《連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算》PPT課件

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1、1 1.9 連 續(xù) 函 數(shù) 的 運(yùn) 算 與初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性四 則 運(yùn) 算 的 連 續(xù) 性反 函 數(shù) 與 復(fù) 合 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性小 結(jié) 思 考 題 作 業(yè)初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 第 一 章 函 數(shù) 與 極 限 2 定 理 1 ),()()()1( xgxf 函 數(shù)差和如 , ,),(cos,sin 內(nèi) 連 續(xù)在 xx,tanx故 ,)(),( 0處 連 續(xù)在 點(diǎn)若 函 數(shù) xxgxf 則),()()2( xgxf 乘 積 函 數(shù)由 于 )( )(,0)()3( 0 xg xfxg 則 商 函 數(shù)如 果 xcot一 、 四 則 運(yùn) 算 的 連 續(xù) 性 也 在 點(diǎn) x0

2、連 續(xù) ; 在 其 定 義 域 內(nèi) 連 續(xù) . 在 點(diǎn) x0連 續(xù) ; 在 點(diǎn) x0連 續(xù) . 3 如 , 上在 2,2sin xy xy arcsin xy arccos xy arctan 結(jié) 論 : 反 三 角 函 數(shù) 在 其 定 義 域 內(nèi) 皆 連 續(xù)定 理 2故同 理 , 上在 1,1xy cotarc 內(nèi)在 ),( 內(nèi)在 ),( 上在 1,1 二 、 反 函 數(shù) 與 復(fù) 合 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性單 調(diào) 增 加 且 連 續(xù) ,單 調(diào) 的 連 續(xù) 函 數(shù) 必 有 單 調(diào) 的 連 續(xù) 反 函 數(shù) .也 是 單 調(diào) 增 加 且 連 續(xù) .單 調(diào) 減 少 且 連 續(xù) .單 調(diào) 增 加 且

3、連 續(xù) .單 調(diào) 減 少 且 連 續(xù) . 4 此 定 理 對(duì) 計(jì) 算 某 些 極 限 是 很 方 便 的 .定 理 3 設(shè) 函 數(shù) 是 由 函 數(shù) 與 函 數(shù)復(fù) 合 而 成 , .)( 0o gfDxU 而 函 數(shù) 連 續(xù) ,則 )(lim0 ufuu)(lim0 xgfxx證 ,0,)(lim 0 0 uxgxx 又 ,0對(duì) 于 ,0 .)()( 0 成 立恒 有 ufuf ,0,0 0 時(shí)使 當(dāng) xx .)( 0 成 立恒 有 uxg ,)( 0連 續(xù)在 點(diǎn) uuuf 0uu )( xgfy )(ufy )(xgu ,)(lim 00 uxgxx 若)(ufy 0uu在 ).( 0uf,0

4、 時(shí)使 當(dāng) uu 5將 上 兩 步 合 起 來 :,0 )()( 0ufuf .成 立 )()(lim 00 ufxgfxx .f ,0 ,0對(duì) 于 ,0 .)()( 0 成 立恒 有 ufuf ,0 ,0 0 時(shí)使 當(dāng) xx .)( 0 成 立恒 有 uxg 0uu 時(shí)使 當(dāng) )()( 0ufxgf ,0 ,0 0 時(shí)使 當(dāng) xx 成 立恒 有 )(lim0 xgxx ,0 時(shí)使 當(dāng) uu 6 定 理 3 ,)(lim 00 uxgxx 若 ,)( 0連 續(xù)在 點(diǎn)函 數(shù) uuf)(lim0 xgfxx則 有 )( 0uf .f )(lim0 xgxx注 1.定 理 的 條 件 ： 內(nèi) 層 函

5、 數(shù) 有 極 限 ， 外 層 函數(shù) 在 極 限 值 點(diǎn) 處 連 續(xù) 可 得 類 似 的 定 理換 成將 xxx 0.23. 該 定 理 的 意 義 在 于 ： 極 限 符 號(hào) 可 以 與函 數(shù) 符 號(hào) 互 換 ， 即 極 限 號(hào) 可 以 穿 過 外 層 函數(shù) 符 號(hào) 直 接 取 在 內(nèi) 層 。 4. ( ( ) .u x變 量 代 換 的 理 論 依 據(jù) 7 f與lim意 義例解 可 交 換 次 序 ;xx x 11sinlim求由 )(lim xgx usin所 以 xx x11sinlim ,連 續(xù)在 eusin xx x11lim 2. 變 量 代 換 )(xgu 的 理 論 依 據(jù) .

6、 )(xg xx x 11lim ,exlimsn1. 在 定 理 的 條 件 下 ,定 理 3 ,)(lim 00 uxgxx 若 ,)( 0連 續(xù)在 點(diǎn)函 數(shù) uuf)(lim0 xgfxx則 有 )( 0uf .f )(lim0 xgxx.sine 8 例 .)1ln(lim0 x xx 求 .1 xx x 10 )1(lim eln解 x x)1ln( 這 里 xx 1)1ln( 0 x在 不 連 續(xù) ,但 ,)1(lim 10 ex xx uln ,連 續(xù)在 eu 所 以x xx )1ln(lim0 xx x 10 )1ln(lim ln定 理 3 ,)(lim 00 uxgxx 若

7、 ,)( 0連 續(xù)在 點(diǎn)函 數(shù) uuf)(lim0 xgfxx則 有 )( 0uf .f )(lim0 xgxx 9 例 .1lim0 xe xx 求 .1 0lim t解 ,1 tex 令 ),1ln( tx 則,0時(shí)當(dāng) x tt t 10 )1ln( 1lim .0txexx 1lim0 t )1ln( t xex 1,0 x 10 v 利 用 連 續(xù) 性 求 極 限 練 習(xí) 例 8 求 x xax )1(loglim0 練 習(xí) 解 x xax )1(loglim0 xax x 10 )1(loglim aea ln1log 解 解 a ll 解練 習(xí) 例 9 求 x axx 1lim0

8、令 a x1t 解 xaxx 1lim0 at tat ln)1(loglim0 t 則 xlog a(1t) x0時(shí) t0 于 是 11 定 理 4 設(shè) 函 數(shù) 是 由 函 數(shù)與 函 數(shù) 復(fù) 合 而 成 , .)( 0 gfDxU 若 函 數(shù)連 續(xù) , 而 函 數(shù)連 續(xù) , 則 復(fù) 合 而 成也 連 續(xù) .是 由 連 續(xù) 函 數(shù)因 此 復(fù) 合 而 成 例 xy 1sin uy sin 內(nèi) 連 續(xù)在 ),( xu 1 內(nèi) 連 續(xù)在 ),0()0,( xy 1sin .),0()0,( 內(nèi) 連 續(xù)在 )( xgfy )(ufy )(xgu 0)( xxxgu 在 ,)( 00 uxg 且0)(

9、uuufy 在 )( xgfy 0 xx 在 點(diǎn)注 意 定 理 4是 定 理 3的 特 殊 情 況 . 12 三 角 函 數(shù) 及 反 三 角 函 數(shù)(1) )1,0( aaay x 內(nèi)在 ),( )1,0(log aaxy a 內(nèi)在 ),0( (2)(3) 是 連 續(xù) 的 ;三 、 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性單 調(diào) 且 連 續(xù) ;指 數(shù) 函 數(shù)對(duì) 數(shù) 函 數(shù)單 調(diào) 且 連 續(xù) ; xy xaa log ,uay xu alog內(nèi)在 ),0( (均 在 其 定 義 域 內(nèi) 連 續(xù) )(4) 冪 函 數(shù) 連 續(xù) ;討 論 不 同 值 .在 它 們 的 定 義 域 內(nèi)基 本 初 等 函 數(shù) 在

10、定 義 域 內(nèi) 是 連 續(xù) 的 . 13定 義 區(qū) 間 是 指 包 含 在 定 義 域 內(nèi) 的 區(qū) 間 . 基 本 初 等 函 數(shù) 在 定 義 區(qū) 間 內(nèi) 連 續(xù)連 續(xù) 函 數(shù) 經(jīng) 四 則 運(yùn) 算 仍 連 續(xù)連 續(xù) 函 數(shù) 的 復(fù) 合 函 數(shù) 連 續(xù) 一 切 初 等 函 數(shù)在 定 義 區(qū) 間 內(nèi)連 續(xù)1. 初 等 函 數(shù) 僅 在 其 定 義 區(qū) 間 內(nèi) 連 續(xù) , 如 , ,1cos xy ,4,2,0: xD這 些 孤 立 點(diǎn) 的 鄰 域 內(nèi) 沒 有 定 義 .注 在 其 定 義 域 內(nèi) 不 一 定 連 續(xù) ; )(lim 0 xfxx2. 初 等 函 數(shù) 求 極 限 的 方 法 代 入 法

11、 . )( 0 定 義 區(qū) 間x0 x )(f 14 例 .1sinlim1 xx e求 1sin 1 e原 式 .1sin e例 .11lim 20 xxx 求解解 )11( )11)(11(lim 2 220 xx xxx原 式 11lim 20 xxx 20 .0 15 函數(shù) g(x)h(x) 稱為冪指函數(shù) , 它的定義域一般應(yīng)要求 g(x) 0. 冪 指 函 數(shù) 求 極 限時(shí), 冪指函數(shù) g(x)h(x) 也是連續(xù)函數(shù).當(dāng) g(x) 與 h(x) 均為連續(xù)函數(shù), 且 g(x) 0 16 冪 指 函 數(shù) 求 極 限 的 方 法 換底（e）公式法：由定理 3 容易得到下面幾個(gè)冪指函數(shù)的極限

12、公式：則設(shè) ,)(lim ,0)(lim 00 xhxg xxxx )()(lim)( 00 )(1(lim xgxhxhxx xxexg 則為有限數(shù)設(shè) , ) ,0( )(lim , )(lim 00 babxhaxg xxxx .)(lim )(0 bxhxx axg 則設(shè) ,)(lim ,1)(lim 00 xhxg xxxx 1)()(lim)( 00 )(lim xgxhxhxx xxexg 17eeex xxxx x 1111lim111 1lim(3) )1 ( eeex xxxx x 1sin1lim10 0)sin1(lim )1 ( (2)(1) 1) ,5( 5)52(l

13、im 2cos20 baxx xx例 .)21(lim sin30 xxx 解 : 原 式 ex 0lim )21ln(sin3 xx ex 0lim x3 6ex2 18 四 、 小 結(jié)連 續(xù) 函 數(shù) 的 和 差 積 商 的 連 續(xù) 性 ;復(fù) 合 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 :初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 :求 極 限 的 又 一 種 方 法 .兩 個(gè) 定 理 ; 兩 點(diǎn) 意 義 .反 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 ;定 義 區(qū) 間 與 定 義 域 的 區(qū) 別 ; 19 nn an nana )21( 12lnlim,21 則設(shè) 常 數(shù) 11 2ln ae 解 nn an nan )21( 12ln

14、lim lnnn an )21( 11limln )21()21( 11limln ann an )21( 1 a .21 1 a nn an nan )21( 12lim1 ln1 2 ea 20 作 業(yè)習(xí) 題 1-9 (68頁 ) 1. 3. 4. 5. 21 ._3cotlim4 0 xxx、一 、 填 空 題 : ._sinlim1 0 x xx 、 ._3sin2sinlim2 0 xxx、._2sinlim5 xxx、 ._)1(lim6 10 xx x、練 習(xí) 題 （ 基 礎(chǔ) 型 ）._cotlim3 0 x xx、 arc 217 lim( ) _xx xx 、 18 lim(

15、1 ) _xx x 、 xx x 2tan4 )(tanlim2 、xx xx sin2cos1lim1 0 、 xx ax ax )(lim3 、二 、 求 下 列 各 極 限 : nn nn )11(lim4 2、 22 練 習(xí) 題 答 案 23 1.求 下 列 極 限cot0 1(3) lim( )1 xx xx 0 (1 ) 1(4)limx xx sin0(5)lim sinx xx e ex x tan(6)lim sin 2x xx 1(9) lim (3 9 )x x xx 1 1(8)lim cos sin xx x x 1 0(10)lim , , , . 3x x x x

16、x a b c a b c 為 正 常 數(shù) （提高型）0 arcsin (1) lim x xx 1 (2) lim 2 sin 2n nn x tan 2lim (sin ) xx x(7) 24 習(xí) 題 解 答 xxxx 1)93(lim.1 xxxxx 11 131)9(lim xxx xx 313311lim9 99 0 e2. 原 式 = 221sin1coslim xx xx 22sin1lim xx x 122sinlim22sinlim xxxx xx e原 極 限 25 3. . , , ,3lim 10為正常數(shù)其中求極限cbacba xxxxx 解 . 1 型的極限這是 ,

17、3 )1()1()1( 13 xxxxxx cbacba ,3 )1()1()1( )( 則令 xxx cbax xxxxxxxxx xcba )()(1010 )(1(lim 3lim .3)lnln(ln31 abce cba 26 4. xxx 1)1(lim0 xe xx 1lim )1ln(0 )1ln(1( )1ln( xe x x xx )1ln(lim0 xx 1)1( 5. xx xexx sinsinlim0 xxee xxxx sin 1lim sinsin0 1 27 6. xxx 2sintanlim 212lim xxx 只 記 住 了 重 要 極 限 的 形 式

18、， 而 沒 有 掌 握 其 實(shí) 質(zhì)xxx 2sintanlim )22sin( )tan(lim0 ttxt t 令 ttt 2sintanlim0 212lim0 ttt 28 07.limx xxx cot11 0lim x xxx cot)121( e )1(ln 12 xx xx12 2e)(lim 12sincos0 xxxxx 1 29 tan 28. lim (sin ) xx x 2 2 2 lim tan lnsintan tan ln(sin )2 2lim tan ln(1 sin 1) lim tan (sin 1) 0lim (sin ) lim e 1xx x x xx x xx xx x x xx ee e e 提 示 ：