《數(shù)學(xué)物理方法》第1講

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1、2010. 3. 4 主 要 內(nèi) 容第一章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題 1.1 基 本 方 程 的 建 立 1.2 定 解 條 件 1.3 定 解 問(wèn) 題 的 提 法 1.4 二 階 線 性 偏 微 分 方 程 的 分 類 與 化 簡(jiǎn) 第二章 分離變量法 2.1 （ 1+1） 維 齊 次 方 程 的 分 離 變 量 法 2.2 二 維 Laplace方 程 的 定 解 問(wèn) 題 2.3 非 齊 次 方 程 的 解 法 2.4 非 齊 次 邊 界 條 件 的 處 理主 要 內(nèi) 容 第三章 二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法 本征值問(wèn)題 3.1 二 階 常 微 分 方 程 的 級(jí) 數(shù) 解 法 3.2 Legendre（

2、 勒 讓 德 ） 方 程 的 級(jí) 數(shù) 解 3.3 Bessel（ 貝 塞 爾 ） 方 程 的 級(jí) 數(shù) 解 3.4 Sturm-Liouville（ 斯 特 姆 -劉 維 爾 ） 本 征 值 問(wèn) 題主 要 內(nèi) 容 第四章 Bessel函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 4.1 Bessel方 程 的 引 出 4.2 Bessel函 數(shù) 的 性 質(zhì) 4.3 Bessel函 數(shù) 的 應(yīng) 用 4.4 修 正 Bessel函 數(shù) 4.5 可 化 為 Bessel方 程 的 方 程主 要 內(nèi) 容 第五章 Legendre 多項(xiàng)式 5.1 Legendre 方 程 及 Legendre 多 項(xiàng) 式 的 引 出 5.2 Le

3、gendre 多 項(xiàng) 式 的 性 質(zhì) 5.3 Legendre多 項(xiàng) 式 的 應(yīng) 用 5.4 關(guān) 聯(lián) Legendre 多 項(xiàng) 式 及 其 應(yīng) 用主 要 內(nèi) 容 第六章 行波法與積分變換法 6.1 一 維 波 動(dòng) 方 程 的 D Alember(達(dá) 朗 貝 爾 ) 公 式 6.2 三 維 波 動(dòng) 方 程 的 Poisson公 式 6.3 Fourier積 分 變 換 法 求 定 解 問(wèn) 題 6.4 Laplace變 換 法 解 定 解 問(wèn) 題主 要 內(nèi) 容 第七章 Green函數(shù)法 7.1 引 言 7.2 Poisson方 程 的 邊 值 問(wèn) 題 7.3 Green函 數(shù) 的 一 般 求 法

4、7.4 用 電 像 法 求 某 些 特 殊 區(qū) 域 的 Dirichlet-Green函 數(shù) 主 要 內(nèi) 容 主 要 內(nèi) 容三 種 方 程 、 四 種 求 解 方 法 、 二 個(gè) 特 殊 函 數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波 動(dòng) 方 程 、熱 傳 導(dǎo) 、拉 普 拉 斯 方 程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 回 憶 高 數(shù) 有 關(guān) 向 量 場(chǎng) 內(nèi) 容 哈 密 頓 算 子 zyx k j i ) Nabla ( k j i k j i div RQPzyxA AzRyQxP 設(shè) 向 量 場(chǎng) A = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z

5、 ) k zfyfxff k j i grad . f , , zfyfxf RQP zyx k j i , , y P x Q x R z P z Q y R rot A d d d d d d yxRxzQzyP vzRyQxP d d ) cos cos cos ( SRQP 高 斯 公 式 S d A v d Adiv . d n A S d d ,d d ,d d S d yxxzzy cos ,cos ,cos n 斯 托 克 斯 公 式 zRyQxP d d d RQP zyx yxxzzy d d d d d d SRQP zyx d cos cos cos yx y P x

6、Qxz x R z Pzy z Q y R d d d d d d S y P x Q x R z P z Q y R d cos cos cos . d rot A S . d n rot A S 建 立 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 就 是 將 物 理 規(guī) 律 “ 翻 譯 ” 成 數(shù)學(xué) 建 模 方 法(1) 微 元 法 :語(yǔ) 言 。析 鄰 近 部 分 與 這 一 小 部 分 的 相 互 作 用 ， 分物 理 規(guī) 律 ,通 過(guò) 對(duì) 表 達(dá) 式 的 化 簡(jiǎn) 、 整 理 ，足 的 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 ；(2) 規(guī) 律 法 :組 ） 用 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 表 示 出 來(lái) ； 根 據(jù)用 數(shù) 學(xué)

7、表 達(dá) 式 來(lái) 表 示 這 個(gè) 作 用 ，得 到 問(wèn) 題 所 滿 在 整 個(gè) 系 統(tǒng) 中 分 出 一 個(gè) 小 部 分 ，通 常 有 三 種 方 法 ：就 是 將 物 理 規(guī) 律 （ 比 如 Maxwell方 程 （ 3） 統(tǒng) 計(jì) 法 :滿 足 的 （ 廣 義 ） 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 ， 常 用 于 經(jīng) 濟(jì) 、社 會(huì) 科 學(xué) 等 領(lǐng) 域 。就 是 通 過(guò) 統(tǒng) 計(jì) 規(guī) 律 建 立 所 研 究 問(wèn) 題 幾 個(gè) 基 本 的 數(shù) 學(xué) 物 理 方 程 的 傾 角 都 很 小 ，一 、 均 勻 弦 的 微 小 橫 振 動(dòng)設(shè) 有 一 根 均 勻 柔 軟 的 細(xì) 弦 ， 平 衡 時(shí) 沿 直 線 拉 緊 ，

8、且除 受 不 隨 時(shí) 間 變 化 的 張 力 及 弦 本 身 的 重 力 外 ， 不 受其 它 外 力 的 作 用 。 考 慮 此 弦 作 微 小 橫 振 動(dòng) 的 規(guī) 律 。所 謂 “ 橫 振 動(dòng) ” 是 指 全 部 運(yùn) 動(dòng) 出 現(xiàn) 在 一 個(gè) 平 面 內(nèi) ，且弦 上 的 點(diǎn) 沿 垂 直 于 x 軸 的 方 向 運(yùn) 動(dòng) （ 如 圖 ） 。所 謂 “ 微 小 ” 是 指 運(yùn) 動(dòng) 的 幅 度 及 弦 在 任 意 位 置 處 切 線略 不 計(jì) 。 以 致 它 們 的 高 于 一 次 方 的 項(xiàng) 可 以 忽 TO 1 T 2x dxxu duu u x22 ) d() d( d uxs 微 弧 長(zhǎng) 。

9、設(shè) 線 密 度 為 ,0cos cos 21 TTx軸 方 向 受 力 為 的 方 程 。的 函 數(shù) ， 考 慮 它 所 滿 足和是 txu , 21 , 1cos ,1cos 21 很 小 ， 因 此 即 近 似 有 . 21 TT , dx d sin sin 21 sgTTu 方 向 受 力 為 其 中 d 為 重 力 。sg d sin sin 21 sgTT 并 有 tan sin 11 , ),( x txu tan sin 22 , ),d( x txxu 時(shí) 刻 的小 弧 段 在 t 加 速 度 近 似 為 , ),(22 t txu 質(zhì) 量 為 ,d s 因 此 sgTT d

10、 sin sin 21 . d ),(22 st txu 或xgxx,tux x,txuT d )( )d( . d ),( 22 xt txu xgxx,tux x,txuT d )( )d( . d ),( 22 xt txu d )( )( )d( 22 ，而 xxx,tuxx,tux x,txu 于 是xgxx,tuT d )( 22 d ),( 22 ，xt txu 22 )( xx,tuT ),( 22 。gt txu 速 度 變 化 很 快 ， 即 ),( 22 。gt txu 張 力 較 大 時(shí) 弦 振 動(dòng) 的因 此 可 忽 略 g， 得22 )( xx,tuT . ),(22

11、 t txu 222 )( xx,tua . ),( 22 t txu 方 程 222 )( xx,tua 22 ),(t txu 稱 為 一 維 波 動(dòng) 方 程 。如 果 在 振 動(dòng) 過(guò) 程 中 ， 弦 上 還 另 受 一 個(gè) 與 弦 的 振 動(dòng) 方向 平 行 的 外 力 ， 且 假 定 在 時(shí) 刻 t 弦 上 x 點(diǎn) 處 的 外 力密 度 為 F(x, t),那 么 sgTTsF d sin sin d 21 . d ),(22 st txu 經(jīng) 類 似 的 討 論 可 得 ),( 22 t txu ),(),( 時(shí) 刻 單 位 質(zhì) 量 的 弦 在 點(diǎn)是 ttxFtxf x 處 所 受 的

12、 外 力 。 222 )( ),( xx,tuatxf 自 由 項(xiàng) 稱 上 方 程 為 一 維 強(qiáng) 迫 振 動(dòng) 方 程 。 一 維 波 動(dòng) 方 程 還 可 用 于 描 述 高 頻 交 流 電 傳 輸 過(guò) 程 中電 流 和 電 壓 的 變 化 規(guī) 律 （ 高 頻 傳 輸 線 方 程 ） 。 由 于 熱 量 的 傳 導(dǎo) 過(guò) 程 總 是 表 現(xiàn) 為 溫 度 隨 時(shí) 間 和 點(diǎn) 的二 、 熱 傳 導(dǎo) 方 程位 置 的 變 化 。物 體 內(nèi) 溫 度 的 分 布 。所 以 ， 解 決 熱 傳 導(dǎo) 問(wèn) 題 都 要 歸 結(jié) 為 求應(yīng) 用 微 元 法 ， 在 物 體 內(nèi) 任 取 閉 曲 面 S， 所 包 圍 的

13、 體 積為 V。 設(shè) t 時(shí) 刻 物 體 內(nèi) 點(diǎn) M(x, y, z) 處 溫 度 為 u(x, y, z, t) , dS曲 面 元 素 的 法 向 量 為 n（ 由 內(nèi) 指 向 外 ） 。 據(jù) 熱 學(xué)中 的 Fourier 實(shí) 驗(yàn) 定 律 ， 有 d d d tSnukQ d d grad tSnuk d d grad tSuk 其 中 k 是 熱 傳 導(dǎo) 系 數(shù) 。即 負(fù) 號(hào) 是 由 于 熱 量 的 流 向 和 溫 度梯 度 的 正 向 ， 的 方 向 相 反 而 產(chǎn) 生 的 。 grad u 二 、 熱 傳 導(dǎo) 方 程據(jù) 熱 學(xué) 中 的 Fourier 實(shí) 驗(yàn) 定 律 ， 有 d d

14、d tSnukQ d d grad tSnuk d d grad tSuk 從 1t 到 2t 時(shí) 刻 經(jīng) 曲 面 S 流 入 區(qū) 域 V 的 熱 量 為 , d )d grad (21 1 tSukQ tt S 溫 度 從 ),( 1tzyxu 變 到 所 需 熱 量 為 ),( 2tzyxu , d ),(),( 122 vtzyxutzyxucQ V 熱 量 守 恒 ， 因 此.21 QQ 其 中 c 是 物 體 的 比 熱 ， 是 其 密 度 。 因 此 tSuktt S d )d grad (21 . d ),(),( 12 vtzyxutzyxucV 即,21 QQ 而 SukS

15、d grad vukV d ) div(grad .d 2 V vuk且 2Q vttucV tt d ) d ( 2 1 . d ) d (21 tvtuctt V 于 是 d )d (21 2 tvuktt V . d ) d (21 tvtuctt V 22 utu ),( 2222222 zuyuxu . 2 ck其 中 方 程 稱 為 三 維 熱 傳 導(dǎo) 方 程 。 tu )( 2222222 zuyuxu 若 物 體 內(nèi) 有 熱 源 ， 其 強(qiáng) 度 為 F(x, y, z, t), 則 對(duì) 應(yīng) 的 熱傳 導(dǎo) 方 程 為 tu ),()( 2222222 tzyxfzuyuxu . cFf 其 中 一 維 和 二 維 熱 傳 導(dǎo) 方 程 分 別 為 . )( , 22222222 yuxutuxutu 恒 溫 場(chǎng) 內(nèi) 溫 度 滿 足 Laplace 方 程 。在 氣 體 或 液 體 的 擴(kuò) 散 過(guò) 程 中 ，則 所 得 的 擴(kuò) 散 方 程 與 熱 傳 導(dǎo) 方 程 完 全 相 同 。若 擴(kuò) 散 系 數(shù) 是 常 數(shù) ， 三 、 其 它 方 程Laplace 方 程 .022222 yuxuuPoisson 方 程 .22222 yuxuuH elmholtz 方 程 .0 22222 uyuxuuu