《方差與標準差》PPT課件

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1、 一 、 關 于 極 差 與 平 均 數(shù) 1. 何 謂 一 組 數(shù) 據(jù) 的 極 差 ? 極 差 反 映 了 這 組數(shù) 據(jù) 哪 方 面 的 特 征 ? 一 組 數(shù) 據(jù) 中 的 最 大 值 減 去 最 小 值 所 得 的 差叫 做 這 組 數(shù) 據(jù) 的 極 差 。 極 差 反 映 的 是 這 組 數(shù) 據(jù) 的 變 化 范 圍 或 變 化幅 度 ， 也 稱 離 散 程 度 極 差 只 能 反 映 一 組 數(shù) 據(jù) 中 兩 個 極 值 之 間 的大 小 情 況 ， 而 對 其 他 數(shù) 據(jù) 的 波 動 情 況 不 敏 感 。 甲 ， 乙 兩 名 射 擊 手 都 很 優(yōu) 秀 ，現(xiàn) 只 能 挑 選 一 名 射 擊

2、 手 參 加 比 賽 。若 你 是 教 練 ， 你 認 為 挑 選 哪 一 位 比較 適 宜 ？教 練 的 煩 惱 第 一 次 第 二 次 第 三 次 第 四 次 第 五 次甲 命 中 環(huán) 數(shù) 6 8 8 8 10乙 命 中 環(huán) 數(shù) 10 6 10 6 8甲 ， 乙 兩 名 射 擊 手 的 測 試 成 績 統(tǒng) 計 如 下 ： 請 分 別 計 算 兩 名 射 手 的 平 均 成 績 ；教 練 的 煩 惱 乙x =8（ 環(huán) ）=8（ 環(huán) ）甲x 第 一 次 第 二 次 第 三 次 第 四 次 第 五 次甲 命 中 環(huán) 數(shù) 6 8 8 8 10乙 命 中 環(huán) 數(shù) 10 6 10 6 80 1 22

3、3 4 546810甲 ， 乙 兩 名 射 擊 手 的 測 試 成 績 統(tǒng) 計 如 下 ：成 績 （ 環(huán) ） 射擊 次序 請 分 別 計 算 兩 名 射 手 的 平 均 成 績 ； 請 根 據(jù) 這 兩 名 射 擊 手 的 成 績 在 下 圖 中 畫 出 折 線 統(tǒng) 計 圖 ； 現(xiàn) 要 挑 選 一 名 射 擊 手 參 加 比 賽 ， 若 你 是 教 練 ， 你 認 為 挑 選 哪 一 位 比 較 適 宜 ？ 為 什 么 ？ 教 練 的 煩 惱 甲 射 擊 成 績 與 平 均 成 績 的 偏 差 的 和 ：乙 射 擊 成 績 與 平 均 成 績 的 偏 差 的 和 ：（ 6-8） +（ 8-8）

4、+（ 8-8） +（ 8-8） +（ 10-8） =0（ 10-8） +（ 6-8） +（ 10-8） +（ 6-8） +（ 8-8） =0第 一 次 第 二 次 第 三 次 第 四 次 第 五 次甲 命 中 環(huán) 數(shù) 6 8 8 8 10乙 命 中 環(huán) 數(shù) 10 6 10 6 8 （ 10-8） 2+（ 6-8） 2+（ 10-8） 2+（ 6-8） 2+（ 8-8） 2=（ 6-8） 2+（ 8-8） 2+（ 8-8） 2+（ 8-8） 2+（ 10-8） 2=甲 射 擊 成 績 與 平 均 成 績 的 偏 差 的 平 方 和 ：乙 射 擊 成 績 與 平 均 成 績 的 偏 差 的 平 方

5、 和 ：找 到 啦 ！ 有 區(qū) 別 了 ！ 816第 一 次 第 二 次 第 三 次 第 四 次 第 五 次甲 命 中 環(huán) 數(shù) 6 8 8 8 10乙 命 中 環(huán) 數(shù) 10 6 10 6 8 上 述 各 偏 差 的 平 方 和 的 大 小 還 與 什 么 有 關 ？與 射 擊 次 數(shù) 有 關 ！ 所 以 要 進 一 步 用 各 偏 差 平 方 的 平 均 數(shù) 來衡 量 數(shù) 據(jù) 的 穩(wěn) 定 性 ： 設 一 組 數(shù) 據(jù) x1、 x2、 、 xn中 ， 各 數(shù) 據(jù) 與 它們 的 平 均 數(shù) 的 差 的 平 方 分 別 是 (x1 x)2、 (x2x)2 、 (xn x)2 ， 那 么 我 們 用 它

6、 們 的 平 均 數(shù) ，即 用S2= (x 1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 1n 二 、 關 于 方 差 我 們 采 用 各 偏 差 平 方 的 平 均 數(shù) 來 衡 量 數(shù) 據(jù) 的 穩(wěn) 定 性 ，即 叫 做 這 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差 。 方 差 用 來 衡 量 一 批 數(shù) 據(jù) 的 波 動 大 小 (即 這 批 數(shù) 據(jù) 偏 離平 均 數(shù) 的 大 小 ).方 差 越 大 ,說 明 數(shù) 據(jù) 的 波 動 越 大 ,越 不 穩(wěn)定 . 222212 )()()(1 xxxxxxnS n 第 一 次 第 二 次 第 三 次 第 四 次 第 五 次甲 命 中 環(huán) 數(shù) 6 8 8 8 10乙 命

7、中 環(huán) 數(shù) 10 6 10 6 8）（ 環(huán)） ，（ 環(huán) 乙甲 2222 2.36.1 ss 22 乙甲 ss 挑 選 甲 較 適 宜試 一 試 計 算 甲 ， 乙 兩 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差 運 用 方 差 的 解 決 問 題 時 要 注 意 ：1.方 差 是 衡 量 數(shù) 據(jù) 穩(wěn) 定 性 的 一 個 統(tǒng) 計 量 ；2.要 求 某 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差 ， 要 先 求 數(shù) 據(jù) 的 平均 數(shù) ；3.方 差 的 單 位 是 所 給 數(shù) 據(jù) 單 位 的 平 方 ；4.方 差 越 大 ， 波 動 越 大 ， 越 不 穩(wěn) 定 ； 方 差 越 小 ， 波 動 越 小 ， 越 穩(wěn) 定 。 例 ： 為 了 考

8、 察 甲 乙 兩 種 小 麥 的 長 勢 ， 分 別 從 中 抽出 10株 苗 ， 測 得 苗 高 如 下 （ 單 位 ： cm） ： 甲 ： 12， 13， 14， 15， 10， 16， 13， 11， 15， 11； 乙 ： 11， 16， 17， 14， 13， 19， 6， 8， 10， 16；問 ： 哪 種 小 麥 長 得 比 較 整 齊 ？X甲 （ cm）13)161086191314171611(101 X乙 （ cm） 13)11151113161015141312(101 S 2甲 （ cm2）S2乙 （ cm2） 6.3)1311()1313()1312(101 222

9、8.15)1316()1316()1311(101 222 因 為 S2甲 S2乙 ， 所 以 甲 種 小 麥 長 得 比 較 整 齊 。 解 : 三 、 關 于 標 準 差標 準 差 ： 為 了 使 得 與 數(shù) 據(jù) 單 位 一 致 ， 可 用 方 差 的 算 術 平方 根 來 表 示 。 即 ： 22221 )()()(1 xxxxxxnS n 特 殊 的 ： 如 果 方 差 與 標 準 差 為 零 ， 說 明 數(shù) 據(jù) 都 沒 有 偏 差 ，即 每 個 數(shù) 都 一 樣 。 一 般 來 說 ， 一 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差 或 標 準 差 越 小 ， 這 組 數(shù) 據(jù)離 散 程 度 越 小 ， 這

10、 組 數(shù) 據(jù) 就 越 穩(wěn) 定 。 示 例 ：1. 若 甲 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差 比 乙 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差 大 ， 那 么 下 列 說 法 正 確 的 是（ ）A.甲 組 數(shù) 據(jù) 的 平 均 數(shù) 比 乙 組 數(shù) 據(jù) 的 平 均 數(shù) 大B.甲 組 數(shù) 據(jù) 比 乙 組 數(shù) 據(jù) 穩(wěn) 定C.乙 組 數(shù) 據(jù) 比 甲 組 數(shù) 據(jù) 穩(wěn) 定D.甲 ， 乙 組 的 穩(wěn) 定 性 不 能 確 定2.一 組 數(shù) 據(jù) 的 7、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13的 方 差 是 _.標 準 差是 _. 3.反 映 數(shù) 據(jù) 離 散 程 度 的 指 標 是 什 么 ？ 在 一 次 數(shù) 學 測 試 中 ，

11、 甲 、 乙 兩 班 的 平 均 成 績 相 同 ， 甲 班 成 績 的 方 差 為 42， 乙 班 成 績 的 方 差 為 35， 這樣 的 結 果 說 明 兩 個 班 的 數(shù) 學 學 習 狀 況 各 有 什 么 特 點 ？ 總 結 ：1. 平 均 數(shù) 是 反 映 一 組 數(shù) 據(jù) 總 體 趨 勢 的 指 標 ，方 差 、 標 準 差 均 是 表 示 一 組 數(shù) 據(jù) 離 散 程度 的 指 標 .2. 計 算 方 差 的 步 驟 可 概 括 為 “ 先 平 均 ， 后求 差 ， 平 方 后 ， 再 平 均 ” .3.方 差 和 標 準 差 的 區(qū) 別 與 聯(lián) 系 ： 聯(lián) 系 ： 方 差 和 標

12、準 差 都 是 用 來 衡 量 （ 或 描 述 ） 一 組 數(shù) 據(jù) 偏 離平 均 數(shù) 的 大 小 （ 即 波 動 大 小 ） 的 指 標 ， 常 用 來 比 較 兩 組 數(shù) 據(jù) 的 波動 情 況 。 區(qū) 別 ： 方 差 是 用 “ 先 平 均 ， 再 求 差 ， 然 后 平 方 ， 最 后 再 平 均 ”的 方 法 得 到 的 結 果 ， 主 要 反 映 整 組 數(shù) 據(jù) 的 波 動 情 況 ， 是 反 映 一 組數(shù) 據(jù) 與 其 平 均 值 離 散 程 度 的 一 個 重 要 指 標 ， 每 個 數(shù) 據(jù) 的 變 化 都 將 影 響 方 差 的 結 果 ， 是 一 個 對 整 組 數(shù) 據(jù) 波 動

13、情 況 更 敏 感 的 指 標 。在 實 際 使 用 時 ， 往 往 計 算 一 組 數(shù) 據(jù) 的 方 差 ， 來 衡 量 一 組 數(shù) 據(jù) 的 波動 大 小 。 標 準 差 實 際 是 方 差 的 一 個 變 形 ， 只 是 方 差 的 單 位 是 原 數(shù) 據(jù) 單位 的 平 方 ， 而 標 準 差 的 單 位 與 原 數(shù) 據(jù) 單 位 相 同 。 拓 展 ： 1. 若 x1， x2， x3， x4， ， xn平 均 數(shù) 為 x，則 ： x1 a， x2 a， x3 a， x4 a， ， xn a的 平均 數(shù) 是 x+a； 而 ax1， ax2， ax3， ax4， ， axn的 平 均 數(shù) 是 ax。 2. 若 x1， x2， x3， x4， ， xn方 差 為 S2，則 ： x1 a， x2 a， x3 a， x4 a， ， xn a的方 差 仍 是 S2； 而 ax1， ax2， ax3， ax4， ， axn的方 差 是 a2S2。 3. 觀 察 下 面 的 圖 ， 指 出 其 中 誰 的 標 準 差 較大 ， 并 說 說 為 什 么 ？