《常微分方程》PPT課件

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1、第 六 章 常 微 分 方 程 yxfy 求已 知 ,)( 不 定 積 分 問(wèn) 題 yy 求及 其 若 干 階 導(dǎo) 數(shù) 的 方 程已 知 含 , 微 分 方 程 問(wèn) 題 推 廣 6.1 微 分 方 程 的 基 本 概 念 6.2 一 階 微 分 方 程 6.3 二 階 微 分 方 程6.4 用 Matlab軟 件 解 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 微 分 方 程 6.1 微 分 方 程 的 基 本 概 念微 分 方 程 的 基 本 概 念引 例 幾 何 問(wèn) 題物 理 問(wèn) 題 解 : 設(shè) 所 求 曲 線 方 程 為 y = y(x) , 則 有 如 下 關(guān)系 式 : xxy 2dd xxy d

2、2 Cx 2 (C為 任 意 常 數(shù) )由 得 C = 1, .12 xy因 此 所 求 曲 線 方 程 為21xy 由 得例 1 一 曲 線 通 過(guò) 點(diǎn) (1,2),且 在 該 曲 線 上 任 意 點(diǎn) 處 的 切 線 斜 率 為 2x， 求 這 曲 線 的 方 程 。),( yxM 例 2 質(zhì) 量 為 m的 物 體 從 空 中 自 由 下 落 ， 若 略去 空 氣 阻 力 求 物 體 下 落 的 距 離 s與 時(shí) 間 t的 函 數(shù) 關(guān) 系 s(t)。 解 ； 未 知 函 數(shù) s(t)應(yīng) 滿 足 方 程mgdtsdm 22 ,即 gdtsd 22兩 邊 積 分 得 gdtdtdsv 1Cgt再

3、 積 分 一 次 ， 得 21221 CtCgts 此 外 ， 設(shè) 運(yùn) 動(dòng) 開(kāi) 始 時(shí) ， 物 體 的 初 始 速 度 和 初 始221gts位 移 為 零 ， 得 常 微 分 方 程偏 微 分 方 程1.含 有 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) （ 或 微 分 ） 的 方 程 稱 為 微分 方 程 .2.微 分 方 程 中 所 含 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) （ 或 微 分 ）的 最 高 階 數(shù) 叫 做 微 分 方 程 的 階 .(本 章 內(nèi) 容 )微 分 方 程 的 基 本 概 念分 類例 如 為 二 階 微 分 方 程22ddtx 02 xk 3.代 入 微 分 方 程 后 ， 能 使 之 成

4、 為 恒 等 式 的 函 數(shù)稱 為 微 分 方 程 的 解 .4.用 來(lái) 確 定 通 解 中 任 意 常 數(shù) 的 條 件 稱 為 初 始 條 件 .微 分 方 程 的 基 本 概 念特 解通 解 (不 含 任 意 常 數(shù) )分 類5.尋 求 微 分 方 程 的 解 的 過(guò) 程 稱 為 解 微 分 方 程 . 6.2一 階 微 分 方 程6.2.1可 分 離 變 量 的 微 分 方 程6.2.2一 階 線 性 微 分 方 程 6.2.1可 分 離 變 量 的 微 分 方 程一 、 可 分 離 變 量 的 微 分 方 程轉(zhuǎn) 化 兩 邊 積 分 1 d ( ) yg y xxf d)()(yG )(

5、xF CxFyG )()( 例 3 (細(xì) 菌 繁 殖 模 型 )在 一 個(gè) 理 想 的 環(huán) 境 中 ， 細(xì) 胞的 繁 殖 率 與 細(xì) 菌 的 數(shù) 目 成 正 比 ， 若 時(shí) 細(xì) 菌的 數(shù) 目 為 ， 求 系 統(tǒng) 的 細(xì) 菌 繁 殖 規(guī) 律 。兩 邊 積 分 ( )( )dx t kdtx t 0t)0(x ( ) ( )dx t kx tdt 解 ： 設(shè) 示 在 時(shí) 刻 細(xì) 菌 數(shù) 目 ， 依 題 意 有 ( 0)k )(tx t ln ( )x t kt C ( ) ktx t Ce即 (C為 任 意 常 數(shù) ) 又 因 ， 0)( ttx 為 已 知 ,故 特 解 為 ( ) ktx t

6、Ce ceCC 或0 )0(x 例 4（ 自 然 生 長(zhǎng) 模 型 ） 表 示 一 種 生 物 在 時(shí)間 t時(shí) 種 群 總 數(shù) ， 開(kāi) 始 時(shí) 種 群 總 數(shù)分 別 表 示 該 總 群 的 出 生 率 和 死 亡 率 ， 實(shí) 踐 證 明 解 ： 在 t到 t 這 段 時(shí) 間 內(nèi) 種 群 總 數(shù) 改 變 量 為 當(dāng) 時(shí)采 用 可 分 離 變 量 后 ， 積 分 得 ny cer ky ttmyttnytytty )()()()( 0t )()()()(lim0 tymnt tyttydtdy t )(tyy mnyy ,)0( 0,kyrmn 其 中 r0， k0， 試 求 該 種 群 的 自 然

7、生 長(zhǎng) 規(guī) 律 。 由 確 定 常 數(shù) C， 則 可 得 生 物 總 群 自 然增 長(zhǎng) 規(guī) 律 ： 00( ) nry t r kyk ey 0)0( yy 此 式 稱 為 Logistic方 程 ， 顯 然 當(dāng)其 曲 線 圖 為 kryt 時(shí) ， 例 5（ 腫 瘤 生 長(zhǎng) 模 型 ） 設(shè) 是 腫 瘤 體 積 。 免 疫系 統(tǒng) 非 常 脆 弱 時(shí) ， V呈 指 數(shù) 式 增 長(zhǎng) ， 但 V長(zhǎng) 大 到一 定 程 度 后 ， 因 獲 取 的 營(yíng) 養(yǎng) 不 足 使 其 增 長(zhǎng) 受 限制 。 描 述 V的 一 種 數(shù) 學(xué) 模 型 是 ：0ln , (0) ( 0)dV VaV V V adt V 是 腫

8、瘤 可 能 長(zhǎng) 到 的 最 大 體 積 ， 確 定 腫瘤 生 長(zhǎng) 規(guī) 律 /0 k aV Ve )(tV 解 ： 分 離 變 量 ln lndV adtV V V 兩 邊 積 分 ln lndV adtV V V ln ln ln lnV V at C 由 初 始 條 件 ， 可 確 定 ， 00V V 0lnV kC V a 故 特 解 是 atkeaVV e 即 (1 )/0 atk e aV Ve 此 為 貢 柏 茨 方 程 此 為 貢 柏 茨 方 程 圖 形 二 、 可 化 為 分 離 變 量 的 某 些 方 程 *)(dd xyxy 1. 齊 次 方 程 形 如令 ,xyu ,xuy

9、則代 入 原 方 程 得 ,dddd xuxuxy )(dd uxuxu xxuuu d)(d 兩 邊 積 分 , 得 xxuuu d)(d積 分 后 再 用 xy代 替 u, 便 得 原 方 程 的 通 解 .解 法 :分 離 變 量 : 例 6. 解 微 分 方 程 .tan xyxydxdy 解 : ,xyu令 ,uxuy 則 代 入 原 方 程 得uuuxu tan分 離 變 量 xxuuu ddsincos 兩 邊 積 分 xxuuu ddsincos得 ,lnlnsinln Cxu xCusin即故 原 方 程 的 通 解 為 xCxysin( 當(dāng) C = 0 時(shí) , y = 0

10、也 是 方 程 的 解 )( C 為 任 意 常 數(shù) ) 例 7. 解 微 分 方 程 yx yxdxdy 解 ： 將 右 端 函 數(shù) 的 分 子 ， 分 母 同 時(shí) 除 以 自 變 量 x11 ydy xydx x 此 為 齊 次 方 程 ， 令 y ux 21 21du u uxdx u 分 離 變 量 ， 再 兩 邊 積 分2 2 211 2u u C x 將 u帶 回 得2 2 2( 2 ) 1C x xy y )(dd cbyaxfxy 2. 型 方 程作 變 換 cbyaxz )(dd zbfaxy 例 8. 求 方 程 的 通 解2)( yxdxdy 解 ： 令 則z x y 2

11、d d1 1d dz y zx x 得 方 程 通 解 為 arctanz x C 將 代 回 得 原 方 程 通 解z x y arctan( )x y x C 6.2.2一 階 線 性 微 分 方 程一 階 線 性 微 分 方 程 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 : )()(dd xQyxPxy 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱 為 非 齊 次 方 程 .稱 為 齊 次 方 程 ;定 義 3 如 果 方 程 中 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) （ 微 分 ）的 最 高 階 數(shù) 是 一 階 的 ， 且 所 含 未 知 函 數(shù) 及 導(dǎo)數(shù) （ 微 分 ） 都 是 一 次 冪 的 ， 則 稱 這 種 方 程

12、 為一 階 線 性 微 分 方 程 。一 、 一 階 線 性 微 分 方 程 0)(dd yxPxy1. 解 齊 次 方 程分 離 變 量 xxPyy d)(d 兩 邊 積 分 得 CxxPy lnd)(ln 故 通 解 為 xxPeCy d)(這 里 僅 表 示 p(x)的 一 個(gè) 原 函 數(shù) ( )dP x x2. 解 非 齊 次 方 程 )()(dd xQyxPxy ( ) ( )dy Q x dx P x dxy y 改 寫(xiě) 為 兩 邊 積 分 ( )ln ( )Q xy dx P x dxy ( ) ( )Q x dx u xy 令 ( )( ) P x dxu xy e e令 (

13、)( ) u xC x e ( )( ) P x dxy C x e （ 1）下 面 求 C（ x） ， 對(duì) （ 1） 求 導(dǎo) 得 ( ) ( )( ) ( ) ( )P x dx P x dxy C x e P x C x e 代 入 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 得 ( )( ) ( )P x dxC x e Q x 齊 次 方 程 通 解 非 齊 次 方 程 特 解 xxPCe d)(故 原 方 程 的 通 解 xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(y即 CxexQxC xxP d)()( d)(兩 端 積 分 得 1.齊 次 方 程 通 解

14、 為 ：0)(dd yxPxy xxPe Cy d)( .非 齊 次 方 程 通 解 為 ：)()(dd xQyxPxy xxP xxPe dxexQCy d)( d)()( 例 9 用 常 數(shù) 變 易 法 求 一 階 線 性 方 程 通 解sincos xdy y x edx 解 ： 齊 次 方 程 通 解 ： cos sinxdx xy Ce Ce 用 常 數(shù) 變 易 法 ， 令 sin( ) xy C x e sin sin( ) cos ( )x xy C x e x C x e 代 入 原 方 程 得 sin sin( ) x xC x e e 即 ( )C x x C 故 通 解

15、為 sin( ) xy x C e 例 10 用 通 解 公 式 求 一 階 線 性 方 程 的 通 解21dy y xdx x 解 ： 21( ) , ( )P x Q x xx 則 通 解 為 21( )2x xdx C x x C 嚴(yán) 格 的 說(shuō) ， 上 式 僅 當(dāng) 時(shí) 才 成 立 。 121 Cdxexey dxxdxx 0 x 當(dāng) x0 時(shí) 1 ln ln( )dx x xx 1 12dx dxx xy e x e dx C ln( ) 2 ln( )x xe x e dx C 2 1( )x x dx Cx 21( )2x x C 例 11 (飲 食 與 體 重 模 型 )某 人

16、每 天 從 食 物 中 獲 取10500J熱 量 ， 其 中 5040J用 于 基 礎(chǔ) 代 謝 。 他 每天 的 活 動(dòng) 強(qiáng) 度 ， 相 當(dāng) 于 每 千 克 體 重 消 耗 67 2J.此 外 ， 余 下 的 熱 量 均 以 脂 肪 的 形 式 儲(chǔ) 存 起 來(lái) ，每 42000 J可 轉(zhuǎn) 化 為 1kg脂 肪 。 問(wèn) ： 這 個(gè) 人 的 體重 是 怎 樣 隨 時(shí) 間 變 化 的 ， 會(huì) 達(dá) 到 平 衡 嗎 ? 解 ： 依 題 意 ， 進(jìn) 食 增 加 10500/42000=0.25kg 基 礎(chǔ) 代 謝 5040/42000=0.12kg 活 動(dòng) 消 耗 67.2w/42000=0.0016wk

17、g tCewwtw tww 0016.025.810016.013.0 )0016.012.025.0( 即 例 12（ 藥 代 動(dòng) 力 學(xué) 模 型 ） 假 定 藥 物 以 恒 定 速 率K0向 一 個(gè) 同 質(zhì) 單 元 進(jìn) 行 靜 脈 滴 注 ， K0的 單 位 為單 位 時(shí) 間 的 藥 量 ， 并 且 藥 物 在 同 質(zhì) 單 元 內(nèi) 按 一 級(jí)消 除 速 率 常 數(shù) K的 過(guò) 程 消 除 。 K的 單 位 為 時(shí) 間 的倒 數(shù) 。 試 求 此 系 統(tǒng) 藥 物 隨 時(shí) 間 變 化 規(guī) 律 。 0dx K Kxdt 由 于 ， 故 0( ) (1 )KtKx t eK 0)( 0 ttx解 ：

18、依 題 意 單 位 時(shí) 間 內(nèi) 藥 物 變 化 率 應(yīng) 該 等 于 輸入 與 輸 出 之 差 ， 則 例 13（ 細(xì) 菌 繁 殖 非 理 想 環(huán) 境 模 型 ） ， 除 系 統(tǒng) 本身 的 繁 殖 外 有 的 細(xì) 菌 向 系 統(tǒng) 外 遷 移 ， 其 遷 移 速率 是 時(shí) 間 t的 線 性 函 數(shù) ， 即 At+B， 系 統(tǒng) 內(nèi) 繁 殖 率與 細(xì) 菌 的 數(shù) 目 成 正 比 ， 并 假 定 t=0時(shí) ， 測(cè) 得 的 細(xì)菌 的 數(shù) 目 為 x(0)， 求 系 統(tǒng) 的 細(xì) 菌 繁 殖 規(guī) 律解 ： 設(shè) 為 t時(shí) 刻 細(xì) 菌 數(shù) 目 ， 則 ( )dx Kx t At Bdt 解 得 2( ) ( )

19、kdt kdt kt At B Ax t e At B e C Ce K K 代 入 則00tx x 0 2 2( ) ( ) ktB A At B Ax t x eK K K K )(tx 二 、 伯 努 利 ( Bernoulli )方 程 * 伯 努 利 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 : )1,0()()(dd nyxQyxPxy nny以 )()(dd 1 xQyxPxyy nn 令 ,1 nyz xyynxz n dd)1(dd 則 )()1()()1(dd xQnzxPnxz 求 出 此 方 程 通 解 后 ,除 方 程 兩 邊 , 得換 回 原 變 量 即 得 伯 努 利 方 程

20、的 通 解 .解 法 : (線 性 方 程 ) )0,0(4 xyyxyxdxdy例 14 求 方 程 的 通 解解 ： 這 是 伯 努 力 方 程 ， 其 中 11,2 nn z y y 令則 12dz dydx dxy 2 2dz xzdx x 2 22 dx dxx xz e e dx cx 2 221 1 ( ln )2 2xx dx c x x cx 4 21( ln )2z y y x x c 課 堂 練 習(xí) 題 :求 0tan sec , 2xdy y x x ydx 的 特 解解 :由 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 知 ( ) lncos( ) ( )( ) tan , ( ) sec( )

21、 tan lncos ,( ) sec ,1 ( ) p x dx xp x dx p x dxp x x Q x xp x dx xdx xQ x e dx x e dx dx xy e Q x e dx c x ccox 則通 解由 0 2xy 得 2c 所 求 特 解 為 : 1 cos 2y xx ( 雅 各 布 第 一 伯 努 利 ) 書(shū) 中 給 出 的 伯 努 利 數(shù) 在 很 多 地 方 有 用 , 伯 努 利 (1654 1705)瑞 士 數(shù) 學(xué) 家 , 位 數(shù) 學(xué) 家 . 標(biāo) 和 極 坐 標(biāo) 下 的 曲 率 半 徑 公 式 , 1695年 版 了 他 的 巨 著 猜 度 術(shù) ,

22、上 的 一 件 大 事 , 而 伯 努 利 定 理 則 是 大 數(shù) 定 律 的 最 早 形 式 . 年 提 出 了 著 名 的 伯 努 利 方 程 , 他 家 祖 孫 三 代 出 過(guò) 十 多 1694年 他 首 次 給 出 了 直 角 坐 1713年 出 這 是 組 合 數(shù) 學(xué) 與 概 率 論 史此 外 , 他 對(duì)雙 紐 線 , 懸 鏈 線 和 對(duì) 數(shù) 螺 線 都 有 深 入 的 研 究 . ),( yxfy 6.3.1 可 降 階 高 階 微 分 方 程 一 、 型 的 微 分 方 程 二 、 型 的 微 分 方 程 ),( yyfy 三 、 型 的 微 分 方 程 )(xfy ( )y f

23、 x一 、 型 的 微 分 方 程 令 則( )u x y ( )u f x兩 端 積 分 得 1( ) ( )u x f x dx C 則 1( )y f x dx C 再 積 分 ， 得 通 解 1 2( ( ) )y f x dx dx Cx C 例 15 求 方 程 的 通 解 xey x cos2 積 分 一 次 得 2 21 11( cos ) sin2x xy e x dx C e x C 再 積 分 一 次 得 2 1 22 1 21( sin )21 cos4 xxy e x C dx Ce x Cx C 最 后 積 分 得 3212 )cos41( CdxCxCxey x

24、32212 21sin81 CxCxCxe x ),( yxfy 型 的 微 分 方 程 設(shè) ,)(xPy ,Py 則 原 方 程 化 為 一 階 方 程),( PxfP 設(shè) 其 通 解 為 ),( 1CxP 則 得 ),( 1Cxy 再 一 次 積 分 , 得 原 方 程 的 通 解21 d),( CxCxy 二 、 例 16求 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 特 解 。 212 xyxy 3,1 00 xx yy解 ： 設(shè) ( )P x y P y ， 則 221dP xPdx x 原 式 為分 離 變 量 并 積 分 2 1ln ln(1 ) lnP x C 221dP x dxP

25、x 即 2 1(1 )P C x 21(1 )P C x 用 代 替 ， 得 21(1 )y C x 積 分 得 21 2 31 2(1 )1( )3y C x dx CC x x C 代 入 初 始 條 件 0 01 3x xy y 和得 1 23, 1C C 故 特 解 是 3 3 1y x x Py 三 、 ),( yyfy 型 的 微 分 方 程 令 ),(yPy xPy dd則 xyyP dddd yPPdd故 方 程 化 為 ),(dd PyfyPP 設(shè) 其 通 解 為 ),( 1CyP 即 得),( 1Cyy 分 離 變 量 后 積 分 , 得 原 方 程 的 通 解 21),(

26、d CxCyy 例 17. 求 解 .12 2yyy yCP 12)1( 得 yCy 121 即故 所 求 通 解 為 22211 )(411 CxCyC 解 : ),(yPy 設(shè) xPy dd則 xyyP dddd yPPdd yyy 21 2 ,21dd 2yPyPP 原 始 可 寫(xiě) 為兩 端 積 分 得 12 lnln)1ln( CyP dyydPPP 112 2 可 降 階 微 分 方 程 的 解 法 降 階 法逐 次 積 分 ),(.2 yxfy 令 ,)(xPy xPy dd則),(.3 yyfy 令 ,)(yPy yPPy dd則)(.1 xfy 注 意 ： 對(duì) 于 型 的 微

27、分 方 程 根 據(jù) 具 體 方 程 選擇 用 方 法 2或 方 法 3， 使 得 降 階 后 所 得 方 程 容 易 求 解 )(yfy 6 3 2二 階 線 性 常 系 數(shù) 齊 次 方 程 定 義 5 如 果 方 程 中 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)(或 微 分 )的 最 高 階 數(shù) 是 二 階 的 ， 且 所含 未 知 函 數(shù) 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) (或 微 分 )都是 一 次 冪 的 ， 則 稱 這 種 方 程 為 二 階 線性 微 分 方 程 ， 一 般 形 式 為 ： )()()()( xfyxCyxByxA )()()()( xfyxCyxByxA ( ) 0f x 當(dāng) 時(shí) 稱 之

28、 為 二 階 線 性 齊 次 方 程 ； ( ) 0f x 當(dāng) 時(shí) 稱 之 為 二 階 線 性 非 齊 次 方 程 )(xfcyybya 稱 之 為 二 階 線 性 常 系 數(shù) 微 分 方 程 (a、 b、 c均 為 常 數(shù) )0 cyybya 稱 之 為 二 階 線 性 常 系 數(shù) 齊 次 微 分 方 程 (a、 b、 c均 為 常 數(shù) ) 定 理 1 若 函 數(shù) 和 是 二 階 線 性常 系 數(shù) 齊 次 微 分 方 程 的 兩 個(gè) 解 ， 則 其 線 性組 合 也 是 該 方 程 的 解 。其 中 Cl、 C2是 兩 個(gè) 任 意 常 數(shù) 。)(1 xy )()( 2211 xyCxyCy

29、)(2 xy 定 理 2 若 和 是 二 階 線 性 常 系 數(shù) 齊 次 微 分 方 程 的 兩 個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 特 解 ， 則 就 是 該 方 程 的 通 解 其 中 C1和 C 2是 兩 個(gè) 任 意 常 數(shù) 。)(1 xy )(2 xy)()( 2211 xyCxyCy 定 理 3設(shè) 是 二 階 線 性 非 齊 次 方 程 的 一個(gè) 特 解 ， 是 其 對(duì) 應(yīng) 的 二 階 線 性 齊 次 方 程 的通 解 ， 則 是 二 階 線 性 非 齊 次 方程 的 通 解 。 y yyy y 定 理 1、 2、 3說(shuō) 明 ：非 齊 次 通 解 齊 次 通 解非 齊 次 特 解 齊 次 特 解

30、齊 次 特 解(線 性 無(wú) 關(guān) ) 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程 : ),(0 為 常 數(shù)cbaycybya xrey 和 它 的 導(dǎo) 數(shù) 只 差 常 數(shù) 因 子 ,代 入 得0)( 2 xre cbrar 0 2 crbar稱 為 微 分 方 程 的 特 征 方 程 ,( r 為 待 定 常 數(shù) ),xrer 函 數(shù)為 常 數(shù) 時(shí)因 為 , 所 以 令 的 解 為 其 根 稱 為 特 征 根 . a acbbr 2 422,1 1. 當(dāng) 時(shí) , 有 兩 個(gè) 相 異 實(shí) 根 ,21 r,r方 程 有 兩 個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 特 解 : ,11 xrey ,22 xre

31、y 因 此 方 程 的 通 解 為 xrxr eCeCy 21 21 則 微 分它 的 特 征 方 程 為 2 2 0r r 其 根 為 兩 個(gè) 相 異 實(shí) 根 ， 故 1 22, 1r r 則 21 2x xy Ce Ce 代 入 初 始 條 件 ， 得 1 21, 0C C 故 所 求 特 解 是 2xy e 例 18求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 特 解 。 02 yyy 2,1 00 xx yy 042 acb 2. 當(dāng) 042 acb 時(shí) , 特 征 方 程 有 兩 個(gè) 相 等 實(shí) 根 21 rr 則 微 分 方 程 有 一 個(gè) 特 解)(12 xuyy 設(shè) 另 一

32、特 解 ( u (x) 待 定 )代 入 方 程 得 : 0)()()()2()( 1211 1 xucbrarxubraxuae xr abr 21 注 意 是 特 征 方 程 的 重 根 0u取 u = x , 則 得 ,12 xrexy 因 此 原 方 程 的 通 解 為xrexCCy 1)( 21,2ab .11 xrey )(1 xue xr 0)()()()2()( 1211 xucrbraxubraxua 例 19 求 微 分 方 程 的 通 解 。 044 yyy它 的 特 征 方 程 為 24 4 1 0r r 其 根 為 一 對(duì) 相 等 實(shí) 根則 所 求 方 程 的 通 解

33、 為 1 2 12r r xrexCCy 1)( 21 3. 當(dāng) 時(shí) , 特 征 方 程 有 一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根 irir 21 ,這 時(shí) 原 方 程 有 兩 個(gè) 復(fù) 數(shù) 解 :xiey )(1 )sin(cos xixe x xiey )(2 )sin(cos xixe x 利 用 解 的 疊 加 原 理 , 得 原 方 程 的 線 性 無(wú) 關(guān) 特 解 :)( 21211 yyy )( 21212 yyy i xe x cos xe x sin因 此 原 方 程 的 通 解 為 )sincos( 21 xCxCey x 042 acb 例 20 求 微 分 方 程 的 通 解 052 y

34、yy它 的 特 征 方 程 為 2 2 5 0r r 其 根 為 一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根則 所 求 方 程 的 通 解 為 1 21 2, 1 2r i r i 1 2( cos2 sin2 ) xy C x C x e 總 結(jié) : ),(0 為 常 數(shù)cbaycybya 特 征 方 程 : 21,: rr特 征 根 xrxr eCeCy 21 21 21 rr 實(shí) 根 221 prr xrexCCy 1)( 21 ir, 21 )sincos( 21 xCxCey x 特 征 根 通 解以 上 結(jié) 論 可 推 廣 到 高 階 常 系 數(shù) 線 性 齊 次 微 分 方 程 .02 crbar 6

35、.4* 用 Matlab軟 件 解 二 階 常 系 數(shù) 非 齊次 微 分 方 程求 解 常 微 分 方 程 命 令 格 式 為 ：dsolve(S,S1,S2,x)其 中 s為 方 程 ,s1,s2為 初 始 條 件 ,x為 自 變 量 例 21 求 的 通 解xeyyy 22 例 22 求 的 解0)(,1)0(,0 2 ayyyay ( 2 2* , (0) 1, ( / ) 0, )( * )y dsolve D y a y y DyPi a xy Cosa x (2* 2 2*exp( ), )exp( ) 1*exp( ) 2*exp(1/2* )( )y dsolve D y Dy y x xy x C x C xpretty y )21exp(2)exp(1)exp( xCxCx