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1、4.3.2 空 間 兩 點 間 的 距 離 公 式 問 題 提 出 1. 在 平 面 直 角 坐 標 系 中 兩 點 間的 距 離 公 式 是 什 么 ？ 2. 在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 若 已知 兩 個 點 的 坐 標 ， 則 這 兩 點 之 間 的距 離 是 惟 一 確 定 的 ， 我 們 希 望 有 一個 求 兩 點 間 距 離 的 計 算 公 式 ， 對 此 ，我 們 從 理 論 上 進 行 探 究 . 4 知 識 探 究 （ 一 ） :與 坐 標 原 點 的 距 離 公 式 思 考 1:在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 點 A（ x， 0， 0） ， B（ 0，
2、y， 0） ， C（ 0，0， z） ， 與 坐 標 原 點 O的 距 離 分 別 是什 么 ？ x yz OAB C|OA|=|x|OB|=|y|OC|=|z| 5 思 考 2:在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 坐 標平 面 上 的 點 A（ x， y， 0） ， B（ 0， y，z） ， C（ x， 0， z） ， 與 坐 標 原 點 O的 距 離 分 別 是 什 么 ？ x yzO A 2 2| |O A x y= +2 2| | ,O B y z= + 2 2| |O C x z= +BC 6 思 考 3:在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 設 點 P（ x， y， z） 在
3、 xOy平 面 上 的 射 影 為M， 則 點 M的 坐 標 是 什 么 ？ |PM|,|OM|的 值 分 別 是 什 么 ？ x yzO PMM(x,y,0)|PM|=|z| 2 2| |O M x y= + 在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 若已 知 兩 個 點 的 坐 標 ， 則 這 兩 點之 間 的 距 離 是 惟 一 確 定 的 ， 我們 希 望 有 一 個 求 兩 點 間 距 離 的計 算 公 式 ， 對 此 ， 我 們 從 理 論上 進 行 探 究 . xy P1(x1,y1) P2(x2, y2)Q(x2,y1)O x2y2 x1y1 長 a， 寬 b， 高 c的 長 方
4、 體 的 對 角 線 ， 怎 么 求 ？ 2 2 2d a b c d ca b O Pz yx xy z在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ,點 P(x， y， z)到 xOy平 面 的 距離 ， 怎 么 求 ？ xOyyOzxOzd zd xd y一 、 探 究 ： 空 間 兩 點 間 的 距 離 公 式垂 線 段的 長 O Pz yx d x0y0 z0 2 20 02 20 02 20 0 xyzd y zd x zd x y 在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ,點 P(x0， y0， z0)到 坐 標 軸的 距 離 ， 怎 么 求 ？ 垂 線 段的 長 x yzo1.空 間 點 到
5、 原 點 的 距 離A B C( , , )P x y z |BP|=|z|2 2|OB|= x +y2 2 2|OP|= x +y +z 2.如 果 是 空 間 中 任 意 一 點 P1（ x1， y1， z1） 到 點 P2（ x2， y2， z2） 之 間 的 距 離 公 式 會 是 怎 樣 呢 ？如 圖 ， 設 P1（ x1， y1， z1） 、 P2（ x2， y2， z2）是 空 間 中 任 意 兩 點 ， 且 點 P1（ x1， y1， z1） 、P2（ x2， y2， z2）在 xOy平 面 上 的 射 影 分 別 為 M,N,那 么 M,N的 坐 標 為 M（ x 1， y1
6、，0） ， N（ x2， y2， 0） . O yzx MP1 P2NM1 N2N1 M2 H 在 xOy平 面 上 , 2 22 1 2 1MN = (x -x ) +(y -y ) .過 點 P1作 P2N的 垂 線 ， 垂 足 為 H,則 1 1 2 2MP = z ,NP = z ,所 以 2 2 1HP = z -z . 1 2在 Rt PHP中 ， 2 21 2 1 2 1PH = MN = (x -x ) +(y -y ) , 因 此 ， 空 間 中 任 意 兩 點 P1（ x1， y1， z1） 、P2（ x2， y2， z2） 之 間 的 距 離2 2 21 2 2 1 2
7、1 2 1PP = (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .根 據(jù) 勾 股 定 理2 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1PP = PH + HP = (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) , 在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 點 P(x1,y1,z1)和 點Q(x2,y2,z2)的 中 點 坐 標 (x,y,z):1 21 2 1 2222 ,.x xx y yy z zz 二 、 空 間 中 點 坐 標 公 式 例 1 在 空 間 中 ， 已 知 點 A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)， 求 A、 B兩 點 之 間 的 距 離
8、 .應 用 舉 例 ： 例 2 已 知 兩 點 A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)， 點 P在 z軸 上 ， 若|PA|=|PB|， 求 點 P的 坐 標 . P139.B3例 4 如 圖 ， 在 正 方 體 ABCD-ABCD中 ， 點 P、 Q分 別 在 棱 長 為 1的 正 方體 的 對 角 線 BD和 棱 CC上 運 動 ， 求 P、 Q兩點 間 的 距 離 的 最 小 值 ， 并 指 出 此 時 P、 Q兩 點的 位 置 . A D B CCBA Ox yz P(x,y,z 1) Q(0,1,z2)H (x,x,0)2 2 21 1 1 22 21 2 1| | (1 )
9、 ( )1 1( ) 2( )2 2PQ z z z zz z z= - + + -= - + - + 25 練 習 zx yA B COAD CBMN 2 21 2 1 2 1 2平 面 ： |PP |= (x -x ) +(y -y )，類 比 猜 想2 2 21 2 1 2 1 2 1 2空 間 ： |PP |= (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .一 、 兩 點 間 距 離 公 式 在 空 間 直 角 坐 標 系 中 ， 點 P(x1,y1,z1)和 點Q(x2,y2,z2)的 中 點 坐 標 (x,y,z):1 21 21 2222x xx y yy z zz 二 、 空 間 中 點 坐 標 公 式 作 業(yè) :P138練 習 ： 1， 2， 3。
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