2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高一年級下冊學(xué)期第16周周練數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、一、 單選題: 1．設(shè)，則（????） A．，B．，C．，D．， 2．某社區(qū)衛(wèi)生室為了了解該社區(qū)居民的身體健康狀況，對該社區(qū)1100名男性居民和900名女性居民按性別采用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取了一個容量為100的樣本，則應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為（????） A．45 B．50 C．55 D．60 3．工人師傅在檢測椅子的四個“腳”是否在同一個平面上時，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（????） A．兩條相交直線確定一個平面B．兩條平行直線確定一個平面 C．四點(diǎn)確定一個平面D．直線及直線外一點(diǎn)確定一個平

2、面 4．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則（????） A． B． C． D． 5．已知平面，且，，則直線a，b的關(guān)系為（????） A．一定平行 B．一定異面 C．不可能相交 D．相交、平行或異面都有可能 6．已知向量，點(diǎn)，，記為在向量上的投影向量，若，則（????） A． B． C． D． 7．由下列條件解，其中有兩解的是（????） A． B． C． D． 8．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（????） A． B． C． D． 二、多選題： 9．一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，12的平均數(shù)為

3、8，則此組數(shù)據(jù)的（????） A．眾數(shù)為7B．極差為6C．中位數(shù)為8D．方差為 10．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，有下列判斷，其中正確的是（????） A．平面平面 B．平面 C．異面直線與所成角的取值范圍是 D．三棱錐的體積不變 11．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（????） A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同 12．如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則（????） A． B． C． D． 三

4、、填空題： 13．已知向量的夾角為45°，，且，若，則________． 14．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為___________. 15．將函數(shù)的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個單位，則所得的圖像的函數(shù)表達(dá)式為___________. 16．下列命題中正確的命題為__________. ①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點(diǎn)共線； ②若三條直線互相平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面； ③若直線異面，異面，則異面； ④若，則. 四、 解答題： 17．某地統(tǒng)計局就該地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端

5、點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在. (1)求居民月收入在的頻率； (2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)； (3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？ . 18．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且. (1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)設(shè)向量，若向量與平行，求實(shí)數(shù)k的值. 19．如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn). (1)求證：平面平面； (2)點(diǎn)在棱上，滿足且三棱錐的體積為

6、，求的值. 20．如圖，在四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，平面. (1)證明：平面 (2)求證：平面平面 (3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值. 參考答案： 1．A 【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的相等可直接求得結(jié)果. 【詳解】由得：，，. 故選：A. 2．C 【分析】根據(jù)分層抽樣的規(guī)則運(yùn)算即可. 【詳解】應(yīng)從男性居民中抽取的人數(shù)為； 故選：C. 3．A 【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解. 【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格， 所以工人師傅運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是“兩條相交直線確定一個平面”

7、. 故選：A 4．D 【分析】根據(jù)條件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解. 【詳解】由正弦定理： 得 又因?yàn)?，所? 令 所以 故選：D. 5．C 【分析】根據(jù)空間線面間的位置關(guān)系判斷． 【詳解】由平面，且，可知直線a，b沒有公共點(diǎn)，故它們一定不相交，即可能是平行或異面． 故選：C． 6．B 【分析】根據(jù)投影向量的定義求解． 【詳解】由已知，，， 在向量上的投影向量為， 所以， 故選：B． 7．C 【分析】只有是已知兩邊及一邊的對角，且已知角為銳角才可能出現(xiàn)兩解，此時先求另一邊所對的角，再結(jié)合邊角關(guān)系來判斷解的個數(shù) 【詳解】對于A，,由正弦定理可

8、得, 由和可知和只有唯一解, 所以只有唯一解，所以A錯誤； 對于B，由余弦定理可知只有唯一解， 由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減， 所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解， 所以只有唯一解，所以B錯誤； 對于C，由正弦定理可得,所以,由可知， 因此滿足的有兩個， 所以有兩解，所以C正確； 對于D.由余弦定理可知只有唯一解， 由余弦定理可得,又且在上單調(diào)遞減, 所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解， 所以只有唯一解,所以D錯誤 故選：C 8．C 【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式

9、，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時其高的值. 【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式 設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r， 設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為， 則 （當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時等號成立） 即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為 又設(shè)四棱錐的高為，則， 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立. 故選：C [方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式 由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高， (當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號

10、成立) 所以該四棱錐的體積最大時，其高. 故選：C． [方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值 由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則， ，，單調(diào)遞增， ，，單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時，最大，此時． 故選：C. 【點(diǎn)評】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解； 方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法． 9．ABD 【分析】由平均數(shù)定義求得參數(shù)，然后再由眾數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義求

11、解． 【詳解】由題意，， 因此眾數(shù)是7，極差是， 5 個數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)是7， 方差為， 故選：ABD． 10．ABD 【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷； 對于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷； 對于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可； 對于D，先利用線線平行得到點(diǎn)到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷. 【詳解】對于A，連接，如圖， 因?yàn)樵谡襟w中，平面， 又平面，所以， 因?yàn)樵谡叫沃校峙c為平面內(nèi)的兩條相交直

12、線，所以平面， 因?yàn)槠矫?，所以，同理可得? 因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面， 又平面，從而平面平面，故A正確； .?? 對于B，連接，，如圖， 因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形? 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又、為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面， 因?yàn)槠矫妫云矫?，故B正確； 對于C，因?yàn)?，所以與所成角即為與所成的角， 因?yàn)椋詾榈冗吶切危? 當(dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時，與所成角取得最小值； 當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時，與所成角取得最大值； 所以與所成角的范圍是，故C錯誤； 對于D，由選項(xiàng)B得平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等， 即點(diǎn)到面平面

13、的距離不變，不妨設(shè)為，則， 所以三棱錐的體積不變，故D正確． 故選：ABD. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化嚴(yán)密推理. 11．CD 【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤. 【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤； B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤； C：，故方差相同，正確； D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；

14、 故選：CD 12．CD 【分析】找到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式分別求出，，，進(jìn)而判斷出結(jié)果. 【詳解】 如圖連接交于O，連接.設(shè)，則. 由平面，，所以平面， 所以， . 由平面，平面，所以. 又，且，平面， 所以平面，所以. 易知， ， 所以，所以,而， 平面，所以平面. 又， ， 所以有， 所以選項(xiàng)AB不正確，CD正確. 故選：CD. 13． 【分析】根據(jù)已知條件求得，再由向量垂直數(shù)量積為0，即可求出得答案． 【詳解】向量，的夾角為，，且， ，可得， ， 可得：， . 故答案為：. 14．-2 【分析】將化成的形式即可. 【詳

15、解】解：由題得. 所以z的虛部為. 故答案為：-2. 15． 【分析】直接利用三角函數(shù)圖象的變換知識求解. 【詳解】解：將函數(shù)的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個單位，則所得的圖像的函數(shù)表達(dá)式為. 故答案為： 16．①② 【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線和共面的性質(zhì)、異面直線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)逐一判斷即可. 【詳解】對于①，設(shè)平面平面，因?yàn)?，所以平面? 所以，同理，，故三點(diǎn)共線，①正確； 對于②，因?yàn)?，所以可以確定一個平面， 因?yàn)樗裕?，又? 所以，因?yàn)椋曰?，又? 所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確； 對于③，直線異面，異面，但是平行，所以③錯誤，如下右圖； 對于

16、④，，但，所以④錯誤，如下左圖. 故正確的命題為①②. 故答案為：①② 17．(1)0.15 (2)2400元 (3)25人 【分析】（1）根據(jù)圖中所對應(yīng)的頻率/組距的值，乘上組距，即可得到月收入在的頻率. （2）通過比較幾個區(qū)間的頻率之和與0.5的關(guān)系，判斷出中位數(shù)所在區(qū)間，進(jìn)而求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù). （3）根據(jù)表格先居民月收入在的頻率，接著計算10000人中月收入在的人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣抽出100人，計算得出月收入在的這段應(yīng)抽取的人數(shù). 【詳解】（1）月收入在的頻率為： ∴居民月收入在的頻率為0.15. （2）， ， ， ， ∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

17、 ∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400元. （3）居民月收入在的頻率為： ， ∴10000人中月收入在的人數(shù)為： ， 再從10000人中分層抽樣方法抽出100人， 則月收入在的這段應(yīng)抽取： ， ∴月收入在的這段應(yīng)抽25人. 18．(1)； (2). 【分析】（1）求出向量坐標(biāo)，再利用相等向量列出方程組，求解作答. （2）求出的坐標(biāo)，再利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及共線向量的坐標(biāo)表示求解作答. 【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋谑?，整理得? 即有，解得， 所以. （2）因?yàn)椋? 所以，， 因?yàn)橄蛄颗c平行，因此，解得， 所以實(shí)數(shù)k的值為. 19．(1)證明見解析. (2

18、). 【分析】（1）連接，證明，繼而證明平面，推得，從而證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論； （2）由題意可推得，從而設(shè)點(diǎn)到平面的距離分別為，利用三棱錐等體積法分別求得，根據(jù)，即可求得答案. 【詳解】（1）由題意底面， ,， 則底面為直角梯形， 連接 ，則,故四邊形為矩形， 則 ， 所以四邊形為正方形，所以 ， 因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，O是 的中點(diǎn)， 所以 ，平面， 因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫? 所以平面，因?yàn)槠矫妫? 所以，因?yàn)槠矫?， 所以平面， 因?yàn)槠矫?，所以平面平面. （2）因?yàn)榈酌嬷校?,， 側(cè)面 為等邊三角形，O是的中點(diǎn)， 所以,,, ，

19、 因?yàn)槠矫?，平面? 所以 ， 所以 ， 因?yàn)?， 所以,所以 , 設(shè)點(diǎn)到平面的距離分別為， 因?yàn)?，所以 , 即，故， 因?yàn)槿忮F的體積為， 所以 所以 ，解得， 所以，即 因?yàn)?，所?. 20．(1)證明見解析 (2)證明見解析 (3) 【分析】（1）因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，則，利用線面平行的判定定理即可得證； （2）由已知可得，，由線面垂直的判定定理可得面，進(jìn)而即可證得結(jié)論； （3）由平面可得，作于，可知面，所以為直線與平面所成角，在直角中求解即可． 【詳解】（1）∵且，∴四邊形為平行四邊形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2）∵平面，平面，∴， 連接，∵且，∴四邊形為平行四邊形， ∵，，∴平行四邊形為正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因?yàn)槠矫?，? ∴為二面角的平面角，從而，所以， 作于，連接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以為直線與平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因?yàn)槊?，面，所以? 在直角中，，， ∴， 則直線與平面所成角的正切值為.