流體力學(xué)第6章氣體的一維定常流動(dòng)

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1、第 六 章 氣 體 的 一 維 定 常流 動(dòng) 第 五 章 討 論 的 是 不 可 壓 縮 流 體 的 流 動(dòng) ， 例 如 對 于 液 體 ， 即使 在 較 高 的 壓 強(qiáng) 下 密 度 的 變 化 也 很 微 小 ， 所 以 在 一 般 情 況 下 ，可 以 把 液 體 看 成 是 不 可 壓 縮 流 體 。 對 于 氣 體 來 說 ， 可 壓 縮 的 程度 比 液 體 要 大 得 多 。 但 是 當(dāng) 氣 體 流 動(dòng) 的 速 度 遠(yuǎn) 小 于 在 該 氣 體 中聲 音 傳 播 的 速 度 （ 即 聲 速 ） 時(shí) ， 密 度 的 變 化 也 很 小 。 例 如 空 氣的 速 度 等 于 50m/s，

2、 這 數(shù) 值 比 常 溫 20 下 空 氣 中 的 聲 速 343m/s要 小 得 多 ， 這 時(shí) 空 氣 密 度 的 相 對 變 化 僅 百 分 之 一 。 所 以 為 簡 化問 題 起 見 ， 通 常 也 可 忽 略 密 度 的 變 化 ， 將 密 度 近 似 地 看 作 是 常數(shù) ， 即 在 理 論 上 把 氣 體 按 不 可 壓 縮 流 體 處 理 。 當(dāng) 氣 體 流 動(dòng) 的 速度 或 物 體 在 氣 體 中 運(yùn) 動(dòng) 的 速 度 接 近 甚 至 超 過 聲 速 時(shí) ， 如 果 氣 體受 到 擾 動(dòng) ， 必 然 會(huì) 引 起 很 大 的 壓 強(qiáng) 變 化 ， 以 致 密 度 和 溫 度 也

3、會(huì)發(fā) 生 顯 著 的 變 化 ， 氣 體 的 流 動(dòng) 狀 態(tài) 和 流 動(dòng) 圖 形 都 會(huì) 有 根 本 性 的變 化 ， 這 時(shí) 就 必 須 考 慮 壓 縮 性 的 影 響 。 氣 體 動(dòng) 力 學(xué) 就 是 研 究 可壓 縮 流 體 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 以 及 在 工 程 實(shí) 際 中 應(yīng) 用 的 一 門 科 學(xué) 。 本 章 中僅 主 要 討 論 氣 體 動(dòng) 力 學(xué) 中 一 些 最 基 本 的 知 識(shí) 。 工 程 背 景 主 要 內(nèi) 容6.1 微 弱 壓 力 波 的 一 維 傳 播6.2 氣 流 的 特 定 狀 態(tài) 和 參 考 速 度 6.3 正 激 波6.4 等 截 面 摩 擦 管 流 6.1 微 弱

4、 壓 力 波 的 一 維 傳 播顯 然 ， 這 是 不 定 常流 動(dòng) 。 為 了 得 到 定常 流 動(dòng) ， 可 以 設(shè) 想觀 察 者 隨 波 面 mn一起 以 速 度 c向 右 運(yùn)動(dòng) 。氣 體 相 對 于 觀 察 者 定常 地 從 右 向 左 流 動(dòng) ，經(jīng) 過 波 面 速 度 由 c降為 c-dv， 而 壓 強(qiáng) 由 p升高 到 p+dp， 密 度 和 溫度 分 別 由 r、 T增 加 到 r+dr 、 T+dT 。 在 dt時(shí) 間 內(nèi) 流 入 和 流 出 該 控 制 面 的 氣 體 質(zhì) 量 應(yīng) 該 相 等 ， 即化 簡 后 ， 得由 于 壓 縮 波 很 薄 ， 作 用 在 該 波 上 的 摩

5、擦 力 可 以 忽 略 不 計(jì) 。 于 是對 于 控 制 面 ， 根 據(jù) 動(dòng) 量 定 理 ， 沿 氣 體 流 動(dòng) 的 方 向 ， 質(zhì) 量 為 crA 的 氣 體 的 動(dòng) 量 變 化 率 等 于 作 用 在 該 氣 體 上 的 壓 力 之 和 ， 即或 trrtr d)d)(d(d AvcAc rr rddd cv ApppcvcAc )d(d )()d(d ttr pcv d1d r 上 式 與 物 理 學(xué) 中 計(jì) 算 聲 音 在 彈 性 介 質(zhì) 中 傳 播 速 度 （ 即 聲 速 ）的 拉 普 拉 斯 公 式 完 全 相 同 。 可 見 氣 體 中 微 弱 擾 動(dòng) 波 的 傳 播速 度 就

6、是 聲 速 。推 導(dǎo) 過 程 中 ， 并 未 對 介 質(zhì) 提 出 特 殊 要 求 ， 故 該 式 既 適 用 于 氣 體 ，也 適 用 于 液 體 ， 乃 至 適 用 于 一 切 彈 性 連 續(xù) 介 質(zhì) 。 不 同 介 質(zhì) 的 壓縮 性 不 同 ， 壓 縮 性 小 的 擾 動(dòng) 波 傳 播 速 度 高 ， 壓 縮 性 大 的 擾 動(dòng) 波傳 播 速 度 低 ， 因 此 聲 速 值 反 映 了 流 體 可 壓 縮 性 的 大 小 。rrr ddd12 pc 由 于 是 微 弱 擾 動(dòng) ，dr 遠(yuǎn) 小 于 r ， 即 1rrdrdd pc 聲 速 的 通 用 表 達(dá) 式 ， 要 計(jì) 算 某 種 流 體

7、 中 具 有 的 聲 速 值 ， 尚 需確 定 和 的 關(guān) 系 ， 以 求 出 的 值 。pd rd )/( rddp所 以 由 于 微 弱 擾 動(dòng) 波 的 傳 播 過 程 進(jìn) 行 得 很 迅 速 ， 與 外 界 來不 及 進(jìn) 行 熱 交 換 ， 而 且 其 中 的 壓 強(qiáng) 、 密 度 和 溫 度 變 化 極 為微 小 ， 所 以 這 個(gè) 傳 播 過 程 可 以 近 似 地 認(rèn) 為 是 一 個(gè) 可 逆 的 絕熱 過 程 ， 即 等 熵 過 程 。 RTpp rr dd RTpc r 為 絕 熱 指 數(shù) 為 氣 體 常 數(shù) ， J/(kgK)為 熱 力 學(xué)絕 對 溫 度 ，K對 于 空 氣 ，

8、, R= 287 J/(kgK)。4.1假 定 氣 體 是 熱 力 學(xué) 中 的 完 全 氣 體 ， 則 根 據(jù) 等 熵 過 程 關(guān) 系 式 可得 氣 體 中 的 聲 速 隨 氣 體 的 狀 態(tài) 參 數(shù) 的 變 化 而 變 化 。 于 是 在 同一 流 場 中 ， 各 點(diǎn) 的 狀 態(tài) 參 數(shù) 若 不 同 ， 則 各 點(diǎn) 的 聲 速 也 不 同 。所 以 聲 速 指 的 是 流 場 中 某 一 點(diǎn) 在 某 一 瞬 時(shí) 的 聲 速 ， 稱 為 當(dāng)?shù)?聲 速 。在 實(shí) 際 計(jì) 算 中 ， 通 常 用 氣 體 速度 v與 當(dāng) 地 聲 速 c的 比 值 來 作 為判 斷 氣 體 壓 縮 性 對 流 動(dòng) 影

9、 響 的一 個(gè) 標(biāo) 準(zhǔn) ， 即 馬 赫 數(shù) Ma常 根 據(jù) 馬 赫 數(shù) 的 大 小 ， 把 氣 流 分 為 亞 聲 速 流 Ma1，跨 聲 速 流 Ma1， 超 聲 速 流 1 Ma3等 幾 類 。 亞 聲 速 流 動(dòng) 和 超 聲 速 流 動(dòng) 有 許 多 顯 著的 差 別 ， 我 們 將 在 以 后 各 節(jié) 中 逐 一 介 紹 。 cvMa 一 、 滯 止 參 數(shù) 在 實(shí) 際 工 程 上 ， 為 了 分 析 和 計(jì) 算 流 動(dòng) 問 題 方 便 起 見 ， 常使 用 滯 止 參 數(shù) 這 個(gè) 概 念 ， 而 且 由 于 它 比 較 容 易 測 量 ， 所 以 滯止 參 數(shù) 得 到 廣 泛 的 應(yīng)

10、用 。 設(shè) 想 氣 體 流 過 流 管 的 兩 個(gè) 有 效 截 面時(shí) ， 在 一 個(gè) 截 面 上 完 全 滯 止 下 來 ， 也 就 是 說 ， 在 這 個(gè) 截 面 上的 氣 流 速 度 等 于 零 。 則 這 個(gè) 截 面 上 的 氣 流 狀 態(tài) 稱 為 滯 止 狀 態(tài) ，滯 止 狀 態(tài) 下 各 相 應(yīng) 參 數(shù) 稱 為 滯 止 參 數(shù) 。 0p 常 數(shù) Thvh 22 6.2 氣 流 的 特 定 狀 態(tài) 和 參 考 速 度 由 一 維 定 常 絕 熱 流 的 能 量 方 程可 得 ： Tp TccT 2 2 對 應(yīng) 于 滯 止溫 度 ， 有 一滯 止 聲 速 ： 2/1)( TT RTc 只

11、要 知 道 氣 流 的 滯 止 參 數(shù) 和 Ma， 就 可 求 得 流 管內(nèi) 氣 流 在 某 指 定 截 面 上 的 溫 度 、 壓 強(qiáng) 、 密 度 和速 度 。 反 之 ， 若 已 知 截 面 上 的 參 數(shù) ， 也 可 得 到 滯止 參 數(shù) 。 所 以 這 三 個(gè) 公 式 是 計(jì) 算 氣 體 一 維 定 常 等熵 流 動(dòng) 問 題 的 基 本 公 式 。222 211 MaccTT TT 112211 rr MaT當(dāng) 比 熱 容 這 定 值 ， 并 利 用 定 壓 熱 容 與 氣 體 常 數(shù) 、 絕 熱 指 數(shù) 之間 的 關(guān) 系 ， 以 及 定 熵 過 程 的 過 程 方 程 ， 可 得 1

12、2211 MappT 二 、 臨 界 狀 態(tài) 參 數(shù)臨 界 狀 態(tài) ： 氣 體 等 熵 地 改 變 速 度 到 聲 速 時(shí) 所 具 有 的 狀 態(tài) ,在 等 熵 流 氣 動(dòng) 函 數(shù) 中 令 Ma =1可 得在 等 熵 條 件 下 溫 度 降 到 絕 對 零 度 時(shí) 的 速 度 。三 、 最 大 速 度 vmaxcrcrcrcr pTc r, 12 TcrTT 112 Tcrpp 1112 rrTcr2/1 max 12 TTRv 對 空 氣 crcv 45.2max 6.3 正 激 波一 、 正 激 波 形 成 2211 vv rr 22222111 vpvp rr 常 數(shù) Tppp TcTc

13、vTcv 222121 22 二 、 正 激 波 前 后 氣 流 參 數(shù)正 激 波 前 和 正 激 波 后 各 氣 流 參 數(shù)的 下 標(biāo) 分 別 為 1和 2。 由 于 圓 管 的截 面 積 不 變 ， 所 以 連 續(xù) 性 方 程 可寫 成若 忽 略 摩 擦 的 影 響 ， 則 動(dòng) 量 方 程 可 寫 成氣 流 通 過 激 波 時(shí) 受 到 急 劇 地 壓 縮 ， 由 于 其 時(shí) 間 極 短 ， 所 產(chǎn)生 的 熱 量 來 不 及 外 傳 ， 故 使 氣 流 的 熵 增 加 。 所 以 氣 流 通 過激 波 時(shí) 的 突 躍 壓 縮 過 程 是 一 個(gè) 不 可 逆 的 絕 熱 過 程 。 常 數(shù) 2

14、1111212 222221121 crTT cppvpv rrr氣 流 在 激 波 前 后 的 總 能 量 相 等 ， 并 保 持 不 變 ， 對 于 完 全 氣 體 能量 可 以 寫 為 crc式 中 臨 界 聲 速 也 保 持 不 變 。將 氣 體 狀 態(tài) 方 程 應(yīng) 用 與 正 激 波 前 、 后 的 狀 態(tài) ， 得)( 112212 TTRpp rr 2122222111 vvvpvp rr整 理 得 ：結(jié) 合 能量 方 程可 得 21211 112 1 vcp cr r 22222 112 1 vcp cr r 2122112 crcvvvvvv 1221122221112 1 v

15、vvvvpp rrr簡 化 后 得 221 crcvv 就 是 著 名 的 普 朗 特 公 式 ， 再 由 動(dòng) 量 方 程 和 連續(xù) 性 方 可 知由 于 激 波 是 壓 縮 波 ， 即 p2 p1， 因 此 v2 v1。 所 以 由 上 式 可 得重 要 結(jié) 論 ： 若 正 激 波 前 是 超 音 速 流 ， 則 在 正 激 波 后 必 定 是 亞 音速 氣 流 。整 理 后 得 到 完 全 氣 體 的 朗 金 許 貢 紐 （ Rankine-H ugoniot)公 式 22 11 21 11p Map 212 21 112 1MaMarr 氣 體 的 溫 度 突 躍 與 壓 強(qiáng) 突 躍 之

16、 間 也 有 一 定 的 關(guān) 系 21 22 12 21 12 1 2 11 MaT MaT Ma 激 波 前 后 壓 強(qiáng) 比 22 1 21 11 1111pp r r r r 12/112 12121 / )1/)(1/(1 cppcvg rr rr激 波 行 進(jìn) 速 度激 波 行 進(jìn) 速 度 總 是 大 于 當(dāng) 地 聲 速激 波 后 的 熵 增 加 一 維 等 截 面 連 續(xù) 性 方 程一 、 范 諾 線 常 數(shù) Tp TcvT 2 2完 全 氣 體 熵 增 公 式由 以 上 兩 式 可 導(dǎo) 得 1 1 1ln lnp T ps s c R bT p 2 2 022 /pV TT T a

17、c p Rr 完 全 氣 體 一 維 定 常 絕 熱 方 程基 本 方 程 : 6.4 等 截 面 摩 擦 管 流 常 數(shù) Aqv m /r 由 (a) (b)式 可 得 范 諾 線 如 圖 :（ 1） 摩 擦 作 用 使 熵 增 加 二 、 范 諾 流 氣 動(dòng)函 數(shù) (以 臨 界 參數(shù) 為 參 考 ) 0, , ,T p pr （ 2） 使 亞 聲 速 流 加 速 ,但 最 大 達(dá) 聲 速 , （ 3） 使 超 聲 速 流 減 速 ,最 小 達(dá) 聲 速 , 0, , ,T p pr 2)1(2 1MaTTcr 212)1(2 11 MaMappcr 212)1(2 11 MaMacr rr

18、22max 2 211 12 2 ( 1)h MaL Mad Ma Ma ln設(shè) 最 大 管 長 為 發(fā) 展 到 Ma =1時(shí) 極 限 管 長 ，maxL hd 為 管 徑 , 為 平 均 達(dá) 西 摩 擦 因 子亞 聲 速 流 時(shí) 查 Moody圖 超 聲 速 流 時(shí) 取 0002 0003. . 3.摩 擦 造 成 壅 塞 現(xiàn) 象在 處 達(dá) 到 聲 速 , 流 量 最 大 , 在 段 , 由 于 總 壓 強(qiáng) 下 降流 量 通 不 過 。 亞 聲 速 時(shí) , 入 口 段 發(fā) 生 溢 流 , 流 量 減 少 至 出 口 聲 速 ; 超聲 速 時(shí) , 產(chǎn) 生 激 波 ,使 出 口 截 面 為 臨

19、界 截 面 。 maxL maxL L max max12 1 2h h hL LLd d d 對 短 管 1/2 1/201 12 2 3001 1 0.171 0.4 298.3TMa T 311 1 98 1000 1.14 kg/m287 298.3pRTr 1 1 1 1 1 0.17 1.4 289 298.3 58.9(m/s)V Ma c Ma RT 2 2 2 2 2 0.4 1.4 287 290.7 136.7 m/sV Ma c Ma RT 1 12 22 0 211 300 1 0.2 0.4 290.7 K2T T Ma （ 2） 截 面 2的 狀 態(tài) 參 數(shù) 不

20、能 用 等 熵 公 式 而 要 用 絕 熱 公 式 , 002 TT 已 知 :空 氣 從 的 貯 氣 罐 進(jìn) 入 一 根 直 徑 為 d=10mm的 絕 熱 光 滑 管 入 口 處 經(jīng) 過 有 摩 擦 的 流 動(dòng) 到 達(dá) 截 面 2時(shí) ,0 300KT1 1298.3K, 98 ;T p kPa(ab) 2 0.4Ma 求 :(1)入 口 處 (2)截 面 2處 (3)入 口 處 到 截 面 2的 長 度 L .1;Ma 2 2 2 2, , , ;T p Vr解 :（ 1） 利 用 等 熵 流 動(dòng) 公 式 求 1Ma 22 112 21 11 11 1ln2 2 1max MaL Mad

21、Ma Ma 2 2 2 287 0.49 290.7 41.0 kPap R Tr 312 1 2 58.91.14 0.49 kg/m136.7VVr r （ 3） 按 短 管 計(jì) 算 2 22 22 1 04 24 24 04ln 375 144 23114 04 28 2 04 04maxL . . . . . . .d . . . . . 222 214 1 0171 017 14 1ln 24 2886 211114 017 2 14 2 14 1 017. . . . . . . . . 上 式 表 明 截 面 2已 接 近 臨 界 截 面 (Ma=1),再 計(jì) 算 平 均 摩 擦

22、 因 子 01 298.3K 25.3 C,T 5 21 1.56 10 m /sv 入 口 處 : 查 表 FA2, 41 51 1.14 58.9 0.01 4.3 101.56 10VdRe r 42 52 0.49 136.7 0.01 4.5 101.49 10VdRe r 0212.01 查 Moody圖 光 滑 管 , 02 290.7K 17.7 C,T 5 22 1.49 10 m /sv 截 面 2: 查 表 FA2,021.02 查 Moody圖 光 滑 管 ,臨 界 截 面 :由 (C5.3.4a)式 , 1Ma 1 1 0 5 20 11 300 1 0.2 250

23、23 1.2 10 m /s2cr crT T K C v ，1.4 287 250 316.9(m/s) cr crV RT 31 1/ 1.14 58.9/316.9 0.21 kg/mcr crV Vr r 450.21 316.9 0.01 5.5 101.2 10cr crVdRe vr 由 (C5.5.18)式 , 8.1831.211.21 dL 18.8 / 18.8 0.01/0.0208 9.04(m)L d 0.0202cr 查 Moody圖 光 滑 管 , 。 三 個(gè) 值 平 均 0.0208 一 、 瑞 利 線 及 熵 增 公 式 1 1 1ln lnp T ps s

24、 c R bT p 連 續(xù) 性 方 程 和動(dòng) 量 方 程 常 數(shù) VAm r 常 數(shù) rr 122 AmpVp 由 以 上 兩 式 可 得 apRTAmp 常 數(shù) 2由 (a)(b)可 得 瑞 利 曲 線 如 圖 :(2) 亞 聲 速 流 加 熱 后 加 速 ,最 大 達(dá) 聲 速 (1) a點(diǎn) 為 最 大 熵 值 點(diǎn) , b為 最 高 溫 度 點(diǎn)(3) 超 聲 速 流 加 熱 后 減 速 ,但 最 小 達(dá) 聲 速 6.5 等 截 面 換 熱 管 流 二 、 瑞 利 流 氣 動(dòng) 函 數(shù) 2 2211T MaT Ma 211pp Ma 2 21 11 Ma Mar r 氣 流 達(dá) 臨 界 時(shí) 流

25、量 為 最 大 , 繼 續(xù) 加 熱 使 總 壓 下 降 發(fā) 生 壅 塞 。亞 聲 速 時(shí) 入 口 段 發(fā) 生 溢 流 , 流 量 減 小 ;超 聲 速 時(shí) 壅 塞 產(chǎn) 生 激 波 ,并 移 至 入 口 , 發(fā) 生 溢 流 后 才 能 通 過 。 三 、 加 熱 造 成 壅 塞 現(xiàn) 象 求 :（ 1） Ma2, T2, T02； （ 2） （ 熱 交 換 率 ） Q解 :（ 1） 311 1 (126 1000 ) 08237(287J/kg K)(533K) kg mPa .pRTr 1 1 183kg/s3 3(08237kg/m )(002m ) 1111ms. .mV .Ar 1 11

26、1 1 1111m/s 02414(287J/kg K)(533K). .V VMa c RT 由 Ma1=0.24查 等 熵 流 氣 動(dòng) 函 數(shù) 表 得 T 1 / T01 = 0.9886, T01 = 533K / 0.9886 = 539 K 。 由 Ma1=0.24查 瑞 利 流 氣 動(dòng) 函 數(shù) 圖 得 T01 / T*0 = 0.24, T*0 = 539 K/ 0.24 = 2246 K ； 已 知 : 空 氣 在 一 等 截 面 加 熱 管 中 作 無 摩 擦 流 動(dòng) ， 質(zhì) 流 量 =1.83kg/s， 管 截面 積 A=0.02m2。 在 上 游 截 面 T1=533K,p

27、1=126kPa(ab)， 在 下 游 截 面 為 亞 聲速 流 ,p2=101.3kPa m T1 / T* = 0.3， T* = 533K / 0.3 = 1777 K； p1 / p*= 2.2, p* = 126kPa / 2.2 = 57.3 kPa 。 在 截 面 ， p2/p*=101.3/57.3=1.77,查 瑞 利 流 氣 動(dòng) 函 數(shù) 圖 得 Ma2=0.5； 查 得 T02 / T*0 = 0.69, T02 = 0.69(2246K) = 1550 K； 查 得 T2 / T* = 0.78, T2 = 0.78(1777K)= 1386 K； （ 2） 由 能 量 方 程 （ B4.6.11） 式 ， 忽 略 重 力 ， 空 氣 的 cp=1004J/(kg-K)2 2 2 22 1 2 102 01 02 01 183kg/s)(1004J/kg K)(1550 539)K 186( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2( ) ( ) (MJ s) p . p pV V V VQ m e e m h hm h h mc T T/ r r 作 業(yè) ：6-， 6-， 6-， 6-， 6-