高數(shù)下冊第七章第五節(jié)一階線性方程全微分方程

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1、1 一 階 線 性 微 分 方 程 第 四 節(jié) 一 、 一 階 線 性 微 分 方 程二 、 伯 努 利 方 程 第 七 章 2 一 、 一 階 線 性 微 分 方 程一 階 線 性 微 分 方 程 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 : )()(dd xQyxPxy 若 Q(x) 0, 0)(dd yxPxy若 Q(x) 0, 稱 為 非 齊 次 方 程 .1. 解 齊 次 方 程分 離 變 量 xxPyy d)(d 兩 邊 積 分 得 CxxPy lnd)(ln 故 通 解 為 xxPeCy d)(稱 為 齊 次 方 程 ; 3對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解 xxPeCy d)(齊 次 方 程 通 解 非 齊

2、 次 方 程 特 解 xxPCe d)( 2. 解 非 齊 次 方 程 )()(dd xQyxPxy 用 常 數(shù) 變 易 法 : ,)()( d)( xxPexuxy 則 xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )(xQ故 原 方 程 的 通 解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(y即 即 作 變 換 xxPeuxP d)()( xxPexQxu d)()(dd CxexQu xxP d)( d)(兩 端 積 分 得 4 例 1. 解 方 程 52d 2 ( 1) .d 1y y xx x 解 : 先 解 ,012dd

3、x yxy 即 1d2d x xyy積 分 得 ,ln1ln2ln Cxy 即 2)1( xCy用 常 數(shù) 變 易 法 求 特 解 . 令 ,)1()( 2 xxuy 則)1(2)1( 2 xuxuy代 入 非 齊 次 方 程 得 12( 1)u x 解 得 322( 1)3u x C 故 原 方 程 通 解 為 32 22( 1) ( 1)3y x x C 5 例 2. 求 方 程 的 通 解 .解 : 注 意 x, y 同 號 , ,d2d,0 xxxx 時當(dāng) yyxyx 2dd2 yyP 21)( yyQ 1)( 由 一 階 線 性 方 程 通 解 公 式 , 得ex yy2d 1( )

4、y Cy lnd 故 方 程 可變 形 為 0d2d 3 yyxyyxxy y1 lnd Cy所 求 通 解 為 )0( CCyxey yCyln這 是 以 x為 因 變 量 , y為 自 變 量 的 一 階 線 性 方 程d2yye1y 6 在 閉 合 回 路 中 , 所 有 支 路 上 的 電 壓 降 為 0。例 3. 有 一 電 路 如 圖 所 示 , ,sin tEE m 電 動 勢 為 電 阻 R 和 電.)(ti L ER K解 : 列 方 程 .已 知 經(jīng) 過 電 阻 R 的 電 壓 降 為 R i 經(jīng) 過 L的 電 壓 降 為 tiLdd因 此 有 ,0dd iRtiLE 即

5、L tEiLRti m sindd 初 始 條 件 : 00 ti由 回 路 電 壓 定 律 :其 中 電 源求 電 流感 L 都 是 常 量 , 7 解 方 程 :L tEiLRti m sindd 00 ti 00 ti)(ti dtLRe tLEm sin tLRm eCtLtRLR E )cossin(222 te tLR dd C利 用 一 階 線 性 方 程 解 的 公 式 可 得 L ER K由 初 始 條 件 : 得 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)( 222 LR LEC m 8 tLRm eLR LEti 222)( )cossin(222 tLtRLR E

6、m tLRm eLR LEti 222)( )sin(222 tLR Em暫 態(tài) 電 流 穩(wěn) 態(tài) 電 流則令 ,arctan RL因 此 所 求 電 流 函 數(shù) 為解 的 意 義 : L ER K 9 二 、 伯 努 利 ( Bernoulli )方 程 伯 努 利 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 : )1,0()()(dd nyxQyxPxy nny以 )()(dd 1 xQyxPxyy nn 令 ,1 nyz xyynxz n dd)1(dd 則 )()1()()1(dd xQnzxPnxz 求 出 此 方 程 通 解 后 ,除 方 程 兩 邊 , 得換 回 原 變 量 即 得 伯 努 利 方

7、 程 的 通 解 .解 法 : (線 性 方 程 ) 10 例 4. 求 方 程 2)ln(dd yxaxyxy 的 通 解 .解 : 令 ,1 yz 則 方 程 變 形 為xaxzxz lndd 其 通 解 為 ez 將 1 yz 1)ln(2 2 xaCxy xxd1 exa )ln( xxd1 Cxd 2)ln(2 xaCx 代 入 , 得 原 方 程 通 解 : 11 例 5 用 適 當(dāng) 的 變 量 代 換 解 下 列 微 分 方 程 :;22.1 22 xxexyyy 解 ,21 12 yxexyy x,2)1(1 yyz 令 ,2 dxdyydxdz 則,2 2xxexzdxdz

8、22 2 Cdxexeez xdxxxdx 所 求 通 解 為 ).2( 22 2 Cxey x 12 ;)(sin1.2 2 xyxyxdxdy 解 ,xyz 令 ,dxdyxydxdz 則 ,sin1)(sin1( 22 zxyxyxxydxdz ,42sin2 Cxzz 分 離 變 量 法 得 ,代 回將 xyz 所 求 通 解 為 .4)2sin(2 Cxxyxy 13 ;1.3 yxdxdy 解 ,uyx 令 ,1 dxdudxdy則代 入 原 式 ,11 udxdu 分 離 變 量 法 得 ,)1ln( Cxuu ,代 回將 yxu 所 求 通 解 為,)1ln( Cyxy 11

9、yeCx y或另 解 .yxdydx 方 程 變 形 為 14 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 一 階 線 性 方 程 )()(dd xQyxPxy 方 法 1 先 解 齊 次 方 程 , 再 用 常 數(shù) 變 易 法 .方 法 2 用 通 解 公 式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(,1 nyu 令 化 為 線 性 方 程 求 解 .2. 伯 努 利 方 程 nyxQyxPxy )()(dd )1,0( n 15 思 考 與 練 習(xí)判 別 下 列 方 程 類 型 :xyyxyxyx dddd)1( )ln(lndd)2( xyyxyx 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4

10、( 3 yxyxy yxxyxy dd)2sin()5( 提 示 : xxyyy dd1 可 分 離 變 量 方 程xyxyxy lndd 齊 次 方 程221dd 2xyxxy 一 階 線 性方 程221dd 2yxyyx 一 階 線 性方 程2sin2dd yxxyxxy 伯 努 利方 程 16 備 用 題 1. 求 一 連 續(xù) 可 導(dǎo) 函 數(shù) )(xf 使 其 滿 足 下 列 方 程 :ttxfxxf x d)(sin)( 0 提 示 : 令 txu uufxxf x d)(sin)( 0則 有 xxfxf cos)()( 0)0( f利 用 公 式 可 求 出 )sin(cos21)(

11、 xexxxf 練 習(xí) ： 求 微 分 方 程 0)cos2()1( 2 dxxxydyx 11sin2 x xy10 xy滿 足 條 件 的 解 。 17 2. 設(shè) 有 微 分 方 程 ,)(xfyy 其 中)(xf 10,2 x1,0 x試 求 此 方 程 滿 足 初 始 條 件 00 xy 的 連 續(xù) 解 .解 : 1) 先 解 定 解 問 題 10,2 xyy 00 xy利 用 通 解 公 式 , 得 xey d 1d d2 Cxe x )2( 1Cee xx xeC 12利 用 00 xy 得 21 C故 有 )10(22 xey x 18 2) 再 解 定 解 問 題 1,0 xy

12、y 11 22)1( eyy x此 齊 次 線 性 方 程 的 通 解 為 )1(2 xeCy x利 用 銜 接 條 件 得 )1(22 eC因 此 有 )1()1(2 xeey x3) 原 問 題 的 解 為y 10),1(2 xe x 1,)1(2 xee x 19 練 習(xí)1.求 微 分 方 程 yxdxdyx 滿 足 條 件 02 xy 的 解 。2.求 微 分 方 程 )1( 11 2xxyxy 的 通 解 。3.求 微 分 方 程 )0()1( 2 xeyxyx x滿 足 條 件 01 xy 的 解 。4.求 微 分 方 程 0)ln(ln dxxyxdyx 滿 足 條 件1exy

13、的 解 。 xxy 12 )(arctan1 cxxy )( eexey xx 1 1(ln )2 lny x x 20 5.求 微 分 方 程6.求 微 分 方 程 xexyyx 滿 足 條 件 11 xy 的 特 解 。xexxy x 11 1 12 ln , 9xxy y x x y 1 1ln3 9y x x x 的 特 解 。7.過 點 11arcsin 2 xyxy 21arcsin xxy)0,21( 且 滿 足 關(guān) 系 式的 曲 線 方 程 為 6.8.設(shè) xyxpyx )(xxe x xey 是 微 分 方 程； 原 方 程 滿 足 條 件 的 一 個 解 ， 則)(xp 2

14、1 xexx eey 02ln xy的 特 解 為 ： 21 9.設(shè) 曲 線 上 任 一 點L位 于 xOy平 面 的 第 一 象 限 內(nèi) ，的 切 線 與 軸 總 相 交 ， 交 點 為 ,OAMA 23 xxy A ,已 知且 過 點 )23,23( L， 求 曲 線 的 方 程 。 LM L y10.設(shè) 曲 線 ， 已 知)(xfy 是 可 導(dǎo) 函 數(shù) ， 且 0)( xf曲 線 與 直 線所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 繞 t0312 xyy )1( ttx軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 的 立 體 體 積值 是 該 曲 邊 梯 形 面 積 值 的 倍 ， 求 該 曲 線 方 程 。1,0

15、 xyx)(xfy 及 22 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 xexyy sincos ； 2、 0)ln(ln dyyxydxy ； 3、 02)6( 2 ydxdyxy . 二 、 求 下 列 微 分 方 程 滿 足 所 給 初 始 條 件 的 特 解 : 1、 4,5cot 2cos xx yexydxdy ； 2、 .0,132 13 2 xyyx xdxdy 練 習(xí) 題 23 24 五 、 用 適 當(dāng) 的 變 量 代 換 將 下 列 方 程 化 為 可 分 離 變 量 的方 程 ,然 后 求 出 通 解 : 1、 11 yxdxdy ；2、 1cossin2

16、sin)1(sin2 22 xxxyxyy ； 3、 xyxyxdxdy )(sin12 . 六 、 已 知 微 分 方 程 )(xgyy ,其 中 0,0 10,2)( x xxg ,試 求 一 連 續(xù) 函 數(shù) )(xyy ,滿 足 條 件 0)0( y ,且 在 區(qū) 間 ),0 滿 足 上 述 方 程 . 25 練 習(xí) 題 答 案 26 五 、 1、 Cxyx 2)( 2 ； 2、 Cxxy 1sin1 ； 3、 Cxxyxy 4)2sin(2 .六 、 1,)1(2 10,)1(2)( xee xexyy xx . 27 ( 雅 各 布 第 一 伯 努 利 ) 書 中 給 出 的 伯 努

17、 利 數(shù) 在 很 多 地 方 有 用 , 伯 努 利 (1654 1705)瑞 士 數(shù) 學(xué) 家 , 位 數(shù) 學(xué) 家 . 標(biāo) 和 極 坐 標(biāo) 下 的 曲 率 半 徑 公 式 , 1695年 版 了 他 的 巨 著 猜 度 術(shù) ,上 的 一 件 大 事 , 而 伯 努 利 定 理 則 是 大 數(shù) 定 律 的 最 早 形 式 . 年 提 出 了 著 名 的 伯 努 利 方 程 , 他 家 祖 孫 三 代 出 過 十 多 1694年 他 首 次 給 出 了 直 角 坐 1713年 出 這 是 組 合 數(shù) 學(xué) 與 概 率 論 史此 外 , 他 對雙 紐 線 , 懸 鏈 線 和 對 數(shù) 螺 線 都 有 深

18、 入 的 研 究 . 28 全 微 分 方 程 第 五 節(jié) 一 、 全 微 分 方 程二 、 積 分 因 子 法 第 十 二 章 29 判 別 : P, Q 在 某 單 連 通 域 D內(nèi) 有 連 續(xù) 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) ,xQyP Dyx ),( 為 全 微 分 方 程 則求 解 步 驟 :方 法 1 湊 微 分 法 ;方 法 2 利 用 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件 .1. 求 原 函 數(shù) u (x, y)2. 由 d u = 0 知 通 解 為 u (x, y) = C .一 、 全 微 分 方 程使若 存 在 ),( yxu yyxQxyxPyxu d),(d),(),(d 則

19、 稱 0d),(d),( yyxQxyxP為 全 微 分 方 程 ( 又 叫 做 恰 當(dāng) 方 程 ) . 30),( yxy xo 例 1. 求 解 0d)33(d)35( 222324 yyyxyxxyyxx解 : 因 為 yP 236 yyx ,xQ 故 這 是 全 微 分 方 程 . ,0,0 00 yx取 則 有 xxyxu x d5),( 0 4 yyyxyxy d)33(0 222 5x 2223 yx 3yx 331 y因 此 方 程 的 通 解 為 Cyyxyxx 33225 3123 )0,(x 31 例 2. 求 解 0d1d)( 2 yxxxyx解 : 21xyP 這 是

20、 一 個 全 微 分 方 程 .用 湊 微 分 法 求 通 解 .將 方 程 改 寫 為0ddd 2 x xyyxxx即 ,0d21d 2 xyx故 原 方 程 的 通 解 為 021d 2 xyx或Cxyx 221,xQ 32 二 、 積 分 因 子 法思 考 : 如 何 解 方 程 ?0dd)( 3 yxxyx這 不 是 一 個 全 微 分 方 程 , ,12x就 化 成 例 2 的 方 程 . ,0),( yx 使 0d),(),(d),(),( yyxQyxxyxPyx 為 全 微 分 方 程 , ),( yx則 稱在 簡 單 情 況 下 , 可 憑 觀 察 和 經(jīng) 驗 根 據(jù) 微 分

21、 倒 推 式 得 到為 原 方 程 的 積 分 因 子 .但 若 在 方 程 兩 邊 同 乘0d),(d),( yyxQxyxP若 存 在 連 續(xù) 可 微 函 數(shù) 積 分 因 子 . 33 常 用 微 分 倒 推 公 式 :)(ddd)1 yx yx )(ddd)2 xyyx yx)(ddd)3 yyxx )(21 22 yx )(ddd)4 2 y yxxy yx 2d d5) d( )y x x yx yx)(ddd)6 yx yxxy yxln )(ddd)7 22 yx yxxy yxarctan )(ddd)8 22 yx yyxx 22 yx 積 分 因 子 不 一 定 唯 一 .

22、0dd yxxy例 如 , 對可 取 ,1yx 221 yx ,21y ,21x 34 例 3. 求 解 0d)1(d)1( yxyxxyyx解 : 分 項 組 合 得 )dd( yxxy 即 0)dd()(d 22 yyxxyxyx選 擇 積 分 因 子 2 21( , ) ,x y x y 同 乘 方 程 兩 邊 , 得0dd)( )d( 2 yyxxyx yx即 0)lnd()lnd(1d yxyx因 此 通 解 為 ,lnln1 Cyxyx 即 yxeCyx 1因 x = 0 也 是 方 程 的 解 , 故 C 為 任 意 常 數(shù) . 0)dd( yxxyyx 35 備 用 題 解 方

23、 程 .0d)(d yxyxy解 法 1 積 分 因 子 法 . 原 方 程 變 形 為0d)dd( yyyxxy 取 積 分 因 子 21y 0ddd 2 yyy yxxy故 通 解 為 Cyyx ln此 外 , y = 0 也 是 方 程 的 解 . 36 解 法 2 化 為 齊 次 方 程 . 原 方 程 變 形 為ddy yx x y xyxy1,xuy 令 ，則 uxuy uuuxu 1 xxu uu dd)1( 2 積 分 得 Cxuu lnln1將 xyu 代 入 , Cyyx ln得 通 解此 外 , y = 0 也 是 方 程 的 解 . 37 解 法 3 化 為 線 性 方 程 . 原 方 程 變 形 為11dd xyyx 1,1 QyPyyex d1 )1( yye d1 Cydy yyC d1 yCy ln其 通 解 為 y xxPe d)( CxexQ xxP d)( d)( 即 此 外 , y = 0 也 是 方 程 的 解 .Cyyx ln