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基礎(chǔ)小卷速測(cè)（十三） 特殊四邊形相關(guān)的折疊問題
一、選擇題
1. 如圖，將?ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若∠1=∠2=44，則∠B為（ ?。?
A．66 B．104 C．114 D．124
2． 如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)E在邊CD上，連接BE，將△BCE沿BE折疊，若點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，則CE的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
3． 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)
2、為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長(zhǎng)是（ ）
A.3 B. 4 C. 5 D.6
二、填空題
4． 如圖，折疊矩形紙片ABCD，得折痕BD，再折疊使AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕DF．若AB=4，BC=2，則AF= _________．
5. 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為________ cm2．
6.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為
3、4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn) 為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為_______.
三、解答題
7．在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE和AD相交于點(diǎn)O.
求證：OA=OE
A
B
C
D
E
O
8.如圖，將□ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)處，折痕交CD邊于點(diǎn)E，連接BE
（1）求證：四邊形是平行四邊形
（2）若BE平分∠ABC，求證：
9． 如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落
4、在AC上的點(diǎn)N處。
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若AB=6，AC=10，求四邊形AECF的面積。
10．將矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若AB=4，BC=8，
①求菱形的邊長(zhǎng)；
②求折痕EF的長(zhǎng)．
參考答案
1. C．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
由折疊的性質(zhì)得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22，
∴∠B=180-∠2-∠BAC=180-44-22=114.
2．B 【解析】設(shè)
5、CE=x．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90．
∵將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3-x）2+12，
解得x=．
3．B[解析]由題意設(shè)CH=xcm，則DH=EH=（9-x）cm，
∵BE：EC=2：1，∴CE=13BC=3cm
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
6、即（9-x）2=32+x2，
解得x=4，即CH=4cm．
4．-1
5. 6【解析】∵將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，
∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9-AE，
根據(jù)勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=（9-AE）2．
解得AE=4cm．∴△ABE的面積為1234=6（cm2）．
6.【解析】作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，則E′F即為所求，
過F作FG⊥CD于G，
在Rt△E′FG中，GE′=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，
7．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥B
7、C，且AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，由折疊可知∠EBD=∠CBD，BE=BC，∴∠EBD=∠ADB，∴BO=DO，∵AD= BE，∴AD - DO = BE- BO ，即OA=OE.
8.證明：（1）∵將?ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四邊形DAD′E是平行四邊形，
∴DE=AD′，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形BCED′是平行四邊形；
8、
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90，
∴∠AEB=90，
∴AB2=AE2+BE2．
9．解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，那么AD∥BC，AB∥CD，所以∠FAC=∠ACE，∠BAC=∠DCA。由折疊可得∠BAE=∠EAC=∠BAC，∠DCF=∠NCF=∠DCA，所以∠EAC=∠FCA。又因?yàn)锳C=CA，所以△CAE△ACF，所以CE=AF。即四邊形AECF是平行四邊形。
（2）因?yàn)锳B=6，AC=10，由勾股定理，得BC=8.設(shè)EM=x，那
9、么BE=EM=x，所以CE=BC-BE=8-x，CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.在Rt△CEM中，由勾股定理，得EM2+CM2=CE2，所以x2+42=(8-x)2，解得x=3。所以四邊形AECF的面積=2△ACE的面積=2ACEM=30.
10． 證明：（1）∵矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕為EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四邊形AECF為菱形；
（2）①設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則BE=BC-CE=8-x，AE=
10、x，
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，
∴（8-x）2+42=x2，解得x=5，
即菱形的邊長(zhǎng)為5；
②在Rt△ABC中，
∴OA=12AC=25，
在Rt△AOE中，AE=5，
∴EF=2OE=25．
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