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1、一、定義0 qyypy二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 的 標 準 形 式)(xfqyypy 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程 的 標 準 形 式7.7 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 ,rxey 設將其代入上方程, 得0)( 2 rxeqprr ,0rxe故有02 qprr 特 征 方 程,2 422,1 qppr 特征根二、二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 解 法0 qyypy特 征 方 程 法 : 用 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 的特 征 方 程 的 根 確 定 通 解 . 1、 有 兩 個 不 相 等 的 實 根 ,2 421 qppr ,
2、2 422 qppr ,11 xrey ,22 xrey 兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為;21 21 xrxr eCeCy )0( 特征根為 ,11 xrey 已 知 為 方 程 的 兩 個 特 解xrey 22 反 之 ：如 何 求 微 分 方 程 ？為 特 征 方 程 的 根21,rr 0)( 21 rrrr則 特 征 方 程 為 0)( 21212 rrrrrr 0)( 2121 yrryrry微 分 方 程 為 2、 有 兩 個 相 等 的 實 根 ,11 xrey ,221 prr )0( 一特解為得齊次方程的通解為;)( 121 xrexCCy 代入原方程并化簡，將222 y
3、yy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u知,)( 21 cxcxu ,12 xrxey 則,)( 12 xrexuy 設另一特解為特征根為,)( xxu 取=0 =0 ,1xrxey 已 知 為 方 程 的 一 個 特 解反 之 ：如 何 求 微 分 方 程 ？為 特 征 方 程 的 重 根r 0)( 21 rr則 特 征 方 程 為 02 2112 rrrr 02 211 yryry微 分 方 程 為 3、 有 一 對 共 軛 復 根 ,1 ir ,2 ir ,)(1 xiey ,)(2 xiey )0( 重新組合)(21 211 yyy ,cos xe x )(21 21
4、2 yyiy ,sin xe x 得齊次方程的通解為).sincos( 21 xCxCey x 特征根為),sin(cos1 xixey x ),sin(cos2 xixey x 02 qprr0 qyypy 特征根的情況 通解的表達式 實根21 rr 實根21 rr 復根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xrexCCy 2)( 21 )sincos( 21 xCxCey x 總 結 : .044的通解求方程 yyy解特征方程為,0442 rr解得,221 rr故所求通解為.)( 221 xexCCy 例 1 .052的通解求方程 yyy解特征方程為,0522 rr解得,212
5、1 ir ，故所求通解為).2sin2cos( 21 xCxCey x 例 2 方程。的三個特解，求此微分次微分方程是二階常系數(shù)線性非齊：已知例xx xxxxxx xeeqyypy eexeyxeyexey 2 ,3 23221 ,31 xeyy 解 ： ,221 xeyy 11 r特 征 根 22 r特 征 根 0)2)(1( rr特 征 方 程 為 ： 022 rr 02 yyy齊 次 方 程 為 xx xeeyyy 22 微 分 方 程 為 方 程 。的 一 個 特 解 ， 求 此 微 分 微 分 方 程是 二 階 常 系 數(shù) 線 性 齊 次： 已 知例 tx sin4 解 ： ir 2
6、1，特 征 根 012 r特 征 方 程 為 ：0 xx齊 次 方 程 為的通解。求微分方程例05 ayy02 ar解 ： 0,0)1( 21 rra xyy 21 ,1 xccy 21 iara 21,0)2( ， xayxay sin,cos 21 ara 21,0)3( ， xaxa ececy 11xacxacy sincos 21 ).(, )sin()()1 22222 ufzeyzxz yefzuf x x求滿足方程具有二階連續(xù)導數(shù)，而設練習 )()( ufuf 0)()( ufuf012 r uu ececuf 21)(某個鄰域內單調減少。某個鄰域內單調增加；取得極小值；取得極
7、大值；在點則且的一個解，若是方程設)()( )()( )(,0)(,0)( 042)()2 000 DC BA xxfxfxf yyyxfy )(4)( 00 xyxy 解 ： 0處 取 到 極 大 值在 0)( xxf 三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( yPyPyPy nnnn 特征方程為0111 nnnn PrPrPr r若 有 一 個 單 實 特 征 根 rxe方 程 有 一 個 根重 實 特 征 根為若 kr rxkrxrx exxeek 1, 個 根方 程 有 ir 若 有 一 對 單 共 軛 復 根 xexe xx sin,cos方 程 有 兩 個 根 重 共 軛 復
8、 根為若 mir xxexxe xxexxexexem mxmx xxxx sin,cos sin,cos,sin,cos 11 個 根方 程 有 01)1(1)( yPyPyPy nnnn 特征方程為0111 nnnn PrPrPr 特征方程的根通解中的對應項rk重根若是rxkk exCxCC )( 1110 jk復根重共軛若是xkk kk exxDxDD xxCxCC sin)( cos)( 1110 1110 的 通 解 。： 求 微 分 方 程例 0)9(66 2 yayy 0)9(6 223 rarr解 ： airr 3,0 axeyaxeyy xx sin,cos,1 33321
9、axecaxeccy xx sincos 33321 特征根為,1 54321 irrirrr 故所求通解為.sin)(cos)( 54321 xxCCxxCCeCy x 解 ,0122 2345 rrrrr特征方程為,0)1)(1( 22 rr .022 )3()4()5(的通解求方程 yyyyyy例 7 齊 次 微 分 方 程 。 數(shù) 線 性為 兩 個 特 解 的 四 階 常 系、： 求 以例 ttet2sin8 四 個 根解 ： 據 分 析 特 征 方 程 有 irr 2,1 4,32,1 0)4()1( 22 rr特 征 方 程 為 04852 234 rrrr 04852 )2()3()4( yyyyy微 分 方 程 為
常系數(shù)齊次線性方程
