《數(shù)學(xué)物理方程》PPT課件.ppt

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1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1Email: 數(shù) 理 方 程 與 特 殊 函 數(shù)任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 作 者 : 李 明 奇 、 田 太 心 購 買 地 點 ： 教 材 科 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3 參 考 文 獻(xiàn)1 梁 昆 淼 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 ， 人 民 教 育 出 版 社

2、，1998 2 沈 施 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 ， 同 濟 大 學(xué) 出 版 社 ，20023 姚 瑞 正 ， 梁 家 寶 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 ， 武 漢 大學(xué) 出 版 社 ， 19924 謝 鴻 證 ， 楊 楓 林 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 ， 科 學(xué) 出版 社 ， 2001 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4 5 南 京 工 學(xué) 院 數(shù) 學(xué) 教 研 組 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊函 數(shù) ， 人 民 教 育 出 版 社 ， 19836 孫 振 綺 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 ， 機 械 工 業(yè)

3、 出 版 社 ，20047 胡 嗣 柱 ， 倪 光 炯 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 ， 復(fù) 旦 大 學(xué)出 版 社 ， 19898 姜 尚 禮 ， 陳 亞 浙 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 講 義 ， 高 等教 育 出 版 社 ， 1996 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5 9 F.W.拜 倫 ， R.w.富 勒 ， 物 理 中 的 數(shù) 學(xué) 方 法 ，科 學(xué) 出 版 社 ， 198210 陳 恕 行 ， 洪 家 興 ， 偏 微 分 方 程 近 代 方 法 ，復(fù) 旦 大 學(xué) 出 版 社 ， 198911 王 元 明 ， 管

4、 平 ， 線 性 偏 微 分 方 程 引 論 ， 東南 大 學(xué) 出 版 社 ， 2002 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6 第 一 章 緒 論一 、 課 程 意 義二 、 物 理 定 律 與 偏 微 分 方 程 概 念三 、 課 程 學(xué) 習(xí) 的 基 本 要 求四 、 常 微 分 方 程 復(fù) 習(xí)五 、 積 分 公 式六 、 常 用 算 子 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7 在 物 理 學(xué) 、 無 線 電 技 術(shù) 、 自 動 化 工 程 、 電

5、 子 工 程 、生 物 工 程 等 眾 多 領(lǐng) 域 中 ,不 可 避 免 的 問 題 是 需 要 研 究某 物 理 量 和 其 它 物 理 量 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 。 要 得 到 反 映 物 理 量 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 ， 將 歸 結(jié) 為 所謂 微 分 方 程 的 布 列 與 求 解 。一 、 課 程 意 義 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 數(shù) 函 數(shù) 課 程 主 要 介 紹 一 些 典型 的 、 具 有 物 理 學(xué) 背 景 的 微 分 方 程 的 布 列 與 求 解 。 所 以 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 與 特 殊 數(shù) 函 數(shù) 就 成 為 多 數(shù) 理工 科 專 業(yè) 學(xué)

6、生 的 一 門 重 要 基 礎(chǔ) 性 課 程 。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8 (一 )、 物 理 定 律1、 牛 頓 第 二 定 律 : F = m a a物 體 加 速 度 ;F合 外 力 ;m物 體 質(zhì) 量 某 物 理 量 在 空 間 和 時 間 中 的 變 化 規(guī) 律 。 它 反 映 的是 同 一 類 物 理 現(xiàn) 象 的 共 同 規(guī) 律 。 物 理 定 律 是 布 列 反 映 實 際 問 題 微 分 方 程 的 基 礎(chǔ) ，學(xué) 習(xí) 數(shù) 理 方 程 課 程 必 須 掌 握 一 些 典 型 的 物 理 定 律 。

7、二 、 物 理 定 律 與 偏 微 分 方 程 概 念2、 虎 克 定 律 ：(1) 彈 簧 ： f = - k x(2) 彈 性 體 ： p = Yu x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9 3、 傅 立 葉 實 驗 定 律 (熱 傳 導(dǎo) )：( , )ndQ ku M t dSdt其 中 ,熱 流 密 度 ：( , ) nq ku M t4、 牛 頓 冷 卻 定 律 ：熱 流 密 度 ： 0sq k u u 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n

8、10 5、 熱 量 守 恒 定 律Q Q吸 放6、 Coulomb定 律 ： 4 qu r7、 靜 電 場 中 的 高 斯 定 律 ： 1S VE dS dV 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11 8、 焦 耳 楞 次 定 律 ：2Q I Rt9、 克 希 荷 夫 定 律 ： 1 0n kk I (1)、 節(jié) 點 電 流 定 律 ：(2)、 回 路 電 壓 定 律 ： 1 1n nk k kk kI R 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12 如

9、 果 微 分 方 程 中 涉 及 單 因 素 (一 個 自 變 量 ） , 這種 方 程 稱 為 常 微 分 方 程 ； 如 果 微 分 方 程 涉 及 多 因 素(多 個 自 變 量 ),這 時 方 程 中 出 現(xiàn) 的 導(dǎo) 數(shù) 是 偏 導(dǎo) 數(shù) ,相應(yīng) 的 方 程 稱 為 偏 微 分 方 程 。 0sin 22 adtd 單 擺 : = (t)22222 xuatu 弦 振 動 :u=u(x,t ) (二 )、 常 微 分 方 程 與 偏 微 分 方 程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13 (1)、 波 動 方 程

10、定 解 問 題 ：(3)、 穩(wěn) 態(tài) 場 方 程 定 解 問 題 本 課 程 重 點 討 論 如 下 三 類 典 型 偏 微 分 方 程 ：(2)、 熱 傳 導(dǎo) 方 程 定 解 問 題2ttu a u f 2tu a u f ( )u f M 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14 (1)、 貝 塞 爾 方 程 ：(2)、 勒 讓 德 方 程 ： 本 課 程 重 點 討 論 如 下 兩 類 典 型 常 微 分 方 程 ：22 2 22 ( ) 0d y dyx x x n ydx dx 22 21 2 ( 1) 0d y

11、dyx x n n ydx dx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15 三 、 課 程 學(xué) 習(xí) 的 基 本 要 求(1)、 理 解 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 中 出 現(xiàn) 的 基 本 概 念 ；(2)、 能 正 確 寫 出 典 型 物 理 問 題 的 方 程 與 定 解條 件 ；(3)、 了 解 定 解 問 題 解 的 物 理 意 義 ；(4)、 熟 練 掌 握 三 類 典 型 偏 微 分 方 程 定 解 問 題的 如 下 典 型 解 法 ：分 離 變 量 法 ； 行 波 法 ； 積 分 變 換 法 ； 格 林 函數(shù) 法

12、?？?試 重 點 ： 定 解 問 題 求 解 (統(tǒng) 考 ,考 教 分 離 )。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16 四 、 常 微 分 方 程 復(fù) 習(xí)1. 可 分 離 變 量 的 一 階 微 分 方 程 。 ( ) ( )f x dx g y dy( )dy yfdx x2. 齊 次 方 程 基 本 形 式 為 ：3. 一 階 線 性 微 分 方 程 基 本 形 式 為 ： ( ) ( )y p x y q x ( ) ( ) 0 .f xy ydx g xy xdy 例 1 求 方 程 通 解,xyu令 ,ydxx

13、dydu 則 ,0)()( xydxduxugydxuf ,0)()()( duugdxxuuguf ,0)()( )( duugufu ugxdx .)()( )(|ln Cduugufu ugx 通 解 為解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18 例 2 求 一 曲 線 ， 使 得 在 其 上 任 一 點 P 處 的 切 線 在 y 軸y xP(x,y)o解 設(shè) 點 P的 坐 標(biāo) 為 （ x, y）所 求 曲 線 為 y=f(x),切 線 上 的動 點 為 (X， Y )， 則 過 點 P的 切 線 方 程 為 ：

14、 ,Y y y X x 令 X=0得 ,y y xy 0切 線 與 軸 的 距 離 為 Y 由 題 意 可 得2 2y xy x y 上 的 截 距 等 于 原 點 到 點 P的 距 離 . 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19 0,x 若 方 程 為 21 .y yy x x , ,yu y xu y u xux 令 則 有 21du dxxu 分 離 變 量 2 2 2 .xu x x u C 解 得 0yu xx 將 代 回 上 式 ,得 當(dāng) 時 的 通 解 為若 x0,方 程 為 2 2 2 21 , .y y

15、y y x y Cxx x 其 通 解 為 -2 2 .y x y C 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20 例 3 求 微 分 方 程 的 通 解 .yxyy yy sin2sincos cos 解 y yxyydydx cos sin2sincos ,tan2sin yxy ,2sintan yxydydx Cdyeyex yy coslncosln 2sin Cdyy yyy coscossin2cos .cos2cos yCy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.

16、5 0 0.5 1 n 21 4. 貝 努 里 方 程 ： ( ) ( ) ny p x y q x y 5. 可 降 階 的 二 階 微 分 方 程 ：( , )y f x y ( , )y f y y 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 22 .4 2 的 通 解求 方 程 yxyxdxdy ,41 2xyxdxdyy ,yz令 ,42 2xzxdxdz ,22 Cxxz解 得 .2 24 Cxxy即解 y兩 端 除 以 ， 得例 4 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.

17、5 0 0.5 1 n 23 例 5 求 微 分 方 程 2 1x y xy 滿 足 初 始 條 件 1 0, 1 1y y 的 特 解 ., ,y y p 解 此 方 程 不 顯 含 作 代 換 2 1x p xp 其 通 解 為 1 1 121dx dxx xp e e dx Cx 1 1,y 由 代 入 上 式1 1lndy xdx x x 21 0 0y C 1 1.C 得 方 程 特 解 21ln ln .2y x x 2 21ln ln2y x x C 1 1ln .C xx x 積 分 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0

18、.5 1 n 24 .02 的 通 解求 方 程 yyy解 ,dpy pdy則),(ypy 設(shè)代 入 原 方 程 得 2 0,dpy p pdy 例 6 0, 0y p p 當(dāng) 時 ,約 去 并 分 離 變 量 得dp dyp y= , 1 1, dyp C y C ydx兩 邊 積 分 并 化 簡 得 即 = , 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25 分 離 變 量 得 1dy C dxy 0, 0 ， 0dyy p y Cdx 當(dāng) 時 即 也 是 原 方12 1. 0 ，C xy C e C 程 的 解 但 在 通

19、 解 中 ,顯 然 時2 2, 0 ， 0.y C C y 給 出 了 又 再 當(dāng) 時 包 含 了 12， 0 .C xy y C y C e 因 此 和 都 包 含 在 了 通 解 中12 .C xy C e 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26 ( ) ( 1) ( 2)1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n ny a x y a x y a x y a x y f x ( ) ( 1) ( 2)1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n ny a x y a x y a x

20、 y a x y ( ) ( 1) ( 2)1 2 1 0n n n n ny a y a y a y a y 線 性 微 分 方 程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 27 7.二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 微 分 方 程 的 特 解 ( )y py qy f x f (x)的 兩 種 類 型 ：)()( xPexf mx( ) ( )cos ( )sin x l nf x e P x x P x x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n

21、28 * ( ) ,k x my x e Q x設(shè) 是 重 根是 單 根不 是 根2 ,10k上 述 結(jié) 論 可 推 廣 到 n階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性注 意 微 分 方 程 （ k是 重 根 次 數(shù) ） .1 ( )x my py qy e P x 、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 29 2 ( ) ( )cos ( )sin x l nf x e P x x P x x 、 型利 用 歐 拉 公 式 ：的 特 解 形 式 為 (1) (2)* ( )cos ( )sin k x m my x e R x

22、 x R x x 次 多 項 式 ，是其 中 mxRxR mm )(),( )2()1( nlm ,max01 ik i 不 是 根 ,是 根 . 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30 例 7 求 微 分 方 程 24 3 cos3xy y y xe x 的 通 解 .4 3 0y y y 解 對 應(yīng) 齊 次 方 程 1 2r r =1, =3.2, 3, 2 3i i 不 是 特 征 方 程 的 根 . * 2 cos3 sin3xy e ax b x cx d x * * * 2, , xy y y e 將 代 入

23、 原 方 程 并 消 去 可 得 :31 2 .x xY C e C e 齊 次 方 程 的 通 解 為2 4 3 0,r r 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31 10 10 cos3 10 6 10 sin3 cos3 .ax b bc x cx a d x x x * 2 3cos3 sin3 .10 50 x xy e x x 110 1, 1010 0, 0,10 0, 0,6 10 0. 3 .50aab bc bc ca d d 解 得比 較 系 數(shù) 可 得 * 3 21 2 3cos3 sin3 .10

24、 50 x x x xy Y y Ce Ce e x x 通 解 : 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 32 例 8 求 微 分 方 程 3 1 cos2y y x x 的 一 個 特 解 .解 此 方 程 屬 ( ) ( )cos ( )sin x l nf x e P x x P x x 型 . ( 0 3 1 , ( ) 0).l nP x x P x = , =2, 2 1,21 0, .r r i 特 征 方 程 的 根其 特 征 方 程 為2i i 不 是 特 征 根 , * cos2 sin2 .y ax

25、b x cx d x *y將 代 入 原 方 程 并 比 較 系 數(shù) 可 得 其 特 解 :* 1 4cos2 sin2 .3 3y x x x 0.k 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 33 8.歐 拉 （ Euler） 方 程 ( ) 1 ( 1)1 1 ( )n n n n n nx y p x y p xy p y f x 作 變 量 替 換 ln .tx e t x 或 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 34 23 59 3 .y y y

26、x x 例 求 的 通 解2 23 5 3 ,x y y y x 解 21 3 5 3 ,tD D y Dy y e 2 24 5 3 tD y Dy y e 2 22 4 5 3 ,td y dy y edtdt 22 4 5 0d y dy ydtdt 求 解 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的的 通 解 . , ln ,tx e t x 令 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 35 9.貝 塞 爾 （ Bessel） 方 程 2 2 2( ) 0 x y xy x y 10.勒 讓 德 方 程 2(1 ) 2 ( 1)

27、0, 1,1x y xy n n y x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 36 格 林 （ Green） 公 式 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yL Dp x y dx q x y dy q x y p x y dxdy 斯 托 克 斯 （ Strokes） 公 式 ( , , ) ( , , ) ( , , ) L S dydz dzdx dxdyp x y z dx q x y z dy r x y z dz x y zp q r 五 、 積 分 公 式 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0

28、x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 37 高 斯 （ Gauss） 公 式 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( )x y zS Vp x y z dydz q x y z dzdx r x y z dxdy p q r dxdydz 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 38 ( ) ( )Df x f x , , x y z 2 2 22 2 2x y z 六 、 常 用 算 子 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 39 grad u u div A A rot A A 2 u u grad u u ( ) uv u v u v 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 40 Thank You !