線性方程與非線性方程的概述與運用

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1、線 性 方 程 與 非線 性 方 程 的 概述 與 運 用 q 問 題 背 景 和 研 究 目 的u 解 方 程 （ 代 數(shù) 方 程 ） 是 最 常 見 的 數(shù) 學(xué) 問 題 之 一 ，也 是 眾 多 應(yīng) 用 領(lǐng) 域 中 不 可 避 免 的 問 題 之 一 。u 求 解 一 般 非 線 性 方 程 沒 有 通 用 的 解 析 方 法 ， 但 如 果 在 任 意 給 定 的 精 度 下 ， 能 夠 解 出 方 程 的 近 似 解 ， 則 可 以 認 為 問 題 已 能 夠 解 決 ， 至 少 可 以 滿 足 實 際 需 要 。u 本 節(jié) 主 要 介 紹 一 些 有 效 的 求 解 方 程 的 數(shù)

2、值 方 法 ： 二 分 法 ，迭 代 法 （ 牛 頓 法 ） 。 同 時 要 求 大 家 學(xué) 會 如 何 利 用 Matlab 來求 方 程 的 近 似 解 。2.6 非 線 性 方 程 近 似 根 相 關(guān) 概 念0( )f x u 如 果 f(x) 是 一 次 多 項 式 ， 稱 上 面 的 方 程 為 線 性 方 程 ； 否 則 稱 之 為 非 線 性 方 程 。q 線 性 方 程 與 非 線 性 方 程 0f x 問 題 ： 如 何 求 連 續(xù) 的 非 線 性 方 程 實 根 的 近 似 值 。根 的 隔 離 若 函 數(shù) f(x) 在 閉 區(qū) 間 a,b上 連 續(xù) ， 且 f(a)f(b

3、)0， 則 f(x)在 開 區(qū) 間 (a,b)內(nèi) 至 少 存 在 一 個 根 。 通 過 根 的 隔 離 ， 可 假 設(shè) 此 區(qū) 間 內(nèi) 存 在 唯 一 根 x*。1a 1x 2b2a 2x 3b3a 3x 4b4a 4x 5a 5x 5 6b a 6b6x1b q 基 本 思 想 二 分 法將 隔 離 區(qū) 間 進 行 對 分 ， 判 斷 出 解 在 某 個 子 區(qū) 間 內(nèi) ， 然后 再 對 該 子 區(qū) 間 對 分 ， 依 次 類 推 ， 直 到 滿 足 給 定 的 精度 為 止 。q 適 用 范 圍求 有 根 區(qū) 間 內(nèi) 的 單 根 或 奇 數(shù) 重 實 根 。q 數(shù) 學(xué) 原 理 ： 介 值

4、定 理設(shè) f(x) 在 a, b 上 連 續(xù) ， 且 f(a) f(b)0， 則 由 介 值 定理 可 得 ， 在 (a, b) 內(nèi) 至 少 存 在 一 點 使 得 f()=0。 0 01: , 0, , ;Step i a a b b 預(yù) 定 精 度 12 1 11 12: , if 0, , ; else if 0, , ; else , ;i i ii i i i i ii i i i i iiStep x a bf a f x a a b xf b f x a x b bx x break 3:if , 1,goto Step2; else .i i iStep b a i ix x

5、q 算 法 二 分 法設(shè) 方 程 在 區(qū) 間 a,b 內(nèi) 連 續(xù) ， 且 f(a)f(b)0， 給 定 精度 要 求 ， 若 有 |f(x)| ， 則 x 就 是 f(x) 在 區(qū) 間 (a,b) 內(nèi) 的 近 似 根 。 q 收 斂 性 分 析 二 分 法 收 斂 性= =* 1 1 11 1 1 1| | ( ) ( ) ( )2 2 2 2n n n n n nx x b a b a b a 設(shè) 方 程 的 根 為 x* (an , bn ) ， 又 ， 所 以2n na bnx 0(n )根 據(jù) 上 面 的 算 法 ， 我 們 可 以 得 到 一 個 每 次 縮 小 一 半 的區(qū) 間 序

6、 列 an , bn ， 在 (an, bn ) 中 含 有 方 程 的 根 。, ( , ), .a b n預(yù) 定 精 度 初 始 區(qū) 間 為估 計 達 到 預(yù) 定 精 度 所 需 最 少 二 分 次 數(shù) 11 ( )2n nx x b a 2log 1b an 二 分 法 總 是 收 斂 的u 二 分 法 的 收 斂 速 度 較 慢u 通 常 用 來 給 出 根 的 一 個 較 為 粗 糙 的 近 似 。 簡 單 迭 代 法q 基 本 思 想u 構(gòu) 造 f (x) = 0 的 一 個 等 價 方 程 ： ( )x xu 從 某 個 初 值 x0 出 發(fā) ， 構(gòu) 造 迭 代 格 式得 到 一

7、 個 迭 代 序 列 0k kx 1 ( )k kx x k = 0, 1, 2, . . (x) 的 不 動 點f (x) = 0 x = (x)等 價 變 換f (x) 的 零 點 (x) 稱為迭代函數(shù) u 若 收 斂 ， 即 ， 假 設(shè) (x) 連 續(xù) ， 則q 收 斂 性 分 析迭 代 法 的 收 斂 性 1lim lim ( ) limk k kk k kx x x lim *kk x x *x ( *)x kx* ( *)x x ( *) 0f x 即 注 ： 若 得 到 的 點 列 發(fā) 散 ， 則 迭 代 法 失 效 ！ 迭 代 法 的 收 斂 性 判 據(jù)定 理 2.1： 全 局

8、 收 斂定 理 2.2： 全 局 發(fā) 散定 理 2.3： 局 部 收 斂 與 發(fā) 散定 理 2.4： 收 斂 速 度 q 定 義 ： 迭 代 法 收 斂 性 判 斷如 果 存 在 x* 的 某 個鄰域 =(x*- , x* + ), 使得 對 x0 開 始 的 迭 代 xk+1 = (xk) 都 收 斂 , 則 稱 該 迭 代 法 在 x* 附 近 局 部 收 斂。q 定 理 1： 設(shè) (x) 在 某 個 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ， 且 對 x 都 有 |(x)|L 1, 則 迭 代 局 部 收 斂 。 迭 代 法 收 斂 性 判 斷 1 0| *| | |1 kk Lx x x xL q 定 理

9、 2： 設(shè) ， 且(1)對 xa, b，有 (x)a, b；(2)對 xa, b，有 |(x)|L 1； 則 對 x0a, b ， 由 迭 代 xk+1 = (xk) 得 到的 點 列 都 收 斂 （ 全 局 收 斂 ） ， 且L 越小，迭代收斂越快 1 ,a bC 收 斂 階為 了 進 一 步 研 究 收 斂 速 度 問 題 ， 引 入 階 的 概 念 ：記 ， 如 果 ( p=1時 還 要 求 0c1時 稱 為 超 線 性 收 斂 。p越 大 收 斂 越 快 。*k ke x x )(0lim 1 Npcee p kkk 牛 頓 迭 代 法( ) ( )( ) k k kf x f x x

10、 x 令 ： 1( ) 0kP x 1 ( )( )kk k kf xx x f x ( ( ) 0)kf x q 基 本 思 想 ：用 線 性 方 程 來 近 似 非 線 性 方 程 ， 即 采 用 線 性 化 方 法o( ) ( ) ( )( ) ( )k k k kf x f x f x x x x x u 設(shè) 非 線 性 方 程 f (x)=0 , f (x) 在 xk 處 作 Taylor 展 開( )P xq 牛 頓 迭 代 公 式 k = 0, 1, 2, . . 牛 頓 迭 代 公 式q 牛 頓 法 的 優(yōu) 點q 牛 頓 法 是 目 前 求 解 非 線 性 方 程 (組 ) 的

11、 主 要 方 法對 于 單 重 根 迭 代 2階 收 斂 ， 收 斂 速 度 較 快 ，特 別 是 當 迭 代 點 充 分 靠 近 精 確 解 時 。q 牛 頓 法 的 缺 點l 對 重 根 收 斂 速 度 只 有 線 性 收 斂l 對 初 值 的 選 取 很 敏 感 ， 要 求 初 值 接 近 精 確 解在 實 際 計 算 中 ， 如 果 要 求 高 精 度 ， 可 以 先 用 其 它 方 法（ 如 二 分 法 ） 獲 得 精 確 解 的 一 個 粗 糙 近 似 ， 然 后 再 用 牛 頓 法 求 解 。 牛 頓 迭 代 法 大 范 圍 收 斂 性(2) , ( ) ,a bf x C設(shè) 函

12、 數(shù) 且 滿 足 條 件 ：1. ( ) ( ) 0;f a f b 2. , , ( ) 0;x a b f x 3. ( , ), ( )x a b f x 保 號 ；4. ( ) , ( ) .a b b a ( ) f xx x f x 0 , , 2 , x a bNewton a b則 對 任 意 初 值迭 代 法 產(chǎn) 生 的 迭 代 序 列 階 收 斂 到 內(nèi) 唯 一 單 根 。 Matlab 解 方 程 的 函 數(shù)roots(p)： 多 項 式 的所有零點，p 是 多 項 式 系 數(shù) 向 量 。fzero(f,x0)： 求 f=0 在 x0 附 近 的 根 ，f 可 以 使 用

13、 inline、 字 符 串 、 或 ， 但 不 能 是 方 程 或 符 號 表 達 式 ！solve(f,x)： 求 方 程 關(guān) 于 指 定 自 變 量 x的 解 ， f 可 以 是 用 字 符 串 表 示 的 方 程 、 符 號 表 達 式 或 符 號 方 程 ；l solve 也 可 解 方 程 組 (包 含 非 線 性 )； l 得 不 到 解 析 解 時 ， 給 出 數(shù) 值 解 。Ab： 解 線 性 方 程 組 Ax=b。 其 他 Matlab 相 關(guān) 函 數(shù)g=diff(f,x)： 求 符 號 表 達 式 f 關(guān) 于 x 的 導(dǎo) 數(shù)g=diff(f)： 求 符 號 表 達 式 f

14、關(guān) 于 默 認 變 量 的 導(dǎo) 數(shù)g=diff(f,x,n)： 求 f 關(guān) 于 x 的 n 階 導(dǎo) 數(shù)q diffl f 是 符 號 表 達 式 ， 也 可 以 是 字 符 串 l 默 認 變 量 由 findsym(f,1) 確 定 syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x) g=diff(sin(x)+3*x2,x) 作 業(yè)每 題 分 別 用 兩 種 一 步 迭 代 法 （ 要 求 寫 出 迭 代 格 式 ） ：1） Newton迭 代 法 ；2） 自 己 構(gòu) 造 的 非 牛 頓 切 線 或 割 線 法 迭 代 格 式 （ 需 討 論 收 斂 性 ） 根 據(jù) 迭 代

15、 格 式 用 計 算 機 （ 器 ） 求 下 列 非 線 性 方 程 的 根 ： 2(1) ( ) sin , 4xf x x 在 區(qū) 間 內(nèi) 的 根 ， 精 確 至 小 數(shù) 點 后 2位 。3 2(2) ( ) 4 9 1,1.5f x x x 在 區(qū) 間 內(nèi) 的 根 ， 精 確 至 小 數(shù) 點 后 3位 。 迭 代 法 的 加 速1 1( ) ( )k k k k kx w x w x u 設(shè) 迭 代 xk+1 = (xk) ， 第 k 步 和 第 k+1 步 得 到 的 近 似 根 分 別 為 xk 和 (xk) ， 令其 中 wk 稱 為 加 權(quán) 系 數(shù) 或 權(quán) 重 。 得 新 迭 代

16、 xk+1 = (xk) 1( ) ( ) ( )x w x w x u 加 權(quán) 系 數(shù) w k 的 確 定 ： 令 (x)=0 得11 ( )w x 11 ( )k kw x Altken 迭 代 法q Altken迭 代 法 用 差 商 近 似 微 商 2 1 1* ( *) ( ) ( )( * )x x x x x x u 設(shè) x* 是 方 程 的 根 ， 則 由 微 分 中 值 定 理 可 得1 0 2 11 0 1 0( ) ( )( ) x x x xx x x x 2 12 11 0 )* ( *x xx xx xx x 22 12 2 1 0( )* 2x xx x x x x Altken 迭 代 法q Altken迭 代 公 式 22 12 2 1 0( )* 2x xx x x x x (1) (2) (1)( ), ( ) k k k kx x x x (2) (1) 2(2)1 (2) (1)( )2k kk k k k kx xx x x x x k = 0, 1, 2, . . Altken 法 同 樣 具 有 較 好 的 加 速 效 果