《導數(shù)的應用》PPT課件.ppt

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1、1 第 四 章 導 數(shù) 的 應 用 4.1 中 值 定 理 4.2 羅 必 達 法 則 4.3 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 4.4 函 數(shù) 的 極 值 與 最 值 4.5 曲 線 的 凹 性 與 拐 點 4.6 函 數(shù) 作 圖 的 基 本 步 驟 與 方 法 4.7 導 數(shù) 在 經(jīng) 濟 中 的 應 用 ( ) ( ) ( )f b f a fb a 2 第 四 章 導 數(shù) 的 應 用 導 數(shù) 是 研 究 函 數(shù) 性 質(zhì) 的 重 要 工 具 . 僅 從 導 數(shù) 概 念 出發(fā) 并 不 能 充 分 體 現(xiàn) 這 種 工 具 的 作 用 , 需 要 微 分 學 的 基 本定 理 作 為 橋 梁 . 微 分

2、中 值 定 理 包 括 羅 爾 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 、柯 西 中 值 定 理 . 4.1 中 值 定 理定 理 1 (羅 爾 定 理 )設 函 數(shù) (x) 滿 足 下 列 條 件 : (1) 在 閉 區(qū) 間 a , b上 連 續(xù) ; (2) 在 開 區(qū) 間 (a, b)上 可 導 ; (3) (a) = (b);1 羅 爾 (Rolle)定 理 3 ( ) 0.f 則 在 (a, b)內(nèi) 至 少 存 在 一 點 , 使 得bo xA By=f(x)ay羅 爾 定 理 的 幾 何 意 義 : 函 數(shù) (x)在 a, b上 的 圖 形 是 連 續(xù) 曲 線 弧 AB, 如 果

3、 除端 點 外 ,處 處 具 有 不 垂 直 于 x 軸 的 切 線 ,且 在 閉 區(qū) 間 a, b的 兩 個 端 點 a與 b處 的 縱 坐 標 相 同 , 即 (a) = (b);此 時 弦 4 顯 然 這 些 點 在 最 高 點 或 最 低 點 (局 部 范 圍 內(nèi) )處 取得 , 由 此 啟 發(fā) 了 我 們 的 證 明 思 路 . AB平 行 于 x 軸 ; 則 在 弧 AB 上 至 少 能 找 到 一 點 C( (), 使 曲 線 在 點 C 處 的 切 線 平 行 于 弦 AB, 即 平 行 于x軸 ,從 而 該 點 C處 的 切 線 斜 率 為 ( ) 0.f bo xA By

4、= f(x)ay 1 2證 因 (x)在 閉 區(qū) 間 a, b上 連 續(xù) , 故 由 第 二 章 定 理 16知 : 5 (x)在 a,b上 必 有 最 大 值 M 和 最 小 值 m.下 面 分 兩 種 情 形 討 論 :(1) 若 M = m, 則 (x)在 a , b上 恒 為 常 數(shù) . 從 而 ( , ), ( ) 0.x a b f x 恒 有 o y xy=M 6 故 在 (a , b)內(nèi) 的 每 一 點 都 可 取 作 . 定 理 顯 然 成 立 .(2) 若 , 而 (a) = (b)M m( ),M f a ( ) 0.f ( ) ( ) 0 ( ( , )f x f x

5、a b ( ) ( ) 0 (1)f x fx ( ) ( ) 0 (2)f x fx 從 而 在 區(qū) 間 (a , b)內(nèi) 至 少 存 在 一 點 .使 得 () =M則 數(shù) M 與 m 中 至 少 有 一 個 不 等 于 端 點 的 數(shù) 值 , 不 妨 設下 面 證 明因 ()= M,則 不 論 x0或 x 0時 ,有當 x 0時 , 有 7 而 (x)在 (a, b)內(nèi) 可 導 , 則 ( ) .f 存 在 0 ( ) ( )( ) ( ) lim 0 x f x ff f x 0 ( ) ( )( ) ( ) lim 0 x f x ff f x 故 必 有 ( ) 0.f 則 對 式

6、 (1)和 式 (2)取 極 限 有 ( ) ( ) ( ) ( ).f f f f 且 存 在 8 注 1.羅 爾 定 理 中 的 三 個 條 件 是 充 分 條 件 , 缺 一 不 可 .否則 結 論 不 一 定 成 立 .(一 般 地 說 結 論 正 確 就 需 證 明 ;否 則 ,只 須 舉 反 例 即 可 )用 下 列 各 圖 形 分 別 說 明 :oy xa by=f(x) oy xa by=f(x) oy xa by=f(x) ( ) ( )f a f b (x)在 a, b內(nèi)有 間 斷 點 (x)在 (a, b)內(nèi) 有不 可 導 點 (尖 點 )注 2.羅 爾 定 理 中 的

7、三 個 條 件 是 充 分 而 不 必 要 的 ,如 9 3sin 0 4( ) 3 5cos 4 4x xf x x x 2此 函 數(shù) 在 其 定 義 域 內(nèi) 羅 爾 定 理 中 的 三 個 條 件 均不 滿 足 , 但 是 卻 存 在 和 = , 使o xy=f(x)y 2 ( ) ( ) 0.2f f 10例 1. 驗 證 函 數(shù) 在 區(qū) 間 1, 2上 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件 , 并 求 出 滿 足 此 結 論 中 的 值 .3 2( ) 4 7 10f x x x x 注 3.羅 爾 定 理 是 定 性 的 結 果 , 它 只 肯 定 了 至 少 存 在一 個 , 而 不

8、 能 肯 定 的 個 數(shù) , 也 沒 有 指 出 實 際 計 算 的 值 的 方 法 . 但 對 某 些 簡 單 情 形 , 可 從 方 程 中 解 出 . 11 解 因 (x)是 一 初 等 函 數(shù) , 其 定 義 域 為 ( , ). 則 (x)在 1, 2 上 連 續(xù) , 在 (1, 2)內(nèi) 存 在 , 即 (x)在 (1, 2） 可 導 . 2( ) 3 8 7f x x x ( ) 0f x 4 373 則 滿 足 題 意 的 點 為 4 373x 23 8 7 0 x x 而 (1) = (2) = 0. 即 (x)在 1, 2上 滿 足 羅 爾 定 理的 條 件 .由 4 373

9、 而 舍 去 12 例 2. 不 求 函 數(shù) (x) = (x1) (x2) (x3) x 的 導 數(shù) , 說 明方 程 有 幾 個 實 根 ?并 指 出 它 們 所 在 區(qū) 間 . ( ) 0,1, ( ) 1,2, ( ) 2,3;f x C f x C f x C 解 ( ) 0f x ( ) (0,1), ( ) (1,2), ( ) (2,3)f x D f x D f x D (0) (1) (2) (3)f f f f 且 1 2 3 ( ) 0 , , ;f x 故 方 程 有 三 個 不 相 等 的 根1 2 3 (0,1), (1,2), (2,3). 且 13 例 3.設

10、 (x)在 a , b上 連 續(xù) , 在 (a , b)內(nèi) 可 導 , 且 (a) = (b) = 0. 試 證 : 在 (a , b)內(nèi) 至少 存 在 一 點 , 使 得 ( ) ( )f f ( ) ( ) xF x f x e令 ( ) ( ) 0 f f 于 是顯 然 羅 爾 定 理 的 端 點 條 件 要 求 太 強 了 , 將 它 去 掉 后 就 有證則 F(x) 在 a , b上 連 續(xù) , 在 (a , b)內(nèi) 可 導 , 且F(a) = F(b) = 0, 即 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件 .則 在 (a , b)內(nèi) 至 少 存 在 一 點 , 使 得( ) ( ) (

11、 ) 0 ( ( ,b) F f f e a ( ) ( ) ( ( ,b) f f a 故 14 二 .拉 格 朗 日 (Lagrange)中 值 定理定 理 2 拉 格 朗 日 (Lagrange)中 值 定 理 ) 設 函 數(shù) (x)滿 足 下 列 條 件 : (1) 在 閉 區(qū) 間 a, b上 連 續(xù) ; (2) 在 開 區(qū) 間 (a, b)上 可 導 ;則 在 (a , b)內(nèi) 至 少 存 在 一 點 , 使 得( ) ( )( ) f b f af b a o xy y = f(x)aA bB 1 2C或 也 稱 微 分 中 值 定 理 .( ) ( ) ( )( )f b f a

12、 f b a 幾 何 意 義 : 如 果 在 連 續(xù) 曲 線 弧 AB上 , 除 端 點 外 , 處 處 具 有不 垂 直 于 x軸 的 切 線 , 又 因 弦 AB的 斜 率 為 則在 弧 AB上 至 少 ( ) ( ),f b f ab a D 15 o xy y = f(x)aA bB1 2既 然 羅 爾 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的特 殊 情 形 ,下 面 利 用 分 析 的 方 法 來 構 造輔 助 函 數(shù) .要 證 ( ) ( ) ( )( )f b f a f b a 故 只 須 令 F(x) = (b)(a)(xa) (x)(a)(ba) C能 找 到 一 點

13、 C, 使 曲 線 在 點 C 處 的 切 線 平 行 于 弦 AB.( ) ( ) ( )( ) 0f b f a f b a 移 項 得 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 xf b f a x a f x f a b a 從 而 只 需 驗 證 F(x) 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件 即 可 . 易 驗證 這 個 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 、 可 導 性 以 及 端 點 條 件 .注 : 在 a, b內(nèi) 的 任 意 閉 區(qū) 間 上 ,拉 格 朗 日 中 值 定 理均 成 立 . 1 2 , x x D 16 特 別 地 , 若 x 與 x + x為 區(qū) 間 (a, b)內(nèi)

14、 的 任 意 兩 點 , 則 有 ( ) ( ) ( ) (0 1)y f x x f x f x x x 由 于 當 x為 有 限 時 , 上 式 是 y的 準 確 表 達 式 . 因 而 也 把 上 式 稱 為 有 限 增 量 公 式 . 而 函 數(shù) 的 微 分 僅 是 y的 近 似 表 達 式 , 因 而 有 限 增 量公 式 在 理 論 上 十 分 有 用 .( )dy f x dx 17 例 4. 驗 證 函 數(shù) (x) = ln x在 1, e上 滿 足 拉 格 朗 日 中 值定 理 . 若 滿 足 求 出 .解 因 (x) 在 1, e上 連 續(xù) , 在 (1, e)內(nèi) 可 導

15、. 即 (x)在 1, e上 滿 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 . 而 1( )f x x 1ln ln1 ( 1) xe ex 則 由 拉 格 朗 日 中 值 公 式 有 11 ( 1) 1.e e 18 推 論 1. ( , ), ( ) 0 x a b f x ( , ), ( ) .x a b f x C 幾 何 意 義 ： 斜 率 處 處 為 0 的 曲 線 , 一 定 是 平 行 于 x 軸 的直 線 .推 論 2. ( , ), ( ) ( )x a b f x g x ( , ), ( ) ( ) .x ab f x g x C 下 面 利 用 拉 格 朗 日 中 值 定

16、 理 證 明 等 式 和 不 等 式 .例 5.證 明 2 2sin cos 1 ( R)x x x 證 2 2( ) sin cosf x x x 令( ) 2sin cos 2cos ( sin ) 0f x x x x x ( ) ( ( , )f x C x a b 2 2sin cos 1x x 2 2 0 , (0) sin 0 cos 0 1x f C 特 殊 地 取 有 19 例 6. 證 明 不 等 式 ln (0 )b a b b a a bb a a 分 析 :因 0 a 1時 , 證 明 不 等 式 . xe ex 最 后 特 殊 取 點(2) 根 據(jù) 不 等 式 的

17、特 點 選 取 適 當 的 函 數(shù) (x)及 對 應 區(qū) 間 a , b, 使 其 滿 足 定 理 的 條 件 , 便 有再 根 據(jù) a 0, 試 證在 (a , b)內(nèi) 方 程 至 少 存 在一 個 根 . 2 22 ( ) ( ) ( ) ( )x f b f a b a f x 證 因 2 22 ( ) ( ) ( ) ( )x f b f a b a f x 可 以 改 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )2 ( )f x f x f b f ax x b a 而 在 a , b上 滿 足 柯 西 中 值 定 理 的 條 件 .2( ),f x x所 以 在 (a , b)內(nèi) 至

18、少 存 在 一 點 , 使 得2 2( ) ( ) ( )2f f b f ab a 2 22 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a b a f 故 在 (a , b)內(nèi) 方 程 至 少 存 在 一 個 根 . 23 結 論 : 拉 格 朗 日 中 值 定 理 是 羅 爾 定 理 的 推 廣 ; 柯 西中 值 定 理 又 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 推 廣 . 柯 西 中 值定 理 的 特 殊 情 形 為 拉 格 朗 日 中 值 定 理 , 拉 格 朗 日 中值 定 理 的 特 殊 情 形 為 羅 爾 定 理 . CR L(a) = (b) g(x) = x 24 多 項

19、式 對 數(shù) 值 計 算 和 理 論 分 析 都 十 分 方 便 , 所 以 在研 究 某 些 復 雜 函 數(shù) 時 , 常 常 希 望 將 它 們 表 示 為 一 個 多 項式 . 假 設 (x)在 內(nèi) 能 夠 表 示 為 一 個 多 項式 , 問 題 : 0 0( )x N x的 某 鄰 域( )nP x( ) ( ) nf x P x ( )nP x(1)多 項 式 的 系 數(shù) 應 如 何 確 定 呢 ?(2) 又 為 多 少 呢 ? 四 . 泰 勒 (Taylor)中 值 定 理 25 (1)若 (x)為 一 個 關 于 x的 多 項 式 , 即 0 1( ) nnf x b bx b x

20、 0 0( )x N x的 某 鄰 域 0 x x ( ),nP x0 1 0 0( ) ( ) ( )nn nP x a a x x a x x 因 多 項 式 函 數(shù) 具 有 任 意 階 的 連 續(xù) 導 數(shù) ,則 可 對 上 式 兩 邊求 x的 1至 n階 導 數(shù) , 有 11 2 0 0( ) 2 ( ) ( )nn nP x a a x x na x x ( )( ) ( 1) 3 2 1nn nP x n n a 22 3 0 0( ) 2 3 2 ( ) ( 1) ( )nn nP x a a x x n n a x x 假 設 (x)在 內(nèi) 表 示 為 的 多 項 式 即 下 面

21、 對 (x)分 兩 種 情 形 來 討 論 以 上 問 題 . 26 在 上 列 各 式 中 ,令 , 則 得0 x x( ) 0( )( 0,1,2, , )!knk P xa k nk 由 ( ) 0( )( ) ( ), ( 0,1,2, , )!kn k f xP x f x a k nk 則從 而 ( )20 00 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2! !n nn f x f xf x P x f x f x x x x x x xn 27并 記 (x)與 之 誤 差 為 從 而 有( )nP x ( ),nR x ( ) ( ) (

22、).n nf x P x R x ( )nR x ( )nP x( )20 00 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2! !n nf x f xf x f x f x x x x x x xn (x), 即 有當 很 小 且 在 允 許 的 誤 差 范 圍 之 內(nèi) 時 ,就 可 用 去 近似 代 替 (2)若 (x)不 是 多 項 式 , 而 是 一 個 在 內(nèi) 具 有直 到 (n+1)階 導 數(shù) 的 一 般 函 數(shù) , 則 我 們 可 仿 照 上 式 構 造 一個 關 于 x的 多 項 式 0 0( )x N x的 某 域 ( )20 00 0 0 0

23、0( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2! !n nn f x f xP x f x f x x x x x x xn 28 ( )nR x定 理 4.(泰 勒 Taylor中 值 定 理 ) 若 函 數(shù) (x)在 內(nèi) 具 有 直 到 (n+1)階 導 數(shù) , 則 均 有0 0( , )x U x 的 某 鄰 域 ( , ),x ab ( )20 00 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2! !n n nf x f xf x f x f x x x x x x x R xn ( 1) 10 0( )( ) ( ) ( ).(

24、1)!n nn fR x x x x xn 介 于 與 之其 中 那 么 , 誤 差 如 何 確 定 呢 ? 29則 F(t)在 區(qū) 間 上 連 續(xù) 且 可 導 ,并 有0 0 , , x x x x或( 1) ( ) ( 1)10 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )! ! !k k nn k k nk f t f t f tF t x t k x t x tk k n 1( ) ( ) ,nG t x t ( ) ( )2 0() () ()() ( ) () ()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2! ! !n knn kkf t f t f tFt f x f t

25、f t x t x t x t f x x tn k 理 論 證 明 可 不 講 .(證 明 提 示 )作 輔 助 函 數(shù)令則 F(t)和 G(t)滿 足 柯 西 中 值 定 理 的 條 件 , 故 在 30 0 x x與 之 至 少 存 在 一 點 , 使 得( 1)00( ) ( ) ( ) 1 1( )( )( ) ( ) ( ) ! ( 1)( )n n nF x F x F f xG x G x G n n x ( 1) 01( ) ( ) ( )( 1)! nnR x f Gxn ( 1)1 ( )( 1)! nfn 0 ( ) ( ) 0, ( ) ( )nF x G x F x

26、 R x 而 ( 1) 10 0( )( ) ( )( 1)!n nf x x x xn 在 與 之 間 31為 函 數(shù) (x)在 處 的 n 階 泰 勒 多 項 式 .稱 而 式稱 為 函 數(shù) (x)在 處 的 n 階 拉 格 朗 日 余 項 .注 2.若 (x)滿 足 定 理 的 條 件 , 則 ,其 誤 差 可 由來 估 計 . 注 1.將 ( )20 00 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2! !n n nf x f xf x f x f x x x x x x x R xn 稱 為 函 數(shù) (x)在 處 的 n 階 泰 勒 公 式 或

27、泰 勒 展 開 式 .0 x x ( )20 00 0 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2! !n nn f x f xP x f x f x x x x x x xn 0 x x0 x x ( 1) 10( )( ) ( )( 1)!n nn fR x x xn ( ) ( )nf x P x( 1) 10( )( ) ( )( 1)!n nn fR x x xn 32注 4.在 泰 勒 公 式 中 令 則 又 可 得 到 馬 克 勞 林 (Maclaurin)公 式 或 馬 克 勞 林 (Maclaurin)展 開 式 . 即 為 因 此 , 泰 勒 公

28、 式 是 拉 格 朗 日 公 式 的 推 廣 .注 3.在 泰 勒 公 式 中 令 n = 0, 則 又 可 得 到 拉 格 朗 日 公 式0 0 0 0 0( ) ( ) ( )( )( ( )( ) ( )f x f x f x x x x f x x R x 在 與 之 間 ).其 中0 0 x ( )2(0) (0)( ) (0) (0) ( )2! !n n nf ff x f f x x x R xn 1 1( )( ) ( 1)!n nn fR x x xn 其 中 在 0與 之 間 ).1 1( )( ) (0 1)( 1)!n nn f xR x xn 或 33 例 9.寫

29、出 的 n階 馬 克 勞 林 展 開 式 .注 :在 上 式 中 令 x = 1, 則 得 無 理 數(shù) e的 近 似 值( ) xf x e ( ) 1( ) ( ) ( ) ( )n n xf x f x f x f x e 解 ( )(0) (0) (0) 1nf f f 且 1( ) (0 1)n xf x e 而 ( ) xf x e則 的 馬 克 勞 林 展 開 式 為21 11 ( )2! !x n ne x x x R xn ( 1) 1( )( ) (0 1)( 1)!n nn f xR x xn 其 中 1 11 1 2! !e n 此 時 所 產(chǎn) 生 的 誤 差 為 3(

30、1)! ( 1)!n eR n n 10 2.718282 .n e -6當 時 , 可 計 算 出 其 誤 差 不 超 過 10 34注 :泰 勒 中 值 定 理 可 用 來 近 似 求 函 數(shù) 值 ,并 且 n 取 得 越 大近 似 程 度 越 好 . 解 例 10.寫 出 函 數(shù) (x) = ln(1+x)在 n = 2 時 的 馬 克 勞 林 展 開 式 .1 2 3( ) (1 ) , ( ) (1 ) , ( ) 2!(1 )f x x f x x f x x 3(0) 1, (0) 1!, ( ) 2!(1 )f f f 且 ( ) 1 ln(1 )f x x 則 的 2階 馬 克 勞 林 展 開 式 為2 2(0) (0)ln(1 ) (0) ( )1! 2 !f fx f x x R x 2 21 ( )2x x R x 332 3( )( ) ( 0 )3! 3(1 )f xR x x x 其 中 介 于 與 之 間