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1、泰 勒 公 式 及 其 應(yīng) 用電 氣 工 程 及 其 自 動 化1 3 0 4 班王 杰 摘 要 微 分 學(xué) 理 論 的 最 一 般 情 形 是 泰勒 公 式 ， 它 建 立 了 函 數(shù) 增 量 、 自 變量 增 量 與 與 一 階 及 高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 ，因 而 可 以 用 導(dǎo) 數(shù) 及 高 階 導(dǎo) 數(shù) 來 研 究函 數(shù) 。 本 文 論 述 了 泰 勒 公 式 的 基 本內(nèi) 容 ， 并 從 幾 個 方 面 介 紹 了 它 在 數(shù)學(xué) 中 的 一 些 應(yīng) 用 使 我 們 更 加 清 楚 地認(rèn) 識 泰 勒 公 式 的 重 要 性 。 關(guān) 鍵 詞泰 勒 公 式 皮 亞 諾 余 項 拉 格 朗
2、 日 余 項 應(yīng) 用 目 錄 1 泰 勒 中 值 定 理 （ 1 ） 帶 皮 亞 諾 余 項 的 n階 泰 勒 公 式 （ 2 ） 帶 拉 格 朗 日 余 項 的 n階 泰 勒 公 式 2 泰 勒 公 式 的 若 干 應(yīng) 用 （ 1 ） 求 未 定 式 的 極 限 （ 2 ） 確 定 無 窮 小 的 階 （ 3 ） 求 函 數(shù) 在 指 定 點 處 的 高 階 導(dǎo) 數(shù) 值 （ ） 證 明 不 等 式 1.帶 有 皮 亞 諾 余 項 的 泰 勒 公 式 定 理 1 若 函 數(shù) f在 點 存 在 直 至 n階 導(dǎo) 數(shù) ,則有 , 即 .泰 勒 (Taylor)中 值 定 理 )之 間與在()(!1
3、)()( 010)1( xxxxnfxR nnn 拉 格 朗 日 形 式 的 余 項 1010)1( )(!1)(!1 )()( nnnn xxnMxxnfxR )()(! )()( 000 0)( nknk k xxoxxk xfxf 皮 亞 諾 形 式 的 余 項0)( )(lim 00 nnxx xx xR及 .)()( 0 nn xxoxR 即帶 有 皮 亞 諾 型 余 項 的 n階 泰 勒 公 式 例 2 計 算 40 3cos2lim 2 x xexx .解 )(!211 4422 xoxxex )(!4!21cos 542 xoxxx )()!412!21(3cos2 442 xoxxex 4 440 )(127lim x xoxx 原 式 .127 2. 利用泰勒公式求極限 11)1(!)1( )()1( nn xxn n nx! n )1()1( n )1( x 1 x 2x !2 )1( )10( 3. 利用泰勒公式證明不等式例3. 證明).0(8211 2 xxxx證: 21)1(1 xx 21 x 2)121(21!21 x 325)1)(221)(121(21!31 xx )10( 32 25)1(161821 xxxx )0(8211 2 xxxx
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