人教A版高中數(shù)學(xué)選修二上冊第三章《空間向量的數(shù)量積運算》

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1、 教 學(xué) 目 標(biāo) ： 1.知 識 與 技 能 ： 2.過 程 與 方 法 ： 3.情 感 態(tài) 度 與 價 值 觀 ： 掌 握 空 間 向 量 數(shù) 量 積 及 其 坐 標(biāo) 表 示 ， 能 判 斷 向 量 的 共 線 與 垂 直 。 體 會 數(shù) 形 結(jié) 合 思 想 ； 培 養(yǎng) 學(xué) 生 空 間 想 象 能 力 以 及 推 理 論 證 能 力 。 培 養(yǎng) 學(xué) 生 勇 于 探 索 的 求 知 精 神 ， 養(yǎng) 成 勤 思 善 問 的 學(xué)習(xí) 習(xí) 慣 ， 構(gòu) 建 民 主 和 諧 的 課 堂 氛 圍 。 一 、 知 識 構(gòu) 建1. 空 間 向 量 的 夾 角 ：已 知 兩 非 零 向 量 ， 在 空 間 任 取

2、 一 點 O，作 ,則 叫 做 向 量 與 的 夾 角 ，記 作 ； 規(guī) 定 ： 2.面 積 公 式 ： ,a b ,OA a OB b AOB,a b a b0 ,a b O A Baa b b (1)o A B (4)oA B(3)o A B (2)o A BAOB 判 斷 :下 列 各 圖 中 的 大 小 是 否 為 給 出 向 量 的 夾 角 的 大 小 ?注 意 ： 在 兩 向 量 的 夾 角 的 定 義 中 ， 兩 向 量 必 須 是 同起 點 。 2.空 間 向 量 垂 直 ：, ,2a b a b a b 如 果 則 稱 與 互 相 垂 直 ， 記 作 ： 0a b a b ,

3、 cos , , cos ,a b a b a b a ba b a b a b a b 已 知 空 間 兩 個 非 零 向 量 ， 則 叫 做 向 量 的 數(shù) 量 積 ，記 作 ： 即 兩 非 零 向 量 ,a b 3.空 間 向 量 的 數(shù) 量 積 ：注 意 ： 兩 個 向 量 的 數(shù) 量 積 是 數(shù) 量 ， 而 不 是 向 量 ； 零 向 量 與 任 意 向 量 的 數(shù) 量 積 等 于 零 ； 符 號 中 的 “ .”在 向 量 運 算 中 不 是 乘 號 ， 既 不 能 省 略 ， 也 不 能 用 “ ”代 替 。 aO Ab BCcos.a b a ab a b 數(shù) 量 積 等 于

4、的 長 度 與在 的 方 向 上 的 投 影的 乘 積 a b 類 比 平 面 向 量 ， 你 能 說 出 的 幾 何 意 義 嗎 ？思 考OC= b cos 4.空 間 向 量 的 模 長 公 式 ： 分 配 律 ） 交 換 律 ） ()(3 ()2 )()()1 cabacba abba baba 5.空 間 向 量 的 夾 角 公 式 ：6.空 間 向 量 的 數(shù) 量 積 的 運 算律 ：思 考 ： (1) a b a c b c 由 ， 能 得 到 嗎 ？(2)對 于 向 量 ， 成 立 嗎 ？) ( )（ a b c a b c , ,a b c 2a a a 2a a ，cos ,

5、 a ba b a b 數(shù) 量 積 不 滿 足 消 去 律 、 結(jié) 合 律 7.空 間 向 量 解 題 的 三 部 曲 ：（ 1） 建 立 立 體 圖 形 與 空 間 向 量 的 聯(lián) 系 ， 用 空 間 向 量 表 示 問 題 中 涉 及 的 點 、 直 線 、 平 面 ， 把 立 體 幾 何 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 向 量 問 題 ；（ 2） 通 過 向 量 運 算 ， 研 究 點 、 直 線 、 平 面 之 間 的 位 置 關(guān) 系 以 及 它 們 之 間 距 離 和 夾 角 等 問 題 ；（ 3） 把 向 量 的 運 算 結(jié) 果 “ 翻 譯 ” 成 相 應(yīng) 的 幾 何 意義 。 簡 記 ： 轉(zhuǎn)

6、 化 、 運 算 、 還 原 基 礎(chǔ) 練 習(xí) : 2 22 2 22 2 2| | ( )| | | | | |2 2 21 2 3 0 3 623| | 23AC AB AD AAAB AD AAAB AD AB AA AD AAAC 5.已 知 在 平 行 六 面 體 中 ， AB=1,AD=2, =3 , 則 對 角 線 的 長 為 _D C B D A B C A DCBA ABCDAA ,60,90 00 ADAABABADCA AC AB AD AA 補 償 練 習(xí) ： 已 知 在 ABC中 ， BC= ， CA= ， C= ， 則 =_CABC C=向量BC與CA所成的角為BC

7、. CA= BC CA COS =58 x ( )= - 20 060 -2021 A C B 二 、 展 示 交 流討 論 要 求 ：1.小 組 長 注 意 控 制 討 論 節(jié) 奏 ， 及 時 安 排 展 示 人 ；2.討 論 從 三 個 方 面 入 手 ： 解 題 過 程 與 方 法 規(guī) 律 探 究 變 形 拓 展 。展 示 要 求 ：1.展 示 人 及 時 到 位 ， 規(guī) 范 快 速 ；2.展 示 期 間 下 面 同 學(xué) 討 論 完 畢 后 思 考 展 示 人 的解 題 過 程 做 好 點 評 準(zhǔn) 備 ， 進 一 步 完 善 學(xué) 案 。 展 示 分 工 ： 10 3 組 11 4 組 例

8、 3 1 組 9 2 組 點 評 要 求 ：1.對 錯 、 規(guī) 范 （ 步 驟 、 書 寫 ） 、 思 路 分 析 、 規(guī)律 方 法 總 結(jié) ；2.注 意 傾 聽 、 積 極 思 考 、 重 點 內(nèi) 容 記 好 筆 記 。 例 （ 10） 正 四 面 體 OABC中 ， E、 F分 別 是AB、 OC的 中 點 ，用 向 量 法 解 決 下 列 問 題 ：求 OE與 BF所 成 角 的 余 弦 值 。 OA B CE F典 例 分 析 : 2 0O A ,O B ,O C | | | | | | 1, 1, , , 60 , 21 1O E ( ), ,2 21 1O E ( ) ( )2 2

9、1 1 1( )2 2 212解 ： 設(shè) ,且則 a b c a b ca b b c c a a b b c c aa b BF c bBF a b c ba c b c a b b 1 1 1( 1)4 4 2 12 3 3|O E|= ,|BF|= ,2 2 1O E 22cos O E, = 3|O E|BF| 3 32 22O E .3又 與 所 成 角 的 余 弦 值 是BFBFBF 注 意 ： 結(jié) 果 的 符 號 。 例 2（ 11） 如 圖 ， 在 四 面 體 ABCD中 ， 已 知AB CD， AC BD， 求 證 ： AD BC.B C DA AB CD AC BD 證 明

10、 ： 由 已 知 ，0, 0AB CD AC BD , ( ) 00,AB AD AC AD AD AB ACAD CB AD CB AD BC ( ) 0, ( ) 00, 0AB AD AC AC AD ABAB AD AB AC AC AD AC AB 例 3 把 長 、 寬 分 別 為 和 2的 長 方 形 ABCD沿 對 角 線 AC折 成 的 二 面 角 。（ 1） 求 頂 點 B和 D的 距 離 ；（ 2） 求 AC與 BD所 成 的 角 的 余 弦 值 。32 060D CBA FE E F 解 ： （ 1） 分 別 過 B、 D作 AC的 垂 線 ， 垂 足 是 E、 F，由

11、 已 知 得 AC 4， DE BF= ， AE=CF 1， EF=2. 32 2 2 2 22 2 2 0| | ( )| | | | | B| 22 2( 3) 2 ( 3) 0 2 3 3 120 03 4 3 3 7| | 7, B D 7.即 頂 點 和 的 距 離 是DB DE EF FBDB DE EF FBDE EF F DE EFDE FB EF FB COSDB 0, 120 ,DE FB 22(2) AC BD EF BD ,( ) = EF0 2 0=4| | 7,|EF| 2, 4 2 7cos B,EF = = = 7| |EF| 7 2AC BD與 所 成 的 角

12、 就 是 與 所 成 的 角即 與 所DB EF DE EF FB EF DE EF EF FBDB DB EFD DB 2 7.7成 的 角 的 余 弦 值 是 拓 展 提 高 ： 2 M CEDM CE. MPMP CE MP DM MCE AMD CE CDEAMD CDE.DC DE （ ） 證 明 ： 且 為 的 中 點 ，連 結(jié) ，則 ， 又 ，平 面 ， 而 平 面 ，平 面 平 面 2 2 2 25. aAE AF=( )1 1 3A. B. C. D.2 4 4ABCD E FBC ADa a a a 已 知 空 間 四 邊 形 的 每 條 邊 和 對 角 線 長 都 等 于

13、 ， 點 、分 別 是 、 的 中 點 ,則 02 2 2 2 AB ,AC ,AD | | | | | | a, , , 60 ,121 1AE ( ), ,2 21 1AE ( )2 21 1 1 1 1( ) ( )4 4 2 2 4解 析 ： 設(shè) ,則則 a b c a b ca b b c c aa b b c c a aa b AF cAF a b ca c b c a a a 三 、 鞏 固 提 高 2 2 2a, , a 0 a ) ,a , a 1 a b cb c b c b cb 9.設(shè) 向 量 滿 足 ， (若 ， 則 的 值 是 _2 2 2 2 2 22 2 2a

14、0 a a ) ,a ) a ) a a 0a b, a 1 b 1 a ,a b c a a 2a b b1 0 1 2a b cb c c b b cb c b b b bb 解 析 ： 由 得 ， 又 (得 ( ( （ ） ，又 ， ， 又=0， =1+1+2=4 注 ： 消 元 法 E c2.已 知 a,b是 異 面 直 線 ， A,B a,C,D b, 且 AB=2,CD=1,則 a與 b所 成 的 角 等 于 （ ） , bBDbAC BA bDC a0000 90.60.45.30. DCBA 0 C AB,B BE AC,BE E,DE,AC b, b, BD b,BE BD=

15、B,b BDE, CD BDE, CD DECDE CE AB 2,CD 1,1ED CD, cos , 602ccDCEBE CDDCE DCECE 解 析 ： 過 點 作 直 線過 點 作 直 線直 線 與 直 線 交 于 點連 接 則 就 是 異 面 直 線a與 b所 成 的 角 。 又面 即 面在 直 角 中 ， 精 彩 一 練 : 2 2 2 2 2 1.1 0, 0, 0 ( )2)( ) ( ) ( )3) ( ) ( )4) ( )a b a ba b c a b cp q p qp q p q p q 判 斷 真 假 ：） 若 則 1 1 1 11 1 2 ,( )60 (

16、)90 ( )105 ( )75ABC ABC AB BBAB C BA B C D 2.如 圖 ， 在 正 三 棱 柱 中 ， 若則 與 所 成 角 的 大 小 為 ( ) 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1,( ) ( )AB AB BB C B CC CBAB C B AB BB CC CBAB CC AB CB BB CC BB CB 解 析 ： A 1C1B1A CBB1 1 1 11 2 21 1 1 1 1 , , 60 , , 180| | 2| |10 | | | | 0 02AB CC BB CBAB CB BB CCAB BBAB C B AB BBAB C B

17、 易 知 1.空 間 向 量 數(shù) 量 積 可 以 解 決 的 立 體 幾 何 問 題 ：0;a b a b 1） 線 段 的 長 （ 兩 點 間 的 距 離 ） ；2a a a 2a a ， 也 就 是 說2） 證 明 垂 直 問 題 ；( , )a b 是 非 零 向 量3） 向 量 的 夾 角 （ 兩 異 面 直 線 所 成 的 角 ） ；cos , a ba b a b 四 、 反 思 歸 納 2.數(shù) 學(xué) 思 想 、 方 法 ：數(shù) 形 結(jié) 合 、 化 歸（ 立 體 幾 何 問 題 代 數(shù) 化 的 基 本 思 考 方 法 ） 作 業(yè) 設(shè) 計 ：1.必 做 題 ： 用 空 間 向 量 坐 標(biāo) 法 解 決 學(xué) 案 第 189頁 例 2.2.選 做 題 ： 用 空 間 向 量 基 向 量 法 解 決 學(xué) 案 第 190頁 例 4. 3.探 究 題 : 1( )3AG AB AC AD 如 圖 設(shè) A是 BCD所 在 平 面 外 的 一 點 ， G是 BCD的 重 心 ,求 證 : B AC DG 五 、 激 勵 評 價心 靈 寄 語 ： 讓 優(yōu) 秀 成 為 一 種 習(xí) 慣 ， 讓 團 結(jié) 成 為 一 種 習(xí) 慣 ， 讓競 爭 成 為 一 種 習(xí) 慣 ， 再 大 的 困 難 也 會 克 服 ， 我 們期 待 著 輝 煌 業(yè) 績 。 馬 克 鋒