傅里葉變換性質(zhì)-傅里葉變換的性質(zhì)證明

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1、 4.3 傅里葉變換的性質(zhì) 主要內(nèi)容 對稱性質(zhì) 線性性質(zhì) 奇偶虛實(shí)性 尺度變換性質(zhì) 時移特性 頻移特性 微分性質(zhì) 時域積分性質(zhì) 意義 傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了 信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。 討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于： 了解特性的內(nèi)在聯(lián)系； 用性質(zhì)求 F()； 了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。 )()( Ftf 若 ftF 2則 ftF 2則 一對稱性質(zhì) 1性質(zhì) 2 意義 tFtF )()( 相同，形狀與若 2 , )( 幅度差 形狀相同，的頻譜函數(shù)形狀與則 ttftF 為偶函數(shù)若 tf jF 1 二線性性質(zhì) 1性質(zhì) 2例 )()(,)()( 2211 Ft

2、fFtf 若 為常數(shù)則 2122112211 ,)()()()( ccFcFctfctfc tu ts g n 2 1 2 1 三奇偶虛實(shí)性 由定義 可以得到 )(d)()( j FtetftfF t )(d)(d)()( jj FueuftetftfF ut )()()()( FtfFtf ，則若 證明： )()()()( FtfFtf ，則若 四尺度變換性質(zhì) 意義 為非零函數(shù)則若 aaFaatfFtf ,1),()( (1) 0a1 時域壓縮，頻域擴(kuò)展 a倍。 FFtftfa , 1 )3( 說明 說明 說明 3意義 o E 2 F 2 o t 2 t f E o E2 22 F (1)

3、0a1 時域壓縮，頻域擴(kuò)展 a倍。 )()(j)( * FXR 為奇函數(shù)為偶函數(shù) XR , )(j)()( XRF 共軛為實(shí)函數(shù)時當(dāng) *, FFtf * , 1 )3( FFFtftfa ),()( Ftf 若 ;)()( 0j0 teFttf 則 )()()( jeFF 若 0)(j0 )()( teFttf 則 五時移特性 0 0 0 t tt 左 右相移 幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜， )()( Ftf 若 a b eaFabatf j1 則 的證明過程仿 t aat 1 時移加尺度變換 )()( Ftf 若 號為常數(shù)，注意則 0 0 j 0 j )( )( 0 0 Fetf Fetf

4、 t t 2證明 1性質(zhì) 六 頻移特性 teetfetf ttt d)()( jjj 00 F tetf t d)( 0j 0F 3說明 4應(yīng)用 )( F O O )( 0 F 0 0 )( 0 F 0 0j ,)( 0 右移頻域頻譜搬移乘時域 tetf 0j ,)( 0 左移頻域頻譜搬移乘時域 tetf 通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。 七微分性質(zhì) 時域微分性質(zhì) 頻域微分性質(zhì) )(j)()()( FtfFtf ，則 ),()( Ftf 若 djd)( Fttf 則 dd)( Ftjtf nnn Ftfjt dd)( 或 nnn Ftft j)( 1時域微分 注意 )(j)()()( FtfFtf

5、 ，則 )(j )( Ftf nn 一般情況下 nn tfFF j )(則 ，若已知 )(tfF n :)(j)( FtfF 090j,相位增加 幅度乘 注意 如果 f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求傅里 變換，余下部分再用微分性質(zhì)。 j 1 t j 1 )(,1t ),s g n ( 2 1 2 1 )()( 2 1t 222 2 u tftftf ttutf Fu 微分 余下部分 直流 2 1 o t tf 1 1 o t tu o t t tftu d d 1 1 ),()( Ftf 若 djd)( Fttf 則 dd)(j Fttf 或 nnn Ftft dd)(j 2頻域微分

6、性質(zhì) 或 nnn Ftft j)( 推廣 八時域積分性質(zhì) ，則若 Ftf jd00 FfF t 時， j0d00 FFfF t 時， 也可以記作： )( j 1)( F 證明 atfF atfF aFaatfF 1 綜合上述兩種情況 teatfatfF tdj因?yàn)?xataxtatxa d1d,0 ，令當(dāng) x a tx aa x ttaatx aaa d 1 d, 1 , ,0 令 ，當(dāng) aFa 1 xexfa a x d1 j aFa 1 xexf a xa d1 j xexfa a x d1 j 等效脈沖寬度與等效頻帶寬度 O t 0f tf O 0F F B 0d fttf BFF 0d

7、 d 2 1 d 2 1 0 0 j F eFf t t ttfF d0 1 2 fBB 等效脈沖寬 度與占有的 等效帶寬成 反比。 例 3-7-1 t1即 , 1t 21tF tj2則 ,j2) s g n ( tF已知 例 3-7-2 )sgn (2 )s g n (j 相移全通 網(wǎng)絡(luò) 2Sa22 EFtutuEtf tc , 2 Sa 2 2 Sa 2 1 22 t E t EtFuuEf cc c c cc 例 3-7-3 ，若 02 c 的方波 寬度為 02 )()S a ( 02 0 0 Gt 則有 例 3-7-4（時移性質(zhì)，教材 3-2） 求圖 (a)所示三脈沖信號的 頻譜。 t

8、f t 2 2 TT E ( a ) 三 脈 沖 信 號 的 波 形 解： ,0 0 F tf 信號，其頻譜函數(shù) 表示矩形單脈沖令 2Sa0 EF 2 0 F E O ( b ) ,2a 4Sa222 12 EFtf 例 3-7-9 2 5j 4Sa252 eEtf （向右）時移，對 255 tb 的頻譜密度函數(shù)。，求已知 522Sa tfEFtf 方法一：先標(biāo)度變換 ， 再時延 5j2Sa55 eEtft （向右）：時移對 2 5j 4Sa2522 eEtf：壓縮對所有 方法二：先時延再標(biāo)度變換 相同 例 3-7-6（教材例 3-4） 已知矩形調(diào)幅信號 ,c o s0ttGtf 試求其頻譜函

9、數(shù)。脈寬為 ，為為矩形脈沖，脈沖幅度其中 , EtG 為的頻譜已知矩形脈沖 GtG 2Sa EG 解： 因?yàn)?tt eetGtf 00 jj21 為頻譜根據(jù)頻移性質(zhì)， Ftf 00 2 1 2 1 GGF t tf o 2 2 E ( a ) 矩 形 調(diào) 幅 信 號 的 波 形 頻譜圖 2 Sa 22 Sa 2 2 1 2 1 00 00 EE GGF 0二，向左、右各平移將包絡(luò)線的頻譜一分為 2 0 0 O 0 2 E F ( b ) 矩 形 調(diào) 幅 信 號 的 頻 譜 求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù) 例 3-7-5 o tf t 2 2 E o F 2E 44 分析 o tf t 2 2 E 方

10、波三角形函數(shù) 求導(dǎo) o tf t 2 2 E2 沖激函數(shù)方波 求導(dǎo) o tf t 2 2 E2 E2 E4 X FF 22j 2j2j2 2421 eEEeEF tetEtEtEtfF td 2 24 2 2 j 2j2j 2 2 21 ee E 2 2 2 4j4j 2 4s inj2 22 EeeE 2 2 2 2 2 4 Sa 2 4 4 4 s i n 8 EE 2j2j 242 eEEeE 第 29 頁 X 例 3-7-8 tftF 2 解： ？，求已知 tftFFtf 2)()( FF 2 d dj tfttfF 2 1 nn tt F21 d dj1 Ft 例 3-7-9 解：

11、2 2 d djj1 Ftt nnnnnnn Ft d2djddj1 ntF求 例 3-7-10 1. 求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換 t tttu d)()( 已知 1)( t )(j11)(j1)( tu則 2Sa)( tG 00)0S a ( F，知由 2Sajd t GF 2 Sajd t G t )( 1 tG O2 2 積分的頻譜函數(shù)。求門函數(shù) tG .2 t )( tG O2 2 1 解： 解： 證明 設(shè) f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略） tetfF t d)()( j tttftttf dsi njdc os 顯然 tttfX tttfR ds i n dc o s

12、 RR 的偶函數(shù)關(guān)于 FF FtfF已知 FtfF XX 的奇函數(shù)關(guān)于 證明 tebatfF td)( j1 x aeexfF a bx a d1)( jj 1 a b eaFa j1 a bx aa bxt eeee jjjj xaeexfF a bx a d1)( jj 1 xeexfa a bx a d)(1 jj a bx aa b eaFaxexfea jjj 1 d)(1 xatabxtxbata d1d,0 則設(shè)時當(dāng) xatabxabxtxbataaa d1d,0 則設(shè)時當(dāng) 證明 tef tt dd j tetuf tdd j 變上限積分用帶時移的 單位階躍的無限積分表 示 ， 成為 tutf ddj tetuf t交換積分順序 ， 即先求時移的單位階躍 信號的傅里葉變換 后先 t d j 1 j ef 常數(shù)，移到積分外 為而言對積分變量 續(xù) d j 1 j ef dj1 j ef F j 1 FF j1 j0 FF 則第一項(xiàng)為零如果 ,00 F j0j1d FFFft j 1Ftutf 續(xù) d)(21)( j teFtf dj)(21 j teFtf )(jj)()( FFtf )(j)( FtfF 證明 即 (flash)