大學(xué)物理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

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1、華 中 師 范 大 學(xué) 物 理 學(xué) 院 大 學(xué) 物 理 學(xué) 電 子 教 案配 合 張 三 慧 編 著 大 學(xué) 物 理 學(xué) B版 (第 三 版 ) 使 用 微 觀 物 質(zhì) 宏 觀 物 質(zhì)低 速 運(yùn) 動(dòng)高 速 運(yùn) 動(dòng)物 理 學(xué) 按 研 究 物 體 的 尺 度 及 運(yùn) 動(dòng) 速 度 劃 分 力 學(xué) 是 研 究 機(jī) 械 運(yùn) 動(dòng) 及 其 規(guī) 律 的 學(xué) 科機(jī) 械 運(yùn) 動(dòng) 是 一 個(gè) 物 體 相 對(duì) 于 另 一 個(gè) 物 體 的 位 置 ， 或一 個(gè) 物 體 內(nèi) 部 的 一 部 分 相 對(duì) 于 其 他 部 分 的 位 置 隨 時(shí) 間的 變 化 過 程 。經(jīng) 典 力 學(xué) （ 牛 頓 力 學(xué) ） ： 低 速 ，

2、宏 觀 物 體運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 描 述 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) ；動(dòng) 力 學(xué) 物 體 運(yùn) 動(dòng) 與 物 體 相 互 作 用 的 關(guān) 系 。靜 力 學(xué) 物 體 在 相 互 作 用 下 的 平 衡 問 題 。相 對(duì) 論 力 學(xué) ： 以 高 速 運(yùn) 動(dòng) 物 體 為 研 究 對(duì) 象 。 本 章 學(xué) 習(xí) 時(shí) 的 困 難 ：內(nèi) 容 在 中 學(xué) 物 理 中 已 有 涉 及 ， 學(xué) 習(xí) 時(shí) 似 懂 非 懂 。解 決 辦 法 ：思 考 這 樣 一 個(gè) 問 題 ： 究 竟 有 什 么 新 東 西 ？矢 量 描 述 微 積 分 計(jì) 算 一 、 質(zhì) 點(diǎn)質(zhì) 點(diǎn) 沒 有 大 小 和 形 狀 ， 只 具 有 全 部 質(zhì) 量 的 一 點(diǎn)

3、 ?？?以 將 物 體 簡(jiǎn) 化 為 質(zhì) 點(diǎn) 的 兩 種 情 況 ：u物 體 不 變 形 ， 不 作 轉(zhuǎn) 動(dòng) (此 時(shí) 物 體 上 各 點(diǎn) 的 速 度 及加 速 度 都 相 同 ， 物 體 上 任 一 點(diǎn) 可 以 代 表 所 有 點(diǎn) 的運(yùn) 動(dòng) )。u物 體 本 身 線 度 和 它 活 動(dòng) 范 圍 相 比 小 得 很 多 (此 時(shí) 物體 的 變 形 及 轉(zhuǎn) 動(dòng) 顯 得 并 不 重 要 )。 為 了 定 量 地 描 述 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 置 或 運(yùn) 動(dòng) ， 須 在 參 考 物 上 建立 固 定 的 坐 標(biāo) 系 。二 、 坐 標(biāo) 系選 擇 合 適 的 參 考 系 ， 以 方 便 確 定 物 體 的 運(yùn)

4、動(dòng) 性 質(zhì) ；建 立 恰 當(dāng) 的 坐 標(biāo) 系 ， 以 定 量 描 述 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) ；提 出 準(zhǔn) 確 的 物 理 模 型 ， 以 突 出 問 題 中 最 基 本 的 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 。運(yùn) 動(dòng) 的 絕 對(duì) 性 和 相 對(duì) 性1、 運(yùn) 動(dòng) 的 絕 對(duì) 性 ： 任 何 物 體 任 何 時(shí) 刻 都 在 不 停 地 運(yùn) 動(dòng) 著2、 運(yùn) 動(dòng) 的 相 對(duì) 性 ： 物 體 運(yùn) 動(dòng) 的 形 式 隨 參 考 物 的 不 同 而 不 同任 何 物 體 的 位 置 總 是 相 對(duì) 于 其 他 物 體 或 物 體 系 來(lái) 決 定 的 。 參 考 物 補(bǔ) 充 ： 坐 標(biāo) 的 發(fā) 展 歷 史1.笛 卡 兒 直 角 坐

5、 標(biāo) 用 三 個(gè) 變 量 來(lái) 描 述 物 體 在 空 間 任 一 點(diǎn) 的 位 置 ， 坐 標(biāo) 軸 的 方 向 不 隨 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) 而 改 變 ， 用 來(lái) 表 示 三 個(gè) 坐 標(biāo) 軸 方 向 的 單 位 矢 量 。2.曲 線 坐 標(biāo) ： 極 坐 標(biāo) 、 柱 坐 標(biāo) 、 球 坐 標(biāo) 和 自 然 坐 標(biāo) 用 兩 個(gè)或 三 個(gè) 變 量 來(lái) 反 映 物 體 在 平 面 或 空 間 的 位 置 。 其 代 表 坐 標(biāo)軸 方 向 的 單 位 矢 量 為 變 矢 量 坐 標(biāo) 歷 史 上 的 第 一 次 飛 躍 。 123 2 sin cossin sincos sinsinrx x rx y rx z

6、 rd dr rd r ddV r drd d r e e e 球 坐 標(biāo) 柱 坐 標(biāo) 123 cossinzx xx yx zd d dz ddV d d dz r e e e ( , , )r ( , , )z 3. 廣 義 坐 標(biāo) 反 映 力 學(xué) 體 系 在 空 間 位 形 的 獨(dú) 立 變 量 被 稱 為 廣 義 坐 標(biāo) 。它 是 拉 格 朗 日 方 程 建 立 的 基 礎(chǔ) 和 優(yōu) 越 性 所 在 ， 也 是 分 析力 學(xué) 的 基 礎(chǔ) 。廣 義 坐 標(biāo) 不 僅 拓 寬 了 坐 標(biāo) 的 概 念 ， 而 且 由 它 所 列 出 的 動(dòng)力 學(xué) 方 程 不 含 非 獨(dú) 立 變 量 ， 使 方 程

7、 的 求 解 過 程 得 到 了 簡(jiǎn)化 。 另 外 我 們 在 研 究 體 系 的 微 振 動(dòng) 時(shí) 引 入 了 簡(jiǎn) 正 坐 標(biāo) (分析 力 學(xué) 第 4章 ） ， 使 微 振 動(dòng) 方 程 的 求 解 過 程 非 常 簡(jiǎn) 單坐 標(biāo) 概 念 的 第 二 次 飛 躍4. 正 則 共 軛 坐 標(biāo) （ 分 析 力 學(xué) 第 6章 ） 坐 標(biāo) 概 念 的 第 三 次 飛 躍 一 個(gè) 固 定 在 參 考 物 上 的 坐 標(biāo) 系 和 相 應(yīng) 的 一 套 同 步 的 鐘組 成 一 個(gè) 參 考 系 。三 、 參 考 系同 一 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) ， 若 選 擇 的 參 考 系 不 同 ， 對(duì) 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn)動(dòng) 的 描 述

8、 就 會(huì) 不 同 。太 陽(yáng) 參 考 系 ZX Y地 心 參 考 系o 地 面 參 考 系實(shí) 驗(yàn) 室 參 考 系 ： 固 定 在 實(shí) 驗(yàn) 室 的 參 考 系 rP點(diǎn) 的 位 置 矢 量 （ 位 矢 ） ： PO tr在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， P點(diǎn) 坐 標(biāo) (x,y,z) r xy z X i jk O YZ Pkzjyixr P點(diǎn) 矢 徑 方 向rP點(diǎn) 矢 徑 大 小 r 222 zyxrr rxcos rycos rzcos 1.2、 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 矢 、 位 移 和 速 度 運(yùn) 動(dòng) 方 程 )(trr 軌 道 ： 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 所 經(jīng) 過 的 路 線路 程 ： 質(zhì) 點(diǎn) 在 一

9、段 時(shí) 間 內(nèi) 沿 軌 道 經(jīng) 過 的 距 離質(zhì) 點(diǎn) 相 對(duì) 參 考 系 的 運(yùn) 動(dòng) ， 可 用 位 矢 隨 時(shí) 間 的 變 化 來(lái)描 述 。 位 矢 r隨 時(shí) 間 t的 變 化 的 函 數(shù) 關(guān) 系稱 為 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 函 數(shù) 的 矢 量 表 示 式 。位 置 坐 標(biāo) x, y, z 隨 時(shí) 間 變 化 的 函 數(shù) 關(guān) 系x=x(t), y=y(t), z=z(t)稱 為 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 方 程 的 分 量 式 五 、 位 移 位 置 的 改 變kzjyix kzzjyyixxr )()()( 121212直 角 坐 標(biāo) 系 中 O ( )r t P 1P( )r t tr s s 與

10、r的 區(qū) 別 ： 1、 s 為 路 程 (軌 道 長(zhǎng) 度 )， 是 標(biāo) 量 0t dsrd 元 位 移 的 大 小 元 路 程2、 一 般 情 況 下 ， |r|s。 質(zhì) 點(diǎn) 做 單 方 向 直 線 運(yùn) 動(dòng)時(shí) ， 才 有 |r| s， 或位 移 是 矢 量 ， 有 大 小 和 方 向( ) ( )r r t t r t 思 考 題 ： r 與 r的 區(qū) 別 b)r為 標(biāo) 量 ， r 為 矢 量 1212)a rrrrrr o1r 2r r r trv 平 均 速 度瞬 時(shí) 速 度六 、 速 度 （ 單 位 ： 米 /秒 ）速 度 （ 質(zhì) 點(diǎn) 在 某 時(shí) 刻 ） 是 該 時(shí) 刻 位 矢 對(duì) 時(shí)

11、間 的 一 階 導(dǎo) 數(shù)速 度 的 大 小 ： 速 率速 度 方 向 ： t0時(shí) ， r的 極 限 方 向在 P 點(diǎn) 的 切 線 并 指 向 質(zhì) 點(diǎn) 前 進(jìn) 的 運(yùn) 動(dòng) 方 向 P1 O r rr r )(tv v tdrdtrt trttrv tt limlim 00 P 動(dòng) 畫 01位 矢 與 速 度 kvjviv kdtdzjdtdyidtdxdtrdv zyx 速 度 大 小 222 zyx vvvvv kvjviv ktzjtyitxtrv zyx 直 角 坐 標(biāo) 系 中瞬 時(shí) 速 度平 均 速 度平 均 速 率 t sv瞬 時(shí) 速 率 dtdstsv t 0lim 速 度 是 矢 量

12、 ，速 率 是 標(biāo) 量 。 kzjyixr 例 1已 知 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 分 量式 為 ： x=2ty =6-2t2式 中 x、 y 的 單 位 是 m， t的 單 位是 s， 試 求 ：(1)軌 道 方 程 ， 并 畫 出 軌 跡 圖 ；(2)t=1s到 t=2s之 內(nèi) 的 位 移 r和 平 均 速 度 (3)t=1s到 t=2s兩 時(shí) 刻 的 瞬 時(shí) 速度 v 1和 v2。 1r 2r r 1v 2vv 例 2一 質(zhì) 點(diǎn) 沿 x 軸 作 直 線 運(yùn) 動(dòng) ， 其 位 置 坐 標(biāo) 與 時(shí) 間 的 關(guān) 系 為 x =10+8t -4t2 ,求 ：（ 1） 質(zhì) 點(diǎn) 在 第 一 秒

13、、 第 二 秒 內(nèi) 的 平 均 速 度 。（ 2） 質(zhì) 點(diǎn) 在 t =0、 1、 2秒 時(shí) 的 速 度 。解 ： 01 0 10mt x （ ） 2 1 1 10 8 1 4 1 14mt x 1 2t t xv t 1 2 4(m s) v x 方 向 與 軸 正 向 相 反0 1 4(m s)v x 方 向 與 軸 正 向 相 同 22 2 10 8 2 4 2 10mt x 軸 正 向 相 反與 xv m/s82 tdtdxvt 88 2 ）（ 軸 正 向 相 同與 xv m/s80 此 時(shí) 轉(zhuǎn) 向 0 1 v代 入 t = 0 , 1 , 2 得 ： 例 2一 質(zhì) 點(diǎn) 沿 x軸 作 直

14、 線 運(yùn) 動(dòng) ， 其 位 置 坐 標(biāo) 與 時(shí) 間 的 關(guān) 系 為 x =10+8t -4t2,求 ：（ 1） 質(zhì) 點(diǎn) 在 第 一 秒 第 二 秒 內(nèi) 的 平 均 速 度 。（ 2） 質(zhì) 點(diǎn) 在 t =0、 1、 2秒 時(shí) 的 速 度 。 解 ：例 3用 矢 量 表 示 二 維 運(yùn) 動(dòng) ， 設(shè)求 t =0秒 及 t =2秒 時(shí) 質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 ， 并 求 后 者 的 大 小和 方 向 。 jtitr )2(2 2方 向 ： 軸 的 夾 角與為 xv 2 626324arctan smv /47.442 222 大 小 ： jtitdrdv 22 ivt 20 0 jivt 422 2 加 速

15、 度 是 速 度 對(duì) 時(shí) 間 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 或 位 矢 對(duì) 時(shí) 間 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) 1.3 加 速 度 （ 單 位 ： 米 /秒 2） （ 描 述 速 度 改 變 的 快 慢 和 方 向 ）平 均 加 速 度瞬 時(shí) 加 速 度 220lim)( dtrddtvdtvta t vV(t)V(t+ t)P1 P o V(t) V(t+ t) ( )r t ( )r t tvr 、 描 述 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) 的 物 理 量描 述 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 狀 態(tài) 變 化 的 物 理 量a v t t v t va t t kajaia kdtdvjdtdvidtdvdtvda zyx zyx

16、加 速 度 大 小 222 zyx aaaaa 直 角 坐 標(biāo) 系 中加 速 度例 1.1 例 1.2 已 知 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 為 r=Rcoswt i +Rsinwtj ,式 中 R、 w為 常 量 。 試 求 ： (1)軌 道 方 程 ；(2)任 一 時(shí) 刻 質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 和 加 速 度 。 XYO yaxaa twXYO yvxv twR 注意 矢 量 性 ： 四 個(gè) 量 都 是 矢 量 ， 有 大 小 和 方 向加 減 運(yùn) 算 遵 循 平 行 四 邊 形 法 則r ar v 某 一 時(shí) 刻 的 瞬 時(shí) 量不 同 時(shí) 刻 不 同過 程 量瞬 時(shí) 性 ：相 對(duì) 性 ：

17、 不 同 參 考 系 中 ， 同 一 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 描 述 不 同不 同 坐 標(biāo) 系 中 ， 具 體 表 達(dá) 形 式 不 同加 速 度 a位 矢 r 位 移 r 速 度 v 一 、 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 中 的 兩 類 問 題 ：1、 已 知 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 ， 求 速 度 、 加 速 度求 導(dǎo) 數(shù)例 1.1、 1.22、 已 知 加 速 度 和 初 始 條 件 ， 求 速 度 和 運(yùn) 動(dòng) 方 程運(yùn) 用 積 分 方 法結(jié) 合 一 維 運(yùn) 動(dòng) 來(lái) 討 論 （ 二 維 三 維 略 復(fù) 雜 些 ）dtrdv 22dtrda 0 00 0v tt v v vdva dv adt dv a dtdt 時(shí)0v

18、 v at 0 0 00 00 ( )( )r tt r r rdrv dr vdt dr v at dtdt dr v at dt 時(shí) 20 0 12r r vt at 勻 加 速 運(yùn) 動(dòng) （ 為 常 數(shù) ）初 始 條 件 :求 速 度 和 位 矢 公 式 0 00 ,t v v r r 時(shí) 勻 加 速 運(yùn) 動(dòng) 的 速 度 公 式勻 加 速 運(yùn) 動(dòng) 的 位 矢 公 式a 00 xxt 時(shí) ， atvv 0adtvdtdxdtdxv 0 200 21attvxx 特 殊 情 況 ： 勻 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) （ a 為 常 數(shù) ）設(shè) 質(zhì) 點(diǎn) 沿 X軸 做 勻 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) ， t=

19、0時(shí) ， v =v0， x =x0）求 v和 x 。 adtdvdtdva vv tadtdv 0 0 xx t dtatvdx 0 0 0 )(00 vvt 時(shí) ， adxvdvdxdvvdtdxdxdvdtdva )(2 0202 xxavv 00 xxt 時(shí) ， vv xx adxvdv0 0 上 面 求 出 了 v和 x與 a的 關(guān) 系 ?，F(xiàn) 在 求 v和 x 之 間 的 關(guān) 系 ： 更 特 殊 情 況 ： 自 由 落 體 運(yùn) 動(dòng)atvv 0 200 21attvxx 2 2v gxv gt 212x gt0 00, 0,v x a g 例 1.3 )(2 0202 xxavv 例 一

20、 質(zhì) 點(diǎn) 沿 X 軸 做 直 線 運(yùn) 動(dòng) ， 加 速 度 a =2t(ms-2)，t =0時(shí) ， 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 置 坐 標(biāo) x0=0， 速 度 v0=0， 試 求 t=2s時(shí)質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 和 位 置 。 dtdvta 2解 ： 已 知 v t tvtdtdvtadtdv 0 0 222 x t txdttdxtvdtdx 0 0 322 31)(38(m/s)42 mxvt 時(shí) 有 任 意 運(yùn) 動(dòng) 都 可 以 視 為 幾 個(gè) 各 自 獨(dú) 立 進(jìn) 行 的 直 線 運(yùn) 動(dòng) 的 疊 加（ 矢 量 加 法 ） 。 (物 理 學(xué) 中 的 重 要 原 理 之 一 ， 是 研 究 運(yùn) 動(dòng) 的 合成

21、與 分 解 的 理 論 依 據(jù) ) 運(yùn) 動(dòng) 的 獨(dú) 立 性 原 理 或 運(yùn) 動(dòng) 疊 加原 理一 、 運(yùn) 動(dòng) 疊 加 原 理二 、 拋 體 運(yùn) 動(dòng)在 地 面 附 近 ， 忽 略 空 氣 阻 力 ， 物 體 以 某 初 速 度 拋 出 后 ，在 豎 直 平 面 內(nèi) 的 運(yùn) 動(dòng) 叫 做 拋 體 運(yùn) 動(dòng) 斜 拋 體 運(yùn) 動(dòng) 中 被 拋 物 體 同 時(shí) 參 加 水 平 方 向 的 勻 速 運(yùn)動(dòng) 和 豎 直 方 向 的 自 由 落 體 運(yùn) 動(dòng) ， 其 軌 道 為 拋 物 線 。當(dāng) 拋 射 角 為 90 o時(shí) ， 稱 為 豎 直 上 拋 運(yùn) 動(dòng) 。 問 題 ： 設(shè) 物 體 以 初 速 度 v0 與 水 平

22、方 向 成 角 度 拋 出 ， 忽略 空 氣 阻 力 。 分 析 其 運(yùn) 動(dòng) 。 0v XYO 分 析 一 ： 將 物 體 拋 出 后 ， 選 擇 一 參 考 點(diǎn) ， 分 析 相 應(yīng) 的矢 量 來(lái) 確 定 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) 。 0 00 0v tt v v vdva g dv gdt dv g dtdt 時(shí) 0v v gt r trt dttgvrd dttgvrddtvrddtrdv 0 0 000 0)( )(時(shí) 20 12r vt gt 物 體 在 空 中 僅 有 重 力 加 速 度 g， 故 分 析 二 ： 采 用 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 將 相 應(yīng) 的 矢 量 分 解 ， 由 運(yùn)動(dòng)

23、 疊 加 原 理 來(lái) 確 定 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) 。設(shè) 物 體 以 初 速 度 v0 與 水 平 方 向 角 度 拋 出 ， 則gaa yx 0 0v XYOX軸 方 向 的 勻 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) Y軸 方 向 的 勻 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng)初 始 狀 態(tài) t=0 時(shí) ：0 0 0 0cos sinx yv v v v 0 0 20 0( cos ) ( sin )1( cos ) ( sin )2v v i v gt jr vt i vt gt j 勻 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) ， 疊 加 。 0 0 0 00 cos sin 0 0 x yt v v v v x y 時(shí)初 始 條 件 ：

24、， ， ， ，0 ) x ya g j a a g 加 速 度 ： ( ，（ 斜 拋 運(yùn) 動(dòng) 可 視 為 勻 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) 與 豎 直 上 拋 運(yùn) 動(dòng) 的 合 運(yùn) 動(dòng) ）速 度 公 式 ： 0 0cos , sinx yv v v v gt 運(yùn) 動(dòng) 方 程 ： 20 0 1cos sin 2x v t y v t gt (1) (2)軌 跡 ： 由 （ 1） 、 （ 2） 消 去 t， 得拋 物 線 22 202 cosgy xtg xv sin sin sinsin ( ) 2 220 0 00 12 2v v vY v gg g g 最 大 高 度 ： sin sincos ( 02

25、0 00 2 2 45v vX v g g 射 程 ： 射 程 最 大 ）從 拋 出 到 回 落 到 拋 出 點(diǎn) 高 度 所 用 的 時(shí) 間 為 sin02vT g 炮 彈 ： 路 徑 偏 離 拋 物 線 ， 射 程 R減 小洲 際 彈 道 導(dǎo) 彈 ： 路 徑 為 橢 圓 的 一 段 。例 1.4 一 、 自 然 坐 標(biāo) 系 （ 當(dāng) 質(zhì) 點(diǎn) 做 曲 線 運(yùn) 動(dòng) ， 且 運(yùn) 動(dòng) 的 軌 道 已 知 ）方 向 描 述 ：作 相 互 垂 直 的 單 位 矢 量 nn ： 與 切 向 正 交 ， 指 向 軌 道 的 凹 側(cè) ， 稱 為 法 向 單 位 矢 量： 沿 軌 道 切 向 ， 指 向 物 體

26、運(yùn) 動(dòng) 方 向 ， 稱 為 切 向 單 位 矢 量)(tss順 著 已 知 軌 道 而 建 立 的 坐 標(biāo) 系 平 面 自 然 坐 標(biāo) 系設(shè) 質(zhì) 點(diǎn) 沿 平 面 曲 線 軌 道 運(yùn) 動(dòng) 。 選 定 軌 道 上 任 意 一 點(diǎn) O為 坐標(biāo) 原 點(diǎn) ， 以 原 點(diǎn) 與 質(zhì) 點(diǎn) 間 的 軌 道 長(zhǎng) 度 s來(lái) 確 定 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 置 ，s稱 為 自 然 坐 標(biāo)大 小 恒 等 于 1， 其 方 向 隨 質(zhì) 點(diǎn) 在 軌 道 上 的 位 置 不 同 而 改 變 n 分 析 加 速 度 之 前 ， 先 介 紹 曲 率 和曲 率 半 徑軌 道 的 曲 率 dsdsK s 0lim表 示 曲 線 在 某 點(diǎn)

27、彎 曲 的 程 度 11)( RddsdsdK 若 某 一 圓 的 曲 率 與 軌 道 在 該 點(diǎn) 的 曲 率 相 等 ， 則 此 圓 與 軌 道 在 該點(diǎn) 相 切 ， 稱 之 為 該 點(diǎn) 的 曲 率 圓 ， 其 圓 心 C和 半 徑 稱 為 軌 道 在該 點(diǎn) 的 曲 率 中 心 和 曲 率 半 徑半 徑 為 R的 圓 弧 ， 任 一 點(diǎn) 的 曲 率 dtdsvv 速 度 只 有 切 向 分 量 ， 沒 有 法 向 分 量 求 導(dǎo) vv dtdvdtdvvdtddtvda )( ?)()( ttt )( tt )( ttn 1P 2P)(t)(tn )(t )( tt 大 小 ？ ddt ,0

28、 ddd 方 向 ？ ndd 趨 向 于 P1點(diǎn) 的 方 向n nvndtdsdsdndtddtd 1 dtdvdtdvvdtddtvda )(ndd dds v在 自 然 坐 標(biāo) 系 中 ， 質(zhì) 點(diǎn) 的 加 速 度 為 ： nvdtdvvdtddtvda 2)( nvdtdvvdtddtvda 2)( a a nvan 2切 向 加 速 度 反 映 速 度 大 小 變 化 法 向 加 速 度 反 映 速 度 方 向 變 化 ana a 222 22 vdtdv aaaa n naatg 加 速 度 總 是 指 向 曲 線 的 凹 側(cè)大 小 方 向 一 般 曲 線 運(yùn) 動(dòng) （ 多 個(gè) 圓 弧

29、運(yùn) 動(dòng) 的 連 接 ）nvdtdva 2 22dtsddtdva 2van 例 以 速 度 v0 平 拋 一 小 球 ， 不 計(jì) 空 氣 阻 力 ， 求 t 時(shí) 刻 小球 的 切 向 加 速 度 量 值 a、 法 向 加 速 度 量 值 an和 軌 道 的 曲率 半 徑 .解 ： 由 圖 可 知 sina g xggtg g t 2 2 20 ygcosna g g g t 02 2 20g tg t 22 2 20 /( )x yn nv v g tva a gv 2 2 2 2 2 3 22 0 0 二 、 圓 周 運(yùn) 動(dòng)勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 質(zhì) 點(diǎn) 以 恒 速 率 v 做 半 徑 為

30、R 的 圓 周 運(yùn) 動(dòng)0a nRva 2 向 心 加 速 度變 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 質(zhì) 點(diǎn) 做 半 徑 為 R的 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ，速 率 v 隨 時(shí) 間 而 變 化nRvdtdva 2 nRvdtdvaaa n 2 反 映 速 度 大 小 的 變 化 反 應(yīng) 速 度 方 向 的 變 化 在 討 論 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 的 加 速 度 時(shí) ， 使 用 自 然 坐標(biāo) 系 比 用 直 角 坐 標(biāo) 系 更 方 便 。例 ， 已 知 軌 道 方 程 為 x2+y2=R2已 知 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 的 半 徑 為 R， 任 一 時(shí) 候 的 速 率 為v=Rw， 則 有 222 220 ww Raaa RRv

31、adtdva nn 加 速 度 大 小 為加 速 度 方 向 為 法 線 方 向 v圓 周 運(yùn) 動(dòng) 的 角 量 描 述 沿 逆 時(shí) 針 轉(zhuǎn) 動(dòng) ， 角 坐 標(biāo) 取 正 值沿 順 時(shí) 針 轉(zhuǎn) 動(dòng) ， 角 坐 標(biāo) 取 負(fù) 值t時(shí) 刻 ， 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 置 可 用 r 描 述 ，也 可 用 描 述 。 角 坐 標(biāo) (角 位 置 )瞬 時(shí) 角 速 度 ，簡(jiǎn) 稱 角 速 度 dtdtt w 0lim 單 位 ：rad/s角 速 度 等 于 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 坐 標(biāo) 對(duì) 時(shí) 間 的 一 階 導(dǎo) 數(shù)O XR 1v2v s t 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程平 均 角 速 度 t w ,ttt 角 位 移 角

32、 加 速 度 220limt d dt dt dtw w 單 位 ： rad/s2角 加 速 度 等 于 質(zhì) 點(diǎn) 的 角 速 度 對(duì) 時(shí) 間 的 一 階 導(dǎo) 數(shù)質(zhì) 點(diǎn) 的 角 坐 標(biāo) 對(duì) 時(shí) 間 的 二 階 導(dǎo) 數(shù)ddtw 加 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) w 方 向 一 致 減 速 轉(zhuǎn) 動(dòng) w 方 向 相 反考 慮 矢 量 性角 速 度 是 矢 量 ， 其 方 向 通 常用 右 手 螺 旋 法 則 來(lái) 確 定規(guī) 定 ， 質(zhì) 點(diǎn) 逆 時(shí) 針 轉(zhuǎn) 動(dòng) 時(shí) ， w取 正 值質(zhì) 點(diǎn) 順 時(shí) 針 轉(zhuǎn) 動(dòng) 時(shí) ， w取 負(fù) 值 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) w 是 恒 量dtd w t dtd 00 w tw 0勻 角 變 速

33、 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 是 恒 量 0 tw w 20 0 12t t w 2 20 02 ( )w w v 角 量 之 間 的 關(guān) 系 ： 類比勻變速直線運(yùn)動(dòng) atvv 0 200 21attvxx )(2 0202 xxavv 運(yùn) 動(dòng) 情 況 的 討 論 :(1) 質(zhì) 點(diǎn) 作 勻 速 直 線 運(yùn) 動(dòng)質(zhì) 點(diǎn) 作 勻 速 率 平 面 曲 線 運(yùn) 動(dòng)質(zhì) 點(diǎn) 作 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng)質(zhì) 點(diǎn) 作 變 速 率 平 面 曲 線 運(yùn) 動(dòng)(2)(3)(4) 00naa 00 naa 00naa 00naa v 角 量 (, ,)與 線 量 (r, v, a)的 關(guān) 系 ：0 0lim limt tsv R Rt

34、 t s R 速 率 (線 速 度 )和 角 速 度 之 間 的 關(guān) 系 v Rw 矢 量 矢 積 ： ds Rd方 向O XR 1v2v s 線 量 (速 度 、 加 速 度 ) 角 量 (角 速 度 、 角 加 速 度 )v Rw 2 2n ds dv R Rdt dtdv da R Rdt dtva RR ww w 解 :重 物 按 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 運(yùn) 動(dòng) 對(duì) 重 物 建 立 一個(gè) 一 維 直 角 坐 標(biāo) 系相 應(yīng) 的 M點(diǎn) 做 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 對(duì) M點(diǎn) 建 立 自然 坐 標(biāo) 系 bdd tva nRtnRvan 222 b 例 一 半 徑 為 R 的 滑 輪 ， 可 以 繞 水 平

35、 軸 O1轉(zhuǎn) 動(dòng) ， 輪 邊 緣 有 繩 ，繩 的 一 端 系 一 重 物 ， 如 圖 所 示 ， 已 知 重 物 的 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 為 y =bt 2/2， b為 常 數(shù) ， 求 輪 邊 緣 上 任 一 點(diǎn) M在 時(shí) 刻 t的 速 度 和 加 速度 。 M O Y1O vR a相 同 的 t 內(nèi) ， y s bttv dtdydds方 向 如 圖 所 示nRtba 22b 例 一 質(zhì) 點(diǎn) 從 靜 止 出 發(fā) ， 沿 半 徑 R 3 的 圓 周 運(yùn) 動(dòng) ， 切 向 加 速 度 a 3 /s2， 求 ： （ 1） t 1s時(shí) 質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 和 加 速 度 大 小 ； （ 2）第 2秒

36、 內(nèi) 質(zhì) 點(diǎn) 所 通 過 的 路 程 ； （ 3） 當(dāng) 總 加 速 度 與 切 向 加 速 度 成 45角 時(shí) ， 所 經(jīng) 歷 的 時(shí) 間 為 多 少 ？ 其 間 質(zhì) 點(diǎn) 所 經(jīng) 過 的 路 程 S是 多少 ？解 ： 建 立 自 然 坐 標(biāo) 系 ， 取 t=0時(shí) ， 位 置 o為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 則 任 意時(shí) 刻 質(zhì) 點(diǎn) 速 率 為 v， 自 然 坐 標(biāo) 為 s O OR stavdtadvdtadvdtdva tv 00)1( RtaRvan 222 24.418)( 222222 Rtaaaaa n )/(3 smtav s t tdtadsvdtdsdtdsv 0 0)2( 由 速

37、率 大 小221 tas )(5.4)12(321 22 ms 2 22 2 0(3) 3(m/s ) 1(rad/s )45 3(m/s ) 1(rad/s)1(s)a Ratg a Rat t www w ， 例 一 質(zhì) 點(diǎn) 從 靜 止 出 發(fā) ， 沿 半 徑 R 3 的 圓 周 運(yùn) 動(dòng) ， 切 向 加 速 度 a 3 /s2， 求 ： （ 1） t 1s時(shí) 質(zhì) 點(diǎn) 的 速 度 和 加 速 度 大 小 ； （ 2） 第 2秒 內(nèi) 質(zhì)點(diǎn) 所 通 過 的 路 程 ； （ 3） 當(dāng) 總 加 速 度 與 切 向 加 速 度 成 45角 時(shí) ， 所 經(jīng) 歷的 時(shí) 間 為 多 少 ？ 其 間 質(zhì) 點(diǎn)

38、所 經(jīng) 過 的 路 程 S是 多 少 ？ 2 20 0 1 1t t 0 1 1 0.5( )2 2 1.5( ) rads R m w 一 、 相 對(duì) 運(yùn) 動(dòng)車 上 的 人 觀 察 地 面 上 的 人 觀 察運(yùn) 動(dòng) 的 描 述 是 相 對(duì) 的 ， 選 擇 不 同 的 參 考 系 對(duì)同 一 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 的 描 述 就 不 同 位 矢 變 換 關(guān) 系 ZSX Y YX S ZPr rRO OavrSavrS 系 中 ：系 中 ： r R r 速 度 變 換 關(guān) 系 dtrddtRddtrd v u v 加 速 度 變 換 關(guān) 系 dtvddtuddtvd dua adt 有 相 對(duì) 運(yùn) 動(dòng)

39、的 兩 個(gè) 參 考 系 中 ， 同 一 運(yùn) 動(dòng) 質(zhì) 點(diǎn) 的 位矢 、 速 度 、 加 速 度 之 間 的 關(guān) 系S O S OR（ 表 示 系 原 點(diǎn) 對(duì) 系 原 點(diǎn) 的 位 矢 ）質(zhì) 點(diǎn) 相 對(duì) 于 S系 的 速 度 等 于 質(zhì) 點(diǎn) 相 對(duì) 于 S系的 速 度 和 S 系 相 對(duì) 于 S系 的 速 度 的 矢 量 和 1、 空 間 任 意 兩 點(diǎn) 之 間 的 距 離 對(duì) 于任 何 的 坐 標(biāo) 系 而 言 都 是 相 同 的 ； 與坐 標(biāo) 系 的 選 擇 無(wú) 關(guān) 。 即 ： 長(zhǎng) 度 是“ 絕 對(duì) 的 ” ， 或 稱 之 為 “ 絕 對(duì) 空間 ” 。2、 時(shí) 間 間 隔 也 與 坐 標(biāo) 系 的

40、選 擇 無(wú) 關(guān) ，在 不 同 的 坐 標(biāo) 系 中 時(shí) 間 的 量 度 或 間 隔都 是 相 同 的 。 即 ： “ 絕 對(duì) 時(shí) 間 ”“絕 對(duì) 空 間 ” 、 “ 絕 對(duì) 時(shí) 間 ” 構(gòu) 成 了 經(jīng) 典 力 學(xué) 的 所 謂“ 絕 對(duì) 時(shí) 空 觀 ” ， 這 種 觀 點(diǎn) 同 大 量 的 日 常 經(jīng) 驗(yàn) 相 符合 。 3、 空 間 與 時(shí) 間 不 相 聯(lián) 系r R r v u v dua adt 二 、 伽 利 略 變 換 tt zz yy utxx 或 Z XYO ut u伽 利 略速 度 變 換 式 zz yy xx vv vv uvv zz yy xx vv vv uvv或 S和 S 兩 坐

41、 標(biāo) 系 的 X 軸 和 X 軸 方向 相 同 且 重 合 。 S系 相 對(duì) S 系 的速 度 u為 常 數(shù) 且 沿 著 X軸 正 方 向 ，O 與 O 相 重 合 的 時(shí) 刻 t = t =0 tt zz yy utxx伽 利 略坐 標(biāo) 變 換 式 uP XSOZ YS在 相 對(duì) 論 中 ， 伽 利 略 變 換 將 被 洛 倫 茲 變 換 所 代 替 解 ： 取 風(fēng) 為 研 究 對(duì) 象 ， 地 面 為 參 考 系S， 騎 車 人 為 參 考 系 S。 在 S系 中 風(fēng)速 為 v(待 求 )。在 S系 中 ： 在 速 率 為 u1=10m/s時(shí) ，覺 得 有 南 風(fēng) v1（ 速 度 矢 量 為

42、 北 ） ；在 速 率 為 u2=15m/s時(shí) ， 覺 得 有 東 南風(fēng) v2（ 速 度 矢 量 為 西 北 ） ；根 據(jù) 速 度 變 換 公 式 得 到 ： 1 1 2 2 v u v u v 例 一 人 騎 自 行 車 向 東 而 行 。 在 速 率 為 10m/s時(shí) ， 覺 得有 南 風(fēng) ； 速 率 增 至 15m/s時(shí) ， 覺 得 有 東 南 風(fēng) 。 求 風(fēng) 的速 度 。 v10m/s 15m/s45o X 東 Y 北 由 圖 中 的 幾 何 關(guān) 系 ， 知 ：1 10(m/s)x xv u 2 1( )tan4515 10 5 m/sy x xv u u 風(fēng) 速 的 大 小 ： 風(fēng)

43、速 的 方 向 ：為 東 偏 北 2634。 為 西 南 風(fēng) 。 2 210 511.2 m/sv 5arctan 26 3410 v10m/s 15m/s45o X 東 Y 北 2 215 u i S v bi bj 時(shí) ， 風(fēng) 在 系 中 速 度 為 。1 12 2v u vv u v 10 5v i j 解 ： 以 地 面 為 S系 ， 運(yùn) 動(dòng) 的 自 行 車 為 S系 。 建 立 坐 標(biāo) 系 。在 S系 中 ， 風(fēng) 的 速 度 始 終 為 （ 待 求 ）v 1 110 , u i S v aj 在 風(fēng) 在 系 中 速 度 為10 155i aj i bi bja b 由 相 對(duì) 運(yùn) 動(dòng) 的 速 度 變 換 公 式 ， 得 ： 2 210 5 11.2v 速 度 矢 量 指 向 東 偏 北 （ 是 西 偏 南 風(fēng) ） Y(北 ) X(東 )SY(北 ) X(東 )S系 arctan(5/10) 26 34 角 度 ： 例 一 人 騎 自 行 車 向 東 而 行 。 在 速 率 為 10m/s時(shí) ， 覺 得 有 南 風(fēng) ； 速率 增 至 15m/s時(shí) ， 覺 得 有 東 南 風(fēng) 。 求 風(fēng) 的 速 度 。