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1、第 5講 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 概念 1、質(zhì)數(shù) 只有 1和本身是因數(shù)，沒(méi)有其 他因數(shù) (也叫約數(shù) ) 2、合數(shù) 除了 1 和本身之外，還有其他 的因數(shù) 注意： 1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù) 分解質(zhì)因數(shù) 每個(gè)合數(shù)都可以分解為一系列質(zhì)數(shù)的積的 形式，這種過(guò)程叫做 分解質(zhì)因數(shù) 。且這種 分解的結(jié)果是唯一的。 分解質(zhì)因數(shù)是解決數(shù)字問(wèn)題的常用思路 性質(zhì) 1、 合數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè) 如果你愿意，可以用任何一個(gè)數(shù)產(chǎn)生無(wú)數(shù) 個(gè)合數(shù)，比如 2n (n是自然數(shù) ) 2、 質(zhì)數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè) 我們找出開(kāi)始的幾個(gè)質(zhì)數(shù)： 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47， 53， 59，
2、 61， 67, 可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)數(shù)逐漸 稀疏，即使如此，也可以證明，質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有 無(wú)數(shù)個(gè)。 質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)的經(jīng)典證明 證：假設(shè)只有有限多個(gè)質(zhì)數(shù)： p1， p2， ， pn , 構(gòu)造一個(gè)數(shù)： N=(p1p2 pn)!+1, 則 N是一個(gè)新的質(zhì)數(shù) 。 若不然 ， 則 N是一個(gè)合數(shù) ， 于是 N可以被 p1， p2， ， pn中的某一個(gè)質(zhì)數(shù) pi整 除 ， 而 pi必然整除 (p1p2 pn)!， 因此 1=N- (p1p2 pn)!可被 pi整除 ， 矛盾 ！ 例題 1、試判別 359是不是質(zhì)數(shù) 分析： 首先知道 182359192,約數(shù)都是成 對(duì)出現(xiàn)的，因此若 359有一個(gè)大于 18的約 數(shù)，則必
3、有一個(gè)小于 18的約數(shù)，因此只要 檢驗(yàn)到 18的質(zhì)因數(shù)即可。 用 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17依次試除 359， 發(fā)現(xiàn)都不是 359的約數(shù)，因此 359式質(zhì)數(shù)。 2、求質(zhì)數(shù) p,使得 p+10和 p+14都是質(zhì)數(shù) 試驗(yàn) ：此題看不出什么規(guī)律，因此不妨取幾個(gè)數(shù)字看 看，把 p取值分別為 2， 3， 5， 7， 11 可以發(fā)現(xiàn)什么？ 猜想 ： 除了 3 之外，后面的質(zhì)數(shù)不太可能滿(mǎn)足條 件。但是，如何證明這一點(diǎn)？ 證明 :把所有的整數(shù)按照被 3 除的余數(shù)分類(lèi)： 3k,3k-1.3k+1 3、將 1,2,3, ， 2000這些數(shù)任意排列成 為一行，得到一個(gè)數(shù) N， 求證： N一定是個(gè)
4、合數(shù)。 分析：這樣的題目看似沒(méi)有方向，我們須 確定一點(diǎn) 其中必然隱藏了一些特點(diǎn)， 那就是解題的關(guān)鍵。 本題事實(shí)上用到了被 3 整除的數(shù)字特征。 2000個(gè)數(shù)字排列的時(shí)候，數(shù)字之和是一 個(gè)不變的東西，抓住這一點(diǎn)即可。 4、已知三個(gè)不同的質(zhì)數(shù) a,b,c滿(mǎn)足 abbc+a=2000,求 a+b+c。 分析：本題用到了分解質(zhì)因數(shù)。 abbc+a=a(bbc+1)=24 53, 右邊只有 2 個(gè)質(zhì)因數(shù) ,故 a=2或 5 練習(xí) 1、 自然數(shù) n至少含有 2 個(gè)大于 10的質(zhì)因 數(shù) ， 那么 n的最小值是 _. 2 、 3599是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？ 解： 3599=3600-1=602-1 =（ 60+1）
5、（ 60-1） =61 59 因此 3599是一個(gè)合數(shù)。 3、用 1、 2、 3、 4、 5任意組成一個(gè) 五位數(shù)，所得的數(shù)中有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？ 解 :因?yàn)?1+2+3+4+5=15可以被 3整除 ,因 此這個(gè)五位數(shù)可以被 3 整除 ,因此其 中沒(méi)有質(zhì)數(shù) . 4、 p是質(zhì)數(shù)。 +2也是質(zhì)數(shù)，則 1997+ _ 2p 4p 5、 3 個(gè)不同的質(zhì)數(shù) m， n,p滿(mǎn)足 m+n=p， 則 mnp的最小值是 _ 6、已知三個(gè)質(zhì)數(shù) m,n,p的乘積等于它們 的和的 5 倍，則 _ 2 2 2m n p 7、 2 個(gè)質(zhì)數(shù)的和為 1995，則它們的積 是 _ 8 、 a,b,c,d,e 是 5 個(gè)質(zhì)數(shù) ， 其中 ab,ac,ad,并且 a+b+c+d=e,則 a=_ 9、已知正整數(shù) p,q都是質(zhì)數(shù)，且 7p+q與 pq+11都是質(zhì)數(shù)，試求 p,q的值。 10、 (1)是否存在連續(xù)個(gè)正整數(shù) ， 他們 均為合數(shù) ？ 若存在 ， 求出其中一組最小值； 若不存在 ， 說(shuō)明理由 (2)寫(xiě)出 10個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，使其中每個(gè) 都是合數(shù) . 11、某書(shū)店積存了若干畫(huà)片，按照每張 5 角出售，無(wú)人購(gòu)買(mǎi)，現(xiàn)決定按照成本價(jià)出 售，一下子全部售出，共賣(mài)了 31元 9角 3 分， 問(wèn)一共有多少?gòu)埉?huà)片？
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