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1、數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 第 四 章 解 析 函 數(shù) 的 冪 級(jí) 數(shù) 表 示第 二 節(jié) 冪 級(jí) 數(shù) 與 解 析 函 數(shù)第 三 節(jié) 羅 朗 級(jí) 數(shù)第 四 節(jié) 單 值 函 數(shù) 的 孤 立 奇 點(diǎn) 第 四 章 解 析 函 數(shù) 的 冪 級(jí) 數(shù) 表 示第 二 節(jié) 冪 級(jí) 數(shù) 與 解 析 函 數(shù) 二 、 解 析 函 數(shù) 的 冪 級(jí) 數(shù) 表 示泰勒定理：設(shè) 在區(qū)域D內(nèi)解析， ，只要圓 含于D內(nèi)，則 在K內(nèi) 能展成冪級(jí)數(shù) 其中系數(shù) 并且展式是唯一的。 討論：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法來求一個(gè)解析函數(shù)的泰勒展式，不一定要用系數(shù)公式來求系數(shù)，即可用簡接法展開。 (2)由于冪級(jí)數(shù)的和是解析函數(shù)，而解析函
2、數(shù)又可以展為唯一的泰勒級(jí)數(shù)，所以解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系。這樣，解析函數(shù)的充分必要條件可表為： 在D D 內(nèi)解析 在D內(nèi)任一點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)(泰勒級(jí)數(shù))。 （3） 幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 第三節(jié) 羅朗級(jí)數(shù)一、雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂圓環(huán) 對于第一個(gè)級(jí)數(shù)，它是冪級(jí)數(shù)，故它在收斂圓 ( )內(nèi)表示一個(gè)解析函 數(shù)，對第二個(gè)級(jí)數(shù)，作代換 得 設(shè)它的收斂區(qū)域?yàn)?( )， 即上級(jí)數(shù)在 內(nèi)表示一個(gè)解析函數(shù)。 即： 這樣: 故知級(jí)數(shù)(2)在 ( )內(nèi) 表示一個(gè)解析函數(shù). 這樣級(jí)數(shù)(1), (2)有公共的 收斂區(qū)域：園環(huán) 這時(shí)，我們稱級(jí)數(shù)(1)與級(jí)數(shù)(2)之和為一雙邊冪級(jí)數(shù). 表示為： 其收斂區(qū)域?yàn)閳A環(huán)
3、： 定理：雙邊冪級(jí)數(shù) 在收斂圓環(huán) 上絕對收斂并且內(nèi)閉一致收斂， 它的和函數(shù)在其上是解析函數(shù). 二 、 解 析 函 數(shù) 的 羅 朗 展 式 定理(羅朗定理)：在圓環(huán)H : 內(nèi)的解析函數(shù) 必可展成級(jí)數(shù): 系數(shù) 稱為羅朗系數(shù)，展式稱為羅朗級(jí)數(shù). 為圓周 ，并且展式是唯一的. 討論：1)由于在圓所圍區(qū)域可能有奇點(diǎn)，因此， 不能用哥西公式把系數(shù)記為： 2)由于展式的唯一性，可用任何方法來求一個(gè)在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)的羅朗展式，而不一定用系數(shù)公式來求. 3)如 在D 上有奇點(diǎn)，可作一個(gè)圓包 圍所有的奇點(diǎn)，那么在該圓的外部區(qū)域， 為解折函數(shù)，可展為羅朗級(jí)數(shù).4)同一函數(shù)在不同的圓環(huán)內(nèi)，其羅朗展式也不同. 三、羅
4、朗展式舉例 1、孤立奇點(diǎn)：若函數(shù) 在 不解析(不解析包括不可微或無定義)，而在 的某無心鄰域(即除去圓心的某個(gè)圓)內(nèi)解析，則稱 是 的一個(gè)(單值性)孤立奇點(diǎn)。如果在 的無論多么小的鄰域內(nèi)，總有除以 外的奇點(diǎn)，則 是 的 非孤立奇點(diǎn)。例如：函數(shù) 它有孤立奇點(diǎn) 又如，函數(shù) ，z = 0是它的 非孤立奇點(diǎn). 因?yàn)?的奇點(diǎn)是 ， 即： , 顯然可以任意 接近 z = 0點(diǎn). 這就是說 z = 0 的無論多么小的鄰域內(nèi)，函數(shù)總有異于z = 0 的奇點(diǎn). 如果 a 為 的單值性孤立奇點(diǎn)，則必存在R，使 在 內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù). 例1：函數(shù) 有孤立奇點(diǎn) 在 內(nèi)有： 在 內(nèi) 例2： 有孤立奇點(diǎn) z = 0，并且
5、在 內(nèi)有 羅朗展式.例3、將 在 及 ， 內(nèi)分別展開成羅朗級(jí)數(shù). 解：(i). (ii). (iii). 1 第 四 節(jié) 單 值 函 數(shù) 的 孤 立 奇 點(diǎn) 一、孤立奇點(diǎn)的三種類型 如果 a 為 的孤立奇點(diǎn)，則在a的某無心鄰域內(nèi)可以展成羅朗級(jí)數(shù) 稱 為 在a點(diǎn)的正則部分,而稱 為 在a點(diǎn)的主要部分. 孤立奇點(diǎn)分為三種： (i). 可去奇點(diǎn)：如果 在a 點(diǎn)沒有主要部分， 則稱a 為 的可去奇點(diǎn). (ii). m階極點(diǎn)：如果 在a點(diǎn)的主要部分有有限多項(xiàng)，設(shè)為: 則稱a為 的m階級(jí)點(diǎn). (iii).本性奇點(diǎn)：如果 在a點(diǎn)的主要部分有無限多項(xiàng)，則稱a為 的本性奇點(diǎn). 二、可去奇點(diǎn) 是 可去奇點(diǎn)的充要條件為下列條件之一： (i). 在a 點(diǎn)沒有主要部分 (ii). 存在并且有限 (iii). 在a的充分小鄰域內(nèi)有界 三、極點(diǎn) 為 的m 階極點(diǎn)的充要條件是下列條件之一： (i). 在a點(diǎn)的主要部分為 (ii). 在a 的某無心鄰域內(nèi)能表示成 其中 在a的鄰域內(nèi)解析， 且 . (iii).若a為 的m階零點(diǎn)，則a為 的m階極點(diǎn). 推論： 的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)的充分必要條 件是 四、本性奇點(diǎn) 充要條件： 不存在 a為 的本性奇點(diǎn)。 不存在的意思是：當(dāng) 時(shí)， 既不趨于 ，也不趨于一定的值. 例如:
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