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1、 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院三、一般迭代法 (補充) 第 八 節(jié)的實根求方程0)( xf可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時計算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根的隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方 程 的 近 似 解 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院一 、 根 的 隔 離 與 二 分 法，內(nèi)只有一個根在若方程,0)( baxf 內(nèi)嚴格單調(diào)）（在且baxf ,)(為則稱, ba.其隔根區(qū)間,0)()(,)( bfafbaCxf為隔根區(qū)間, ba(1) 作圖法 1. 求隔根區(qū)間的一般方法 ;)(估計隔根區(qū)間的草圖由xfy 轉(zhuǎn)化為等價
2、方程將0)( xf xoy )(xfy xoy.)(,)(的草圖估計隔根區(qū)間由xyxy a b)()( xx a b )(xy )(xy Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院(2) 逐步收索法01, 3 xx方程例如13 xx由圖可見只有一個實根,)5.1,1(可轉(zhuǎn)化為.)5.1,1(即為其隔根區(qū)間,的左端點出發(fā)從區(qū)間ba以定步長 h 一步步向右搜索, 若0)1()( hjafjhaf )1(;,1,0( bhjaj .)1(內(nèi)必有根，則區(qū)間hjajha 搜索過程也可從 b 開始 , 取步長 h 0 . xoy 213xy 1 xy Higher mathematics
3、 綿 陽 師 范 學 院1a 1b2. 二 分 法，設(shè),)( baCxf ，0)()( bfaf只有且方程0)( xf，一個根),( ba取中點，21 ba 1，若0)( 1 f .1 即為所求根則，若0)()( 1 faf ,),( 1 a則根;, 111 baa令,),( 1 b否則對新的隔根區(qū)間, 11 ba重復以上步驟,反復進行,得, 111 bba 令 , 11 nn bababa的中點若取, nn ba則誤差滿足)(211 nnn ab )(121 abn a b)(211 nnn ba ,的近似根作為 0 n1a 1b Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院
4、例1. 用二分法求方程04.19.01.1 23 xxx的近似實根時,要使誤差不超過,10 3至少應(yīng)對分區(qū)間多少次 ?解: 設(shè) ,4.19.01.1)( 23 xxxxf ),()( Cxf則9.02.23)( 2 xxxf )067.5( 0,),()(單調(diào)遞增在 xf又,04.1)0( f 06.1)1( f故該方程只有一個實根 , ,1,0為其一個隔根區(qū)間欲使)01(1211 nn 310必需,10002 1 n即11000log2 n 96.8可見只要對分區(qū)間9次 ,即可得滿足要求的實根近似值10 (計算結(jié)果見“高等數(shù)學”(上冊) P177178) Higher mathematics
5、 綿 陽 師 范 學 院二 、 牛 頓 切 線 法 及 其 變 形:)(滿足xf 0)()(,)1 bfafba上連續(xù)在不變號及上在)()(,)2 xfxfba .),(0)( 內(nèi)有唯一的實根在方程baxf 有如下四種情況:xbayo xbayo xbayo xbayo00ff 00ff 00ff 00ff Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院牛頓切線法的基本思想:程的近似根 .記縱坐標與)(xf 同號的端點為,)(,( 00 xfx用切線近似代替曲線弧求方y(tǒng) xbao 1x 0 x在此點作切線 ,其方程為)()( 000 xxxfxfy 令 y = 0 得它與 x 軸
6、的交點,)0,( 1x )( )( 0001 xf xfxx 其中再在點)(,( 11 xfx作切線 ,可得近似根.2x如此繼續(xù)下去, 可得求近似根的迭代公式 :)( )( 111 nnnn xf xfxx ),2,1( n 2x稱為牛頓迭代公式 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院牛頓法的誤差估計: )( )( 111 nnnn xf xfxx由微分中值定理得)()()( nn xffxf y xbao 1x 0 x2x)(之間與在 nx,0)( f )( )( f xfx nn ,0則得mxfx nn )(說明: 用牛頓法時,若過縱坐標與)(xf 異號的端點作切線
7、,則切線與 x 軸焦點的橫坐標未必在.,內(nèi)ba)(min, xfm ba 記 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院牛頓法的變形:(1) 簡化牛頓法若用一常數(shù)代替y xbao ,)( 1 nxf即用平行,)()( 10 nxfxf代替例如用則得簡化牛頓迭代公式. 線代替切線,得)( )( 011 xf xfxx nnn ),2,1( n優(yōu)點:，避免每次計算)( 1 nxf因而節(jié)省計算量.缺點: 逼近根的速度慢一些. Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院y xo 0 x 1x(2) 割線法為避免求導運算 ,)( 1 nxf用割線代替切線,21 21
8、)()( nn nn xx xfxf例如用差商代替從而得迭代公式: )()()( )( 2121 11 nnnn nnn xxxfxf xfxx 2x 3x(雙點割線法) ),3,2( n特點: 逼近根的速度快于簡化牛頓法, 但慢于牛頓法.說明: 若將上式中,02 xxn換為則為單點割線法,逼近根的速度與簡化牛頓法相當. Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院例2. 用切線法求方程0742 23 xxx的近似解, 使誤差不超過 0.01 .解: .742)( 23 xxxxf設(shè)y xo 34由草圖可見方程有唯一的正實根 ,且9)4(,10)3( ff .43為一隔根區(qū)間，
9、因此上，由于在43 443)( 2 xxxf )2)(23( xx 046)( xxf )23(2 x 0)(min4,3 xfm 11)3( f Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院y xo 34,40 x故取得)4( )4(41 ffx 2894 68.3而mxfx )( 11 1103.1 09.0，精度不夠故1x再求)68.3( )68.3(68.32 ffx 9.2103.168.3 63.3mxfx )( 22 11042.0 01.0004.0 因此得滿足精度要求的近似解63.3 Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院三 . 一 般
10、迭 代 法 (補充) ,)(0)( xxxf 轉(zhuǎn)化為等價方程將方程在隔根區(qū),0 x間內(nèi)任取一點按遞推公式),2,1()( 1 nxx nn ,nx生成數(shù)列,lim nn x若則 即為原方程的根 .稱為迭代格式 , ,)(稱為迭代函數(shù)x稱為迭代0 x,lim存在稱迭代收斂若nn x初值 .否則稱為發(fā)散 . Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院例3. 用迭代法求方程.2,1013內(nèi)的實根在xx解法1 將方程變形為,13 xx迭代格式為,13 1 nn xx 5.10 x取1 2 3 nnx 05.1 375.2 396.12 779.1903 發(fā)散 !解法2 將方程變形為,
11、13 xx迭代格式為,13 1 nn xx 5.10 x取1 2 nnx 05.1 35721.1 33086.1 7 832472.1 32472.1迭代收斂 ,1.32472 為計算精度范圍內(nèi)的所求根 . Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院定理. :,)(上滿足在區(qū)間方程baxx bxaxx )()(1 且，連續(xù)）1)()(2 Lxx 且，存在），上有唯一解在方程） ,)(1 baxx nnn xx bax )( ,2 10）(證明略)迭代法的斂散性與迭代函數(shù)的特性有關(guān).可以證明下述定理: Higher mathematics 綿 陽 師 范 學 院內(nèi) 容 小 結(jié)1. 隔根方法 作圖法 二分法 2. 求近似根的方法二分法 牛頓切線法簡化牛頓法割線法一般迭代法思考與練習比較求方程近似根的方法之間的關(guān)系及優(yōu)缺點 . 作業(yè)(習題3-8)P180 1 ; 3
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