數(shù)學(xué)物理方程綜述

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1、18.1 線性偏微分方程解法綜述 對于二階線性偏微分方程定解問題，前面我們介紹了幾種主要解法，并詳細闡述了其解題思路為了理解方便，對它們綜述如下： 1.行波法：先求出滿足定解問題的通解，再根據(jù)定解條件確定其定解問題的解. 行波法是通解法中的一種特殊情形,行波法又稱達朗貝爾(dAlembert)解法. 它不僅可以求解無界區(qū)域的線性偏微分方程，而且能求解某些非線性偏微分方程2.分離變量法：先求出滿足一定條件（如邊界條件）的特解族，然后再用線性組合的辦法組合成級數(shù)或含參數(shù)的積分, 最后構(gòu)成適合定解條件的特解； 這是求解線性偏微分方程定解問題的最主要方法從理論上說，分離變量法的依據(jù)是SturmLiou

2、ville型方程的本征值問題從解題步驟上看，要求本征值問題所對應(yīng)的定解條件必須是齊次的(若為非齊次，則需先齊次化)從而使得這種解法對于定解問題中微分方程的具體形式有一定的限制，同時對所討論問題的空間區(qū)域形狀也有明顯限制并且還涉及到正交曲面坐標系的選取 在具體求解時，當然還必須求解相應(yīng)的常微分方程的本征值問題除了本書中介紹過的幾個本征值問題外，也可能會出現(xiàn)其他的特殊函數(shù)3 冪級數(shù)解法：就是在某個任選點的鄰域上，把待求的解表示為系數(shù)待定的級數(shù)，代入方程以逐個確定系數(shù)勒讓德多項式、貝塞爾函數(shù)即用冪級數(shù)解法求解得出這種解法普遍，但計算量大，較為繁瑣必要時可借助于計算機 迭代計算 4 格林函數(shù)法：這種方

3、法具有極大的理論意義它給出了定解問題的解和方程的非齊次項以及定解條件之間的關(guān)系，因而便于討論當方程的非齊次項或定解條件發(fā)生變化時，解是如何相應(yīng)地發(fā)生變化的. Green函數(shù)法，已經(jīng)成為理論物理研究中的常用方法之一5. 積分變換方法：這種方法的優(yōu)點是減少方程自變量的數(shù)目從原則上說，無論對于時間變量，還是空間變量；無論是無界空間，還是有界空間；都可以采用積分變換 的方法求解線性偏微分方程的定解問題但從實際計算上看，還需要根據(jù)方程和定解條件的類型，選擇最合適的積分變換反演問題，是關(guān)系到擬采用的積分變換是否實際可行的關(guān)鍵問題反演時涉及的積分很簡單，甚至有現(xiàn)成的結(jié)果(如查積分變換表，專用工具書等)可供引

4、用，采用積分變換的確可以帶來極大的便利但若涉及的積分比較復(fù)雜，而且沒有現(xiàn)成的積分變換結(jié)果可供引用，那么反演問題就成為了積分變換的難點 積分變換法和分離變量法存在密切的聯(lián)系例如，當本征值過渡到連續(xù)譜時，分離變量法就變?yōu)橄鄳?yīng)的積分變換法 另外，從實用的角度來看，如果空間是有界的，一般說來，積分變換和分離變量法沒有什么差別，故仍不妨采用分離變量法 積分變換方法也具有分離變量法所沒有的優(yōu)點：它還可以 應(yīng)用于求解某些非線性偏微分方程 6. 保角變換法這種方法的理論基礎(chǔ)是解析函數(shù)所代表的變換具有保角性這種解法主要用于二維Laplace 方程或Poisson方程的邊值問題，因為在保角變換下，前者的形式不變，

5、后者也只是非齊次項作相應(yīng)的改變粗略地說，運用保角變換，可以把“不規(guī)則”的邊界形狀化為規(guī)則的邊界形狀例如，可以把多邊形化為上半平面或單位圓內(nèi)再結(jié)合上半平面或圓內(nèi)的Poisson公式，就能直接求出二維Laplace方程的解 運用保角變換，可以解決一些典型的物理問題或工程問題例如，有限大小的平行板電容器的邊緣效應(yīng)問題，空氣動力學(xué)中的機翼問題，以及其他一些流體力學(xué)問題又如，應(yīng)用保角變換法，可以把偏心圓化為同心圓7. 變分法這個方法具有理論價值和實用價值在理論上，它可以把不同類型的偏微分方程的定解問題用相同的泛函語言表達出來(當然不同問題中出現(xiàn)的泛函是不同的)，或者說，把 不同的物理問題用相同的泛函語言

6、表達出來正是由于這個原因，變分或泛函語言已經(jīng)成為表述物理規(guī)律的常用工具之一在實用上，變分法又提供了一種近似計算的好辦法有效地利用物理知識，靈活巧妙地選取試探函數(shù)，可以使計算大為簡化在物理學(xué)中，無論過去或現(xiàn)在，變分法都是常用的一種近似計算方法 例如，在原子和分子光譜的計算中就廣泛地采用了變分法 8.計算機仿真解法：利用數(shù)學(xué)工具軟件（Matlab,Mathematic,Mathcad）和常用計算機語言（Visual C+）等實現(xiàn)對數(shù)學(xué)物理方程的求解，參考計算機仿真部分對三類典型的數(shù)學(xué)物理方程的求解及其解的動態(tài)演示9.數(shù)值計算法: 對于邊界條件復(fù)雜，幾何形狀不規(guī)則的數(shù)學(xué)物理定解問題，精確求解很困難，

7、甚至不可能的情形，擬采用數(shù)值求解的方法其中主要的數(shù)值解法包括：有限差分法、蒙特卡洛（Monte-Carlo）法等 前面我們討論了線性偏微分方程定解問題的解法, 而現(xiàn)實中的許多物理現(xiàn)象都是非線性地依賴于一些物理參量變化的, 從而描述這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理方程就是非線性偏微分方程. 非線性偏微分方程有許多不同于線性偏微分方程的特征, 比如線性偏微分方程的疊加原理對非線性偏微分方程就不再成立, 從而基于疊加原理的求解方法對非線性偏微分方程就不再適用. 另外, 解的性質(zhì)也有許多本質(zhì)的變化. 自20世紀60年代以來，非線性方程在物理、化學(xué)、生物等各個學(xué)科領(lǐng)域中不斷出現(xiàn)，其研究內(nèi)容日趨豐富與線性方程的定解問題

8、一樣，非線性方程同樣存在定解問題的適定性，但后者要復(fù)雜得多限于篇幅，我們主要介紹物理現(xiàn)象中典型的非線性方程及其求解方法，它們在非線性光學(xué)、量子場論和現(xiàn)代通信技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景典型非線性方程及其行波解 在無限空間，線性或非線性偏微分方程0Pu（18.2.1）P t x其中為包括時間和空間偏導(dǎo)數(shù)的微分算子。形如 )(),( ctxFtxu 的解，稱為上式的行波解，其中 c為常數(shù)對線性偏微分方程，比如波動方程，則 =F F x ct 為滿足一定條件的任意函數(shù)但對 非線性偏微分方程，由于疊加原理已不成立， F只能取特定的形式才有可能滿足(18.2.1)事實上，滿足式（18.2.1）的特定形式

9、 F是方程的非線性本征模式由行波解可以 分析非線性偏微分方程解的重要性質(zhì)我們特別感興趣的是非線性偏微分方程的所謂“孤立波”形式的解 18.21 孤立波 1834 年,英國科學(xué)家S.Russel沿河邊騎馬時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象14,由于船的推動,河中涌起一個孤立的波,以幾乎不變的速 度和不變的波形向前推進（如圖18.1所示）,很久以后才遇障礙而消失. Russel后來發(fā)表了觀察報告,首先提出“孤立波”的名詞概念 .1895年,荷蘭數(shù)學(xué)家（D.J. Korteweg）和他的學(xué)生(G. de Vries)在研究淺水波時,導(dǎo)出了如下形式的方程 0 xxxxt uuuu (18.2.1) 其中 是常數(shù)，該

10、方程以兩位科學(xué)家命名而稱為KdV方程. 由 于方程左邊第二項關(guān)于 xuu,是非線性的， 所以(18.2.1)是一非 線性偏微分方程. 現(xiàn)在來尋求方程(18.2.1)的平面前進波(簡稱行波)解,令 , ( , ) ( )x ct u x t u (18.2.2)其中 c是常數(shù)，將(18.2.2)式代入(18.2.1),得0 uuucu 3c u u 圖18.1 對 積分一次得 Auucu 22 （A為任意常數(shù)） (18.2.3)u 用乘(18.2.3)式兩邊,并對積分,得2 3 23 3 6 6u u cu Au B ( 18.2.4)其中B為任意常數(shù)由于孤立波是一個局部波,當 )(u及其各階導(dǎo)

11、數(shù)都趨于零 于是,由(18.2.3),(18.2.4)式知, 時，有 0A B ,從而(18.2.4)式變成 2 23 (3 )u u c u (18.2.5)從方程(18.2.5)可看出,只有當 03 uc 時,KdV方程才可能有實的行波解.當cu 3時, 0u ,可知當 u c3由變到時,由零上升到極大值,然后又 下降到零,其圖形大致形如圖18.1所示,這種形狀的波稱為孤立波.下面我們來求 u的具體表達式,為此把方程 (18.2.5)寫成變量 分離的形式3d d3 uu c u (18.2.6)查積分表,可解得3d 1 3 3ln3 3 3u c c uA u c u c c c u (1

12、8.2.7)其中A為積分常數(shù).不妨設(shè)A=0 (否則對 作平移), 則(18.2.7) 可化簡為2 22 23 3sech ( ) ( ) ,2 2c cc c c e eu ctx (18.2.8)這個函數(shù)的圖形如圖18.1所示,它表示KdV方程(18.2.1)有任意波速c的孤立波解,其峰高為 c3 . 由(18.2.8)式及圖18.1可得出結(jié)論 (1)波峰高與波速成正比;(2)由(18.2.7)式知,當 u固定時,相應(yīng)的 的絕對值與c近似地成反比. 因此,速率c大的孤立波,其波寬反而小. sech( )x 是鐘形的正割雙曲函數(shù)，其圖形與淺水槽中觀察到的孤立波的形狀相同上述KdV方程的行波解(

13、18.2.8)稱為孤立波解， 從而在數(shù)學(xué)上證實了孤立波的存在20世紀70年代兩位美國科學(xué)家 (Zabusky和Kruskal)用數(shù)值模擬證實了：兩個相對運動的孤立波在碰撞之后仍為兩個穩(wěn)定的，形狀與碰撞前相同的孤立波，僅僅相位發(fā)生了變化，也就是說兩個孤立波的碰撞類似于粒子之間的碰撞這種孤立波具有類似粒子的性能，因而這兩位科學(xué)家將孤立波命名為“孤立子”（Solition） 20世紀中,人們不僅在淺水波中發(fā)現(xiàn)孤立波,在光纖通信,金屬相變,神經(jīng)傳播等許多領(lǐng)域中都有”孤立波”現(xiàn)象, 即某種現(xiàn)象或信息脈沖以幾乎恒定的形態(tài)進行傳播. 非線性偏微分方程存在孤立波解，除KdV方程之外，還有很多，如1）非線性薛定

14、諤方程 2 22i | | 0kt x (18.2.9)2）正弦戈登方程2 2 2 2 sint x (18.2.10) 此外，還有Klein-Gordon 方程，Toda非線性晶格方程等，這些非線性偏微分方程在等離子體物理、非線性光學(xué)、量子場論和通信技術(shù)等領(lǐng)域都有著重要的地位和作用18.2.2 沖擊波本節(jié)研究另一類非線性偏微分方程 22 0u u uut x x （18.2.11） 式（18.2.11）稱為Burgers 方程其中 0 Burgers 方程 為常數(shù)，是非線性耗散方程 下面我們以之為例來分析其沖擊波解我們不妨設(shè)上式有行波解，并具有下列形式 ; u u x ct （18.2.12

15、） 將其代入Burgers 方程得到 2 2d d d 0d d du u uc u （18.2.13） 對積分得到2d 1d 2 2u acu u （18.2.14）其中a為積分常數(shù)上式改寫成 2d 1 2d 2u u cu a （18.2.15）設(shè)方程右邊有兩個實根;2 1 accu accu 22（18.2.16） c a由于和都是待定常數(shù)，取 02 ac于是式（18.2.15）為 1 2d 1d 2u u u u u （18.2.17）上式積分可得到 1 21 2 1 2 01 1 tanh2 2 4u uu u u u u （18.2.18） 其中0 （18.2.11）的行波解式（1

16、8.2.18），波的振幅和波速為 為積分常數(shù)因此，我們得到了Burgers方程 1 212A u u 2121 uuc （18.2.19）容易得到下列關(guān)系 1 2d d 0d du u u uu u cu 0 1u u 2u u 式（18.2.18）稱為Burgers方程的沖擊波解下面分析平衡點 1uu 2uu 和 此把二階方程（18.2.13）寫成一階方程組的穩(wěn)定性為 0 1d 10d u uu c v v （18.2.20）在平衡點 1uu 處，上述方程的系數(shù)矩陣的特征值 滿足 1 1 010 ( )u c （18.2.21） 容易求得二個特征值為2(1) (1)1 2 110; ( ) 0c au c 因此1uu 是不穩(wěn)定平衡點對平衡點 2uu 可求得 2(2) (2)1 2 210; ( ) 0c au c 可見2uu 為穩(wěn)定的平衡點從不穩(wěn)定平衡點 1uu 向穩(wěn)定平衡點 2uu 的過渡速度由寬度量描述，且決定于 2 1( )/u u 式（18.2.18）對 微分可得到 2 21 2 1 2 0( )d( ) sech ( )( )d 8 4u u u uu v （18.2.22） ( ) 0 v顯然，當時， 回到 ),( tx變量，上式表示向 x方向傳播的“孤立”波值得 指出的是，從式（18.2.19）可見，“孤立”波傳播的速度與振幅有關(guān)，這也是非線性本征模式的典型特性