds= 第三邊界條件： 1 , 0ds= 34 9.2.3 定解問題 如果空間變量的取值范圍的邊界是空集，則此 時只需考慮初值問題，也稱 Cauchy問題，例 如

26、，如下三維波動方程初值問題： ( ) ( )2 , , , 0 ( , , , 0 ) ( , , ) , ( , , , 0 ) ( , , ) tt x x y y z z t u a u u u f x y z t u x y z x y z u x y z x y zfy - + + = - ? + ? = 二維熱傳導(dǎo)方程初值問題： ( )2 ( ) , , 0 ( , , 0 ) ( , ) t x x y yu a u u f x y t u x y x yf - + = - ? + ? = 35 9.2.3 定解問題 如果空間變量的取值范圍的邊界集非空，則 需在初值條件和邊值條件

27、下求解微分方程， 稱為初邊值問題或混合問題；例如：如下第 一類邊界條件混合問題： ( )2 01 ( , ) 0 , 0 ( , 0) ( ) , ( , 0) ( ) ( 0 , ) ( ) , ( , ) ( ) tt x x t u a u f x t x l t u x x u x x u t t u l t t fy mm - = = ( )2 01 ( , ) 0 , 0 ( , 0) ( ) ( 0 , ) ( ) , ( , ) ( ) t x xu a u f x t x l t u x x u t t u l t t f mm - = = = 36 9.2.3 定解問題 對

28、于描述穩(wěn)定現(xiàn)象的微分方程，由于與時 間無關(guān)，自然無法提初值條件，只能邊值 條件，例如： 第一邊值問題 第二邊值問題 第三邊值問題 ( )( )( , , ) , , ( , , ) u f x y z x y z u x y zf禬 D= 蜽 = ( )( )( , , ) , , ( , , ) u f x y z x y z u x y z n f 禬 D= 蜽 = ( )( ), ( , , ) u f x y z u u x y z n sf 禬 D= 蜽 驏 琪 +=琪 桫 37 9.2.4 定解問題的適定性 對于定解問題，有這樣的一些問題需要研究： (1) 解的存在性：解是否存在，

29、根據(jù)實(shí)際意 義，解應(yīng)該存在是一回事，數(shù)學(xué)上嚴(yán)格 證明其解一定存在是另一回事。 (2) 若解存在，有多少個解？是否唯一？這 是唯一性問題。 (3) 定解條件有微小誤差時，其解函數(shù)是否 也有微小誤差？這是穩(wěn)定性問題。 38 9.3 線性方程與迭加原理 9.3.1 偏微分方程的一般名稱 偏微分方程：含有 (一個或多個 )多元未知函 數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的式子 (一個或多個 )，稱為偏 微數(shù)方程。其一般形式為 ( , , , , , , ) 0 x y x xF x y u u u u = 或 ( ) ( ) ( , , , , , , ) 0 1 , 1 , 2 , j i i x i y i x xF x

30、 y u u u u i j = = ( )3.1 39 9.3.1 方程的一般名稱 方程的階數(shù)：偏微分方程中含未知函數(shù)的最 高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為方程的階數(shù)。 例如： 2ttu a u f- D = 2tu a u f- D = ufD= 2 0u x x y x x ye u u u+= 線性方程 (線性方程組 )：如果一個偏微分方 程或方程組對所有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都是 一次的，則其為線性方程或線性方程組。否 則稱為非線性方程或非線性方程組。 40 9.3.1 方程的一般名稱 擬線性方程：一個偏微分方程，如果只對未 知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是一次的，則稱為擬 線性方程。 半線性偏微分方程：如果

31、一個偏微分方程對 于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，但對 于低階偏導(dǎo)數(shù)是非線性的，這種方程稱為半 線性偏微分方程。 41 9.3.1 方程的一般名稱 例： ( , , , , ) x x x y y y x ya u b u c u f x y u u u+ + = 如果 ( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) x y x y x ya a x y u u u b b x y u u u c c x y u u u= = = 則此偏微分方程是擬線性偏微分方程。 如果 ( , ) , ( , ) , ( , )a a x y b b x y c c x y

32、= = = 則此偏微分方程是半線性偏微分方程。 方程的解：如果將一個函數(shù)代替方程中的未 知函數(shù)，能使方程變成恒等式，則稱這個函 數(shù)為方程的一個解。 42 9.3.2 線性方程的疊加原理 以 n個變元的二階偏微分方程為例： 二階線性偏微分算子 2 , 1 1 nn ij j i j ji j j L a b cx x x = 抖= + + 抖 ?邋 2 , 1 1 nn ij j i j ji j j uuL u a b c u x x x= 抖= + + 抖 ?邋 其中 是自變量， 是 的函數(shù) nxxx , 21 cba jij , n xxx , 21 二階線性偏微分方程 Lu f= ( )

33、3.2 43 9.3.2 線性方程的疊加原理 線性偏微分算子的線性性質(zhì)： 1 1 2 2 1 1 2 2()L c u c u c L u c L u+ = + 線性偏微分方程的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) 滿足線性方程 ( 為已知函數(shù) ) nu nf ( )1 , 2 , ,nnL u f n m= 設(shè) ( ) 1 , 1 , 2 , ,m n n n n u c u c R n m = =? 則 1 m nn n L u c f = = 44 9.3.2 線性方程的疊加原理 在一定條件下，性質(zhì) 1可以推廣成如下無窮 級數(shù)形式和積分形式： 性質(zhì) 2 設(shè) 滿足線性方程 nu ( )1 , 2 , ,nn

34、L u f n= 又設(shè) ( ) 11 , 1 , 2 ,n n n n n nn u c u f c f c R n+ ? ? = = = ?邋 則 Lu f= 45 9.3.2 線性方程的疊加原理 性質(zhì) 3 設(shè) 為自變量，又 若函數(shù) 滿足線性方程 ( ) ( )0 0 01 2 0 1 2, , , , , , ,nnx x x x x x x x= ),( 0 xxu 0( , ).L u f x x= 其中 為參量，又設(shè) 對參量 的 積分為 0 x 0 x0( , )u x x 00( ) ( , )U x u x x d x= 對 的求導(dǎo)可與積分號交換，則 滿足方程 )(xU )(xUx 00( ) ( , )L U x f x x d x=