高中數(shù)學(xué) 第2講 直線與圓的位置關(guān)系 第4節(jié) 弦切角的性質(zhì)課件 新人教A版選修4-1

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1、第四節(jié)弦切角的性質(zhì) 1掌握并會(huì)運(yùn)用弦切角定理2理解數(shù)學(xué)的化歸思想(重點(diǎn))課 標(biāo) 定 位 1弦切角的性質(zhì)定理的應(yīng)用(重點(diǎn))2與相似三角形、四邊形中的邊角聯(lián)系密切(難點(diǎn)) No.1 預(yù)習(xí)學(xué)案 1弦切角的定義_的角叫做弦切角,如圖所示,在圖中_就是一個(gè)弦切角頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交、另一邊和圓相切 CAB 2對(duì)弦切角的理解弦切角需具備的三個(gè)條件_在圓上(頂點(diǎn)為切線的切點(diǎn));一邊和圓_(一邊所在的直線為圓的切線);一邊和圓_(一邊為圓的過(guò)切點(diǎn)的弦)對(duì)于上述三個(gè)條件缺一不可,一個(gè)圓的弦切角不止一個(gè),可有無(wú)數(shù)多個(gè),只要滿足上述三個(gè)條件就是弦切角頂點(diǎn)相切相交 3弦切角定理(1)文字語(yǔ)言敘述弦切角等于它_所對(duì)

2、的圓周角(2)圖形語(yǔ)言敘述如圖,AB與 O切于A點(diǎn),則 BAC_所夾的弧 D 4與弦切角定理有關(guān)的結(jié)論(1)弦切角的度數(shù)等于它_(2)弦切角的度數(shù)等于它_ _(3)如果兩個(gè)弦切角所夾的_,那么這兩個(gè)_所夾的弧的度數(shù)的一半所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半弧相等弦切角也相等 CEM ADM 1如圖,經(jīng)過(guò) O上的點(diǎn)A的切線和弦BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,若 CAP40, ACP100,則 BAC所對(duì)的弧的度數(shù)為()A40B100C120 D30 解析:AP是O的切線,ABCCAP40,又ACP100,BACACPABC60,即BAC所對(duì)的弧為120.答案:C 2已知在 O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB是 O

3、的直徑, BCD120,過(guò)D點(diǎn)的切線PD與BA的延長(zhǎng)線交于P點(diǎn),則 APD的度數(shù)是()A15 B30C45 D60解析:連結(jié)BD,則ADB90,又BADC180,BAD60,ABD30,PDAABD30,APDBADPDA30.答案:B 答案:451354590 解析:(1)證明:如圖,連接BC直線CD與O相切于點(diǎn)C,DCABAC平分DAB,DACCABADCACBAB為O的直徑,ACB90.ADC90,即ADCD No.2 課堂學(xué)案 如圖甲,在ABC中, B90,O是AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E,與AC切于點(diǎn)D,直線ED交BC的延長(zhǎng)線于F.若AD AE2 1,求tan

4、 F.利 用 弦 切 角 解 決 與 角 有 關(guān) 的 問(wèn) 題 思路點(diǎn)撥 規(guī)律方法(1)利用弦切角解決與角有關(guān)的問(wèn)題的步驟根據(jù)圖形及弦切角的定義找出與題目有關(guān)的弦切角;利用弦切角定理找出與其相等的角;綜合運(yùn)用相關(guān)的知識(shí),進(jìn)行角的求解(2)注意事項(xiàng)要注意觀察圖形,不要憑想當(dāng)然圖形是最好的指導(dǎo),要學(xué)會(huì)讓圖形“說(shuō)話”,尋找解題的突破口,要特別重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要注意圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、相似三角形、射影定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用 如圖甲,AB是 O的直徑,AC切 O于A,CB交 O于D,DE切 O于D,BE DE于E,BD10,DE、BE是方程x22(m2)x2m2m30的兩個(gè)根(DEBE

5、)求AC的長(zhǎng) 利 用 弦 切 角 解 決 與 長(zhǎng) 度 有 關(guān) 的 問(wèn) 題 思路點(diǎn)撥利用韋達(dá)定理和勾股定理,求出DE、BE的長(zhǎng),然后兩次借助弦切角定理,判斷出三角形相似,利用對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度比值分別求出AD、AC的長(zhǎng)度解題過(guò)程如圖乙所示,連接ADDE、BE是方程x22(m2)x2m2m30的兩個(gè)根,DEBE2(m2),DEBE2m2m3.又DE2BE2102,2(m2)22(2m2m3)100,解得m5, 規(guī)律方法(1)弦切角是與圓相交的角其主要功能是協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角,如圓心角、圓周角等,是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關(guān)的各種直線位置關(guān)系的橋梁(2)弦切角定理經(jīng)常作為工具,進(jìn)行三角形相似

6、的證明,然后利用三角形相似進(jìn)一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系,在圓中證明比例式或等積式,常常需要借助于三角形相似處理(3)弦切角定理有時(shí)還與圓周角定理等知識(shí)綜合運(yùn)用,它們不但在證明方法上相似,在解題功能上也有相似之處,通常都作為輔助工具出現(xiàn) 2.如圖,ABD的邊AB為直徑,作 O交AD于C,過(guò)點(diǎn)C的切線CE和BD互相垂直,垂足為E.證明:ABBD 運(yùn) 用 弦 切 角 定 理 證 明 比 例 式 或 乘 積 式 規(guī)律方法證明乘積式成立,往往與相似三角形有關(guān),若存在切線,常要尋找弦切角,確定三角形相似的條件,有時(shí)需要添加輔助線創(chuàng)造條件 3.如圖,AD是ABC的角平分線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的 O和BC切于D,且A

7、B、AC與 O相交于點(diǎn)E、F,連接DF.(1)求證:EF BC;(2)求證:DF2AFBE.證明:(1)O切BC于D,CADCDF.AD是ABC的角平分線,BADCAD,又BADEFD,EFDCDF,EF BC 如下圖所示,CF是 O的直徑,CB是 O的弦,CB的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)F的 O的切線交于點(diǎn)P. 弦 切 角 的 綜 合 應(yīng) 用 解題過(guò)程(1)PF是切線,PCF是直角三角形,P45,PFCF,2rPF10,r5,O的半徑為5. 規(guī)律方法利用弦切角定理進(jìn)行計(jì)算、證明,要特別注意弦切角所夾弧所對(duì)的圓周角,有時(shí)與圓的直徑所對(duì)的圓周角結(jié)合運(yùn)用,同時(shí)要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角

8、4.如圖,已知ABC內(nèi)接于 O,AE切 O于點(diǎn)A,BC AE,(1)求證:ABC是等腰三角形;(2)設(shè)AB10 cm,BC8 cm,點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn),若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,問(wèn)這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?并求AP的長(zhǎng) 1圓心角、圓周角、弦切角三者之間的區(qū)別 2.如何從運(yùn)動(dòng)變化思想理解弦切角?弦切角可以理解為是移動(dòng)圓周角的一條邊而產(chǎn)生的,過(guò)程為:保持一邊不動(dòng),移動(dòng)圓周角的另一邊,當(dāng)運(yùn)動(dòng)移至與圓相切位置時(shí),停止移動(dòng),此時(shí)便形成了弦切角3弦切角定理的證明體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想?分類(lèi)討論、完全歸納法、從特殊到一般4運(yùn)用弦切角定理解題時(shí),一般怎樣添加輔助線?添加輔助線構(gòu)成弦切角所夾的弧對(duì)應(yīng)合適的圓周角,為解題提供條件.

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