2021屆高三數(shù)學(xué)(理) 考點(diǎn)06 基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù))解析版 Word版含解析

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1、【考點(diǎn)剖析】1.最新考試說明:1.理解指數(shù)冪的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,會解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題.2.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),會用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù);了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用3.理解對數(shù)函數(shù)的概念,能解決與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題.4.結(jié)合函數(shù)yx,yx2,yx3,yx,的圖象,了解它們的變化情況2.命題方向預(yù)測:1.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)是近幾年高考的熱點(diǎn)2.通過具體問題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),或利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些實(shí)際問題是重點(diǎn),也是難點(diǎn),同時考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想3.高考考查的熱點(diǎn)是對數(shù)式的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用

2、,同時考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想4.關(guān)于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體,考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì),多以小題形式出現(xiàn),屬容易題5.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是近幾年高考的熱點(diǎn);用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點(diǎn),也是難點(diǎn)6.題型以選擇題和填空題為主,若與其他知識點(diǎn)交匯,則以解答題的形式出現(xiàn).1. 課本結(jié)論總結(jié):指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 (a0,m,nN*,且n1);正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 (a0,m,nN*,且n1);0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):arasars,(ar)sars,(ab)rarbr

3、,其中a0,b0,r,sQ.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的概念如果axN(a0且a1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作xlogaN,其中_a_叫做對數(shù)的底數(shù),_N_叫做真數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logalogaMlogaN;logaMnnlogaM (nR);logamMnlogaM.(2)對數(shù)的性質(zhì)alogaN_N_;logaaN_N_(a0且a1)(3)對數(shù)的重要公式換底公式:logbN (a,b均大于零且不等于1);logab,推廣logablogbclogcdlogad.3對數(shù)函

4、數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)與冪函數(shù)1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)ax2bxc(a0)頂點(diǎn)式:f(x)a(xm)2n(a0)零點(diǎn)式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a-2x得x-, ,單調(diào)遞減,由于,得3x+1-2x解得x-【經(jīng)典理由】根據(jù)a的取值進(jìn)行分類討論(3)新課標(biāo)A版第 72 頁,例8比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。海?)log 2 3 . 4 與 log 2 8 . 5;(2)log 0 . 3 1 . 8 與 log 0 . 3 2 . 7;(3)loga 5 . 1 與 lo

5、ga5 . 9 (且)解:(1) y = log 2x在 ( 0 , + ) 上是增函數(shù)且 3 . 48 . 5, log 2 3 . 4 log 2 8 . 5 ;(2) y = log 0 . 3x在 ( 0 , + )上是減函數(shù)且 1 . 82 . 7,log 0 . 3 1 . 8log 0 . 3 2 . 7;(3)解:當(dāng)時, y = logax在( 0 , + ) 上是增函數(shù)且5 . 15 . 9, loga5 . 1loga5 . 9,當(dāng)0a1時, y = loga x在 ( 0 , + ) 上是減函數(shù)且5 . 15 . 9, loga5 . 1loga5 . 9 【經(jīng)典理由】以

6、對數(shù)函數(shù)為載體,考查對數(shù)運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用(4)新課標(biāo)A版第 822 頁,A組第10題已知冪函數(shù),試求出此函數(shù)的解析式,并作出圖像,判斷奇偶性、單調(diào)性【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念設(shè),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得n值,從而求得函數(shù)解析式要判斷函數(shù)的奇偶性我們可以根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性,判斷函數(shù)圖象在(0,+)的單調(diào)性,進(jìn)而畫出函數(shù)的圖象【解析】設(shè),因?yàn)閮绾瘮?shù),,這個函數(shù)解析式為 定義域?yàn)椋?,+),它不關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以,y=f(x)是非奇非偶函數(shù)當(dāng)x0時,f(x)是單調(diào)減函數(shù),函數(shù)的圖象如圖【經(jīng)典理由】本題通過待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式、解指數(shù)方程的解法、奇(偶)函數(shù)性、冪函數(shù)

7、圖象考查學(xué)生對冪函數(shù)有關(guān)知識的掌握程度和對知識的綜合應(yīng)用能力6.考點(diǎn)交匯展示:(1)基本初等函數(shù)與集合交匯例1【河北省“五個一名校聯(lián)盟”2021高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一)1】設(shè)集合,則( )A.AB B.AB C.AB D.AB【答案】B考點(diǎn):1.一元二次不等式解法;2.指數(shù)不等式解法;3.集合間關(guān)系與集合運(yùn)算.例2 設(shè)集合,則等于(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】M,N,故考點(diǎn):1.簡單不等式的解法;2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì);3.集合的運(yùn)算.(2)基本初等函數(shù)與基本不等式交匯例1【成都石室中學(xué)2021屆高三上期“一診”模擬考試(一)】已知二次函數(shù)的值域?yàn)?,則的最小值為.【答案】3【解析】

8、由題意得:.考點(diǎn):1.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì);2.基本不等式.【考點(diǎn)分類】熱點(diǎn)1 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)1.【2021高考四川,理8】設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的 ( )(A) 充要條件 (B)充分不必要條件(C)必要不充分條件 (D)既不充分也不必要條件【答案】B考點(diǎn):1.充要條件;2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2. 設(shè),函數(shù)在單調(diào)遞減,則( )A在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增B在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減C在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增D在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減【答案】A【解析】由的圖像可知,函數(shù)在在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,因函數(shù)在單調(diào)遞減,故根據(jù)同增異減可知,故答案為A考點(diǎn)

9、:1.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì);2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.3.【2021遼寧高考理第3題】已知,則( )ABCD【答案】C【解析】試題分析:所以,故選C.考點(diǎn):1.指數(shù)對數(shù)化簡;2.不等式大小比較.4. 下列函數(shù)中,在內(nèi)單調(diào)遞減,并且是偶函數(shù)的是( )ABCD【答案】C考點(diǎn):函數(shù)奇偶性與單調(diào)性【方法規(guī)律】1.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題,首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì),其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時,都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷,最終將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決2.對數(shù)式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成

10、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算,然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則,轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3比較對數(shù)值大小時若底數(shù)相同,構(gòu)造相應(yīng)的對數(shù)函數(shù),利用單調(diào)性求解;若底數(shù)不同,可以找中間量,也可以用換底公式化成同底的對數(shù)再比較4利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題,一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的【解題技巧】1.圖像題要注意根據(jù)圖像的單調(diào)性和特殊點(diǎn)判斷2.指數(shù)形式的幾個數(shù)字比大小要注

11、意構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)3判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題,可以先通過令x1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較4指數(shù)函數(shù)yax (a0,a1)的性質(zhì)和a的取值有關(guān),一定要分清a1與0a0的解集為_【答案】x|2x3【解析】函數(shù)ylg(x22x3)有最小值,f(x)alg(x22x3)有最大值,0a1.由loga(x25x7)0,得0x25x71,解得2x3.不等式loga(x25x7)0的解集為x|2x3【易錯點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)中注意討論底數(shù)a的大小,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性往往也和a的取值有關(guān)熱點(diǎn)2 冪函數(shù)、二次函數(shù)1. 【2021高考天津,理8】已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個零點(diǎn),則的取值范圍是(

12、 )(A) (B) (C) (D)【答案】D考點(diǎn):求函數(shù)解析、函數(shù)與方程思、數(shù)形結(jié)合.2.【2021高考江蘇卷第10題】已知函數(shù),若對于任意的都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】據(jù)題意解得考點(diǎn):二次函數(shù)的性質(zhì)3.【2021浙江高考理第15題】設(shè)函數(shù)若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】考點(diǎn):1.分段函數(shù);2.二次函數(shù)的性質(zhì).4.【2021高考上海理科第9題】若,則滿足的取值范圍是.【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì),由于,所以當(dāng)時,當(dāng)時,因此的解集為.考點(diǎn):冪函數(shù)的性質(zhì).【方法規(guī)律】1.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關(guān);2.常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)

13、性或圖象求解,在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取得最值.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間可以相互轉(zhuǎn)化一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時,常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解,一般從開口方向;對稱軸位置;判別式;端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時,一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解3.冪函數(shù)yx的圖象與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜,一般從兩個方面考查(1)的正負(fù):0時,圖象過原點(diǎn)和(1,1),在第一象限的圖象上升;1時,曲線下凸;01時,曲線上凸;0時,圖象過原點(diǎn)和(1,1),在第一象限的圖象上升;0時,圖象不過原點(diǎn),在第一象限的圖象下降,反之也成立【

14、解題技巧】2. 做二次函數(shù)類型題是注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,畫出函數(shù)的草圖能幫助我們理清思路3. 二次函數(shù)中如果含有參數(shù),往往要進(jìn)行分類討論3.對于函數(shù)yax2bxc,要認(rèn)為它是二次函數(shù),就必須滿足a0,當(dāng)題目條件中未說明a0時,就要討論a0和a0兩種情況4.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).【易錯點(diǎn)睛】1.注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別2.冪函數(shù)的增減與的關(guān)系3.對于函數(shù)yax2bxc,要認(rèn)為它是二次函數(shù),就必須滿足a0,當(dāng)題目條件中未

15、說明a0時,就要討論a0和a0兩種情況例如圖是函數(shù)(m、nN*,m、n互質(zhì))的圖象,則下列判斷正確的是_m、n是奇數(shù),且1m是偶數(shù),n是奇數(shù)且1m是偶數(shù),n是奇數(shù)且1m是奇數(shù),n是偶數(shù)且1解析:將分?jǐn)?shù)指數(shù)式化為根式,由定義域?yàn)镽,值域?yàn)?,)知n為奇數(shù),m為偶數(shù),又由冪函數(shù)yx,當(dāng)1時,圖象在第一象限的部分下凸,當(dāng)01時,圖象在第一象限的部分上凸,故正確答案:【易錯點(diǎn)】冪函數(shù)的單調(diào)性和a有關(guān),注意a與0和1的比較【熱點(diǎn)預(yù)測】1.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與值域相同,則實(shí)數(shù)的取值為( )ABCD【答案】B【解析】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)為函數(shù)的最小值,故有2.函數(shù)的圖象過一個定點(diǎn)P,且點(diǎn)P在直線上,則的最小值

16、是( )A.12B.13C.24D.25【答案】D3.已知函數(shù),且函數(shù)恰有3個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】,其頂點(diǎn)為,點(diǎn)在函數(shù)圖象上,而點(diǎn)不在函數(shù)圖象上.結(jié)合圖形可知,當(dāng),函數(shù)恰有3個不同的零點(diǎn).4.已知函數(shù)的值域是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ) A; B; C; D.【答案】C5.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)時,.若直線與函數(shù)的圖像在內(nèi)恰有兩個不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值是( ) A或; B0;C0或; D0或.【答案】D【解析】根據(jù)已知可得函數(shù),在直角坐標(biāo)系中作出它的圖象,如圖,再作直線,可見當(dāng)直線與拋物線相切時,或者直線過原

17、點(diǎn)時,符合題意,此時或.6.【河南省安陽一中2021屆高三第一次月考】設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD【答案】7.【北京市重點(diǎn)中學(xué)2021屆高三8月開學(xué)測試】函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為( )A.B. C. D.【答案】B.【解析】試題分析:令,則,即,如圖,分別作出與的圖象,則可知有兩個交點(diǎn),即零點(diǎn)個數(shù)為兩個.8.【2021天津高考理第4題】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )(A) (B)(C) (D)【答案】D9.【2021高考浙江,理12】若,則【答案】.【解析】,.10.【2021高考上海,理7】方程的解為【答案】【解析】設(shè),則11.已知函數(shù)是奇函數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕?/p>

18、】本題定義域不確定,不要用奇函數(shù)的必要條件來求參數(shù),而就根據(jù)奇函數(shù)的定義有,即,化簡得恒成立,所以,則.由,解得.12.【2021高考湖南,理15】已知,若存在實(shí)數(shù),使函數(shù)有兩個零點(diǎn),則的取值范圍是.【答案】.13.【2021高考四川,理15】已知函數(shù),(其中).對于不相等的實(shí)數(shù),設(shè),.現(xiàn)有如下命題:(1)對于任意不相等的實(shí)數(shù),都有;(2)對于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù),都有;(3)對于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù),使得;(4)對于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù),使得.其中的真命題有(寫出所有真命題的序號).【答案】【解析】設(shè).對(1),從的圖象可看出,恒成立,故正確.對(2),直線CD的斜率可為負(fù)

19、,即,故不正確.對(3),由m=n得,即.令,則.由得:,作出的圖象知,方程不一定有解,所以不一定有極值點(diǎn),即對于任意的a,不一定存在不相等的實(shí)數(shù),使得,即不一定存在不相等的實(shí)數(shù),使得.故不正確.對(4),由m=n得,即.令,則.由得:,作出的圖象知,方程必一定有解,所以一定有極值點(diǎn),即對于任意的a,一定存在不相等的實(shí)數(shù),使得,即一定存在不相等的實(shí)數(shù),使得.故正確.所以(1)(4)14.【2021高考浙江,理18】已知函數(shù),記是在區(qū)間上的最大值.(1) 證明:當(dāng)時,;(2)當(dāng),滿足,求的最大值.【答案】(1)詳見解析;(2).,由,得,當(dāng),時,且在上的最大值為,即,的最大值為.精品 Word 可修改 歡迎下載

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