有限元與有限差分法基礎

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1、2021-6-9 1/23有 限 元 法 基 礎 及 有 限 差 分 法 基 礎有 限 元 法有 限 差 分 法 2021-6-9 2/162 有 限 元 法 基 礎n有 限 元 發(fā) 展 過 程n有 限 元 應 用n有 限 元 發(fā) 展 方 向 2021-6-9 3/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想n基 本 思 想 1） 將 連 續(xù) 的 求 解 系 統(tǒng) 離 散 為 一 組 由節(jié) 點 相 互 聯(lián) 在 一 起 的 單 元 組 合 體 2） 在 每 個 單 元 內(nèi) 假 設 近 似 函 數(shù) 來 分片 表 示 系 統(tǒng) 的 求 解 場 函 數(shù) 2021-6-9 4/162 有 限 元 法 的 基

2、本 思 想 2021-6-9 5/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想 2021-6-9 6/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想 2021-6-9 7/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想 2021-6-9 8/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想n 離 散 為 單 元 網(wǎng) 格 的 沖 壓 件 仍 然 要 保 證 是 一個 連 續(xù) 體 ， 單 元 與 單 元 之 間 沒 有 裂 縫 、 不能 重 疊 ， 所 有 單 元 通 過 單 元 節(jié) 點 相 互 關 聯(lián)著n 板 料 無 論 產(chǎn) 生 多 大 的 塑 性 變 形 ， 單 元 與 單元 之 間 依 然 不 會 產(chǎn) 生

3、裂 縫 、 交 叉 和 重 疊 ，關 聯(lián) 單 元 的 節(jié) 點 也 不 能 脫 開 2021-6-9 9/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想n 不 合 格 單 元 單 元 裂 縫 單 元 重 疊 2021-6-9 10/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想n 變 形 前 后 單 元 之 間 都 是 連 續(xù) 的變 形 前 的 網(wǎng) 格 變 形 后 的 網(wǎng) 格 2021-6-9 11/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想n 基 本 思 想n 通 過 在 單 元 內(nèi) 假 設 不 同 的 插 值 函 數(shù) ， 建 立 不 同的 單 元 模 型 ， 適 應 各 種 各 樣 的 變 形 模

4、式 和 受 力模 式 XF XF 2021-6-9 12/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想n有 限 元 法 分 類 1） 位 移 法 ： 基 于 最 小 勢 能 原 理 或 虛 功 原 理 2） 力 法 ： 基 于 最 小 余 能 原 理 3） 雜 交 法 ： 基 于 修 正 余 能 原 理 4） 混 合 法 ： 基 于 Reissner變 分 原 理 2021-6-9 13/162 有 限 元 法 的 基 本 思 想n位 移 法 基 本 過 程 1） 離 散 化 過 程 3） 約 束 處 理 過 程 2） 單 元 平 衡 方 程 組 裝 過 程 5） 應 變 、 應 力 回 代 過

5、 程 4） 方 程 組 求 解 過 程 2021-6-9 14/162 離 散 化 過 程n最 小 勢 能 原 理 P V A G 彈 性 體 彈 性 體 的 勢 能 peip WW 為 彈 性 體 變 形 后 所 具 有 的 內(nèi) 能 iW 為 彈 性 體 所 受 的 外 力 功 eW dVV T21 VA dVdA GuPu TT 2021-6-9 15/162 離 散 化 過 程 為 彈 性 體 的 應 變 為 彈 性 體 的 應 力 u為 彈 性 體 的 可 容 位 移 彈 性 體 處 于 平 衡 狀 態(tài) 時 ， 其 勢 能 應 為 最 小 P 0TTT VAV dVdAdV GuPu

6、0 2021-6-9 16/162 離 散 化 過 程n 單 元 插 值 關 系 eNuun 單 元 幾 何 關 系 n 單 元 本 構 關 系 Lu D eN為 單 元 形 函 數(shù) 矩 陣 L為 單 元 幾 何 微 分 算 子 為 單 元 彈 性 矩 陣 eD 0TTT vavP dvdadv GuPu 0)()()( TTTTTT v ev a eeee dvdadv GNPNuuBDBu 0TTT vv aee dvda GNPNuBDB eu 單 元 節(jié) 點 自 由 度 向 量 2021-6-9 17/162 離 散 化 過 程 0)()()( TTTTTT v ev a eeee d

7、vdadv GNuPNuuBDBu 0TTT vv aee dvdadv GNPNuBDB 0TTT vavP dvdadv GuPu B 稱 為 應 變 矩 陣 LNBfku e 單 元 平 衡 方 程 或 單 元 剛 度 方 程 k 稱 為 單 元 剛 度 矩 陣 v e dvBDBk T f 稱 為 單 元 載 荷 向 量 va dvda GNPNf TT 2021-6-9 18/162單 元 剛 度 矩 陣 的 特 性 n 對 稱 性 n 奇 異 性 n 主 元 恒 正 且 對 角 占 優(yōu) 離 散 化 過 程 2021-6-9 19/162 線 彈 性 問 題 幾 何 方 程 三 維

8、問 題 Lu wvuxz yzxy zyxzuxw ywzv xvyu zwyvxu zxyzxyzzyyxx 00 000 00 00三維問題 Lu 2021-6-9 20/162Lu wvuxz yzxy zyxzuxw ywzv xvyu zwyvxuzxyzxyzzyyxx 00 000 00 00 線 彈 性 問 題 幾 何 方 程 二 維 問 題 Lu vuxy yxyvxu yvxuxyyxx 0 0二維問題 平 面 應 力 和 平 面 應 變 狀 態(tài) 2021-6-9 21/162 線 彈 性 問 題 幾 何 方 程 二 維 問 題 二維問題 軸 對 稱 狀 態(tài) Lu wurz

9、 zrrrwzu zwrururzzzrr 0 01 0 Lu wvuxz yzxy zyxzuxw ywzv xvyu zwyvxuzxyxyzzyyxx 00 000 00 00 2021-6-9 22/162 線 彈 性 問 題 幾 何 方 程 一 維 問 題 一維問題 Lu uxxu xx Lu vuxy yxyvxu yvxuxyyyxx 0 0 2021-6-9 23/162 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 三 維 問 題 三 維 問 題 D e 22100000 02210000 00221000 0001 0001 0001)21)(1( EeDE為 彈 性 模 量 ； 為

10、 泊 松 比 2021-6-9 24/162 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 平 面 應 力 二 維 問 題 平 面 應 力 狀 態(tài) 00 yzxz 000 yzxzzz zxyzxyzzyyxx 000 xyyyxx xyyyxx zxyzxyzzyyxx xyzzyyxx 2021-6-9 25/162 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 平 面 應 力 zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxx D 2100 01 011 2 EeD xyyyxxxyyyxx E 2100 01 011 2平 面 應 力 狀 態(tài) 00000 2021-6-9 26/162 線 彈 性 問 題

11、 本 構 方 程 平 面 應 變 二 維 問 題 平 面 應 變 狀 態(tài) 000 yzxzzz 00 yzxz zxyzxyzzyyxx 00 xyzzyyxx xyzzyyxx zxyzxyzzyyxx xyyyxx 2021-6-9 27/162 00000 xyyyxxexyzzyyxx D 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 平 面 應 變 zxyzzzzxyz xyyyxxxyyyxx E 22100 01 01)21)(1(平 面 應 變 狀 態(tài) eD 2021-6-9 28/162 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 軸 對 稱 二 維 問 題 軸 對 稱 狀 態(tài) 00 yzxz

12、 00 yzxz zxyzxyzzyyxx 00 xyzzyyxx xyzzyyxx zxyzxyzzyyxx xyzzyyxx 2021-6-9 29/162 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 軸 對 稱 二 維 問 題 軸 對 稱 狀 態(tài) 00 zr 00 zr zrzrzzrr zrzzrr00 zrzzrr zrzrzzrr zrzzrr 2021-6-9 30/162 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 軸 對 稱 軸 對 稱 狀 態(tài) zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxx D rrrrrrrr 0000 221000 01 01 01)21)(1( EeD zrzzr

13、rzrzzrr E 221000 01 01 01)21)(1( 2021-6-9 31/162 線 彈 性 問 題 本 構 方 程 一 維 問 題 一 維 問 題 xxxx E E e D 2021-6-9 32/162 常 用 單 元 模 型 n 單 元 模 型 插 值 關 系一一對應n 單 元 類 型 一 維 單 元 、 二 維 單 元 、 三 維 單 元等 參 單 元 、 超 參 單 元 、 次 參 單 元 2021-6-9 33/162 常 用 單 元 模 型n 一 維 單 元 2節(jié) 點 線 單 元 1 2 1 2 3 1 2 3節(jié) 點 線 單 元梁 單 元 2021-6-9 34/

14、162 常 用 單 元 模 型n 二 維 單 元3節(jié) 點 三 角 形線 性 單 元 1 2 3 6節(jié) 點 三 角 形二 次 單 元 1 2 3 5 6 4 2021-6-9 35/162 常 用 單 元 模 型n 二 維 單 元10節(jié) 點 三 角形 三 次 單 元 10 1 2 3 6 9 4 5 7 8 4節(jié) 點 四 邊 形雙 線 性 單 元 1 2 3 4 2021-6-9 36/162 常 用 單 元 模 型n 二 維 單 元8節(jié) 點 四 邊形 二 次 單 元12節(jié) 點 四 邊形 三 次 單 元 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 1 2 3 4 11 9 5 6 10 12 202

15、1-6-9 37/162 常 用 單 元 模 型n 三 維 單 元4節(jié) 點 四 面 體線 性 單 元 10節(jié) 點 四 面體 二 次 單 元 1 2 3 4 1 10 9 8 4 7 2 3 6 5 2021-6-9 38/162 常 用 單 元 模 型n 三 維 單 元8節(jié) 點 六 面體 線 性 單 元 20節(jié) 點 六 面體 二 次 單 元 8 6 1 2 3 4 5 7 8 16 17 10 3 20 19 18 15 14 6 13 12 11 9 2 4 1 5 7 2021-6-9 39/162 常 用 單 元 模 型n 準 三 維 空 間 單 元桁 架 單 元一 維 2節(jié) 點 線 單

16、 元 +單 元 局 部 隨 體 坐 標 系 為 什 么 要 建 立 單 元 局 部 隨 體 坐 標 系 ？1.簡 化 分 析 問 題 的 復 雜 程 度 。2.在 局 部 坐 標 系 中 ， 空 間 桁 架 的 每 根 桿 每 變成 了 一 維 2節(jié) 點 線 單 元 2021-6-9 40/162 常 用 單 元 模 型n 準 三 維 空 間 單 元框 架 單 元三 維 梁 單 元 +一 維 2節(jié) 點 線 單 元 +單 元 局 部 隨 體 坐 標 系 兩 端 都 是 剛 性 聯(lián) 結 可 以 要 承 受 拉 壓 、 彎 曲 、 扭 轉(zhuǎn) 3種 變 形 模 式 框 架 單 元 的 特 點 2021-

17、6-9 41/162 常 用 單 元 模 型n 準 三 維 空 間 單 元板 單 元薄 板 單 元中 厚 板 單 元彎 曲 和 橫 向 剪 切 2種 變 形 模 式 抵 抗 板 的 變 形如 果 板 很 薄 ， 忽 略 橫 向 剪 切 抗 力 ， 認 為 抵 抗載 荷 的 主 要 因 素 是 彎 矩 2021-6-9 42/162 常 用 單 元 模 型n 準 三 維 空 間 單 元殼 單 元 抵 抗 拉 壓 變 形 的 二 維 單 元 +板 單 元 +單 元 局部 隨 體 坐 標 系 。 適 合 于 薄 殼 單 元 和 中 厚 殼 單元 從 幾 何 上 分 為 薄 殼 單 元 和 中 厚 殼

18、 單 元 組 合 單 元 2021-6-9 43/162 常 用 單 元 模 型n 準 三 維 空 間 單 元 殼 理 論 單 元 由 空 間 殼 理 論 嚴 格 構 造 的 殼 單 元 。 適 合于 薄 殼 單 元 和 中 厚 殼 單 元 退 化 單 元 由 三 維 實 體 單 元 退 化 成 的 殼 單 元 。 只 適合 于 中 厚 殼 單 元 2021-6-9 44/162 單 元 模 型 構 造 n 有 限 元 法 的 基 本 思 想 通 過 單 元 分 片 近 似 ， 在 每 個 單 元 內(nèi) 假 設近 似 函 數(shù) 來 分 片 表 示 系 統(tǒng) 的 場 函 數(shù) n 選 擇 近 似 函 數(shù)

19、簡 單 、 實 用 的 原 則在 有 限 元 法 中 ， 近 似 函 數(shù) 稱 為 插 值 函 數(shù) 2021-6-9 45/162 單 元 模 型 構 造n 插 值 函 數(shù) 一 般 都 采 用 多 項 式 函 數(shù) ， 主 要 原 因 是 : 采 用 多 項 式 插 值 函 數(shù) 比 較 容 易 推 導 單 元 平 衡方 程 ， 特 別 是 易 于 進 行 微 分 和 積 分 運 算 。隨 著 多 項 式 函 數(shù) 階 次 的 增 加 ， 可 以 提 高 有 限元 法 的 計 算 精 度 。 從 理 論 上 說 ， 無 限 提 高 多項 式 的 階 數(shù) ， 可 以 求 得 系 統(tǒng) 的 精 確 解 。

20、2021-6-9 46/162 單 元 模 型 構 造 方 法 n 整 體 坐 標 系 法n 局 部 坐 標 系 法 n Lagrange插 值 方 法n Hermite插 值 方 法 2021-6-9 47/162 單 元 模 型 構 造 方 法n 2節(jié) 點 線 單 元 1 2 o xu1 u2x1 x2ux1. 假 設 插 值 多 項 式 xaaxu 10)( 2. 利 用 節(jié) 點 值 求 a0 和 a1 2102 1101 xaau xaau 12 121 xx uua 12 12210 xx xuxua 2021-6-9 48/162 單 元 模 型 構 造 方 法3. 代 入 a0

21、和 a1， 得 插 值 多 項 式 u(x)xxx uuxx xuxuxu 12 1212 1221)( 4. 按 u1 和 u2合 并 同 類 項 ， 設 l = x2- x1 21212112 2112)( uuNNuul xxl xx ul xxul xxxu 2021-6-9 49/162 單 元 模 型 構 造 方 法n關 鍵 如 何 構 造 插 值 多 項 式 u ?二 維 問 題 三 維 問 題 ， 如 何 構 造 插 值 多 項 式 ? 2021-6-9 50/162n 收 斂 性 條 件 在 單 元 內(nèi) ， 場 函 數(shù) 必 須 是 連 續(xù) 的 ； 完 備 性 ： 插 值 多

22、項 式 的 階 次 必 須 由 低 到 高依 次 增 加 ， 不 能 出 現(xiàn) 跳 躍 現(xiàn) 象 ； 協(xié) 調(diào) 性 ： 各 單 元 邊 界 必 須 連 續(xù) ， 單 元 邊 界不 能 出 現(xiàn) 開 裂 現(xiàn) 象 。 插 值 多 項 式 收 斂 性 條 件 n 收 斂 ： 當 單 元 逐 漸 縮 小 時 ， 如 果 插 值 多 項式 滿 足 收 斂 性 條 件 ， 則 數(shù) 值 解 將 收 斂 于 精確 解 2021-6-9 51/162 插 值 多 項 式 收 斂 性 條 件n 協(xié) 調(diào) 單 元 滿 足 插 值 多 項 式 收 斂 性 條 件 和 的 單 元 n 完 備 單 元 滿 足 插 值 多 項 式 收

23、 斂 性 條 件 的 單 元ncr 階 連 續(xù) 性 插 值 多 項 式 的 第 r階 導 數(shù) 是 連 續(xù) 的 2021-6-9 52/162 插 值 多 項 式 收 斂 性 條 件n非 協(xié) 調(diào) 單 元 與 部 分 協(xié) 調(diào) 單 元 對 于 一 般 固 體 力 學 問 題 來 說 ， 協(xié) 調(diào) 性 要 求 單 元 在 變 形 時 ， 相鄰 單 元 之 間 不 應 引 起 開 裂 、 重 疊 或 其 它 不 連 續(xù) 現(xiàn) 象 。 例 如 ，梁 、 板 、 殼 等 單 元 ， 在 單 元 邊 界 不 但 要 求 位 移 是 連 續(xù) 的 ， 而且 其 一 階 導 數(shù) 也 必 須 是 連 續(xù) 的 。 板 、

24、殼 單 元 位 移 函 數(shù) 沿 單 元邊 界 的 法 向 導 數(shù) （ 轉(zhuǎn) 角 ） 的 連 續(xù) 性 一 般 比 較 難 實 現(xiàn) ， 因 此 出現(xiàn) 了 許 多 不 完 全 滿 足 協(xié) 調(diào) 性 要 求 的 “ 非 協(xié) 調(diào) 單 元 ” 或 “ 部 分協(xié) 調(diào) 單 元 ” ， 有 時 它 們 的 精 度 也 很 好 。 2021-6-9 53/162 插 值 多 項 式 選 擇 條 件 n 插 值 多 項 式 應 該 盡 可 能 滿 足 其 收 斂 性 條 件 （ 收 斂 性 ）n 由 插 值 多 項 式 所 確 定 的 場 函 數(shù) 變 化 應 該 與 局 部 坐 標系 的 選 擇 無 關 （ 各 向 同

25、 性 ） n 假 設 的 插 值 多 項 式 系 數(shù) 的 數(shù) 量 應 該 等 于 單 元 的 節(jié) 點數(shù) （ 解 的 唯 一 性 ） 選 擇 條 件 2021-6-9 54/162 插 值 多 項 式 選 擇 條 件n深 入 分 析由 收 斂 性 條 件 可 知 ， 插 值 多 項 式 中 必 須 含 有 常 數(shù) 項（ 剛 體 位 移 項 ） ， 高 階 項 的 次 數(shù) 必 須 依 次 增 加 ， 不 允 許有 跳 躍 332210)( xxxxu 3310)( xxxu 2021-6-9 55/162 插 值 多 項 式 選 擇 條 件由 選 擇 條 件 可 知 ， 插 值 多 項 式 函 數(shù)

26、 在 所 有自 由 度 方 向 上 要 滿 足 各 向 同 性 性 ， 這 樣 就 不會 隨 局 部 坐 標 系 變 化 而 改 變 了 n深 入 分 析 xyyxy,xu 3210)( 23210)( xyxy,xu 2021-6-9 56/162 插 值 多 項 式 選 擇 條 件n深 入 分 析選 擇 條 件 是 為 了 能 由 單 元 節(jié) 點 值 唯 一 確 定插 值 多 項 式 4節(jié) 點 四 邊 形 的 插 值 多 項 式 應 該 是 xyyxy,xu 3210)( 插 值 多 項 式 系 數(shù) i (i = 0,1,2,3) 也 是 4個 2021-6-9 57/162 單 元 模

27、型 構 造 整 體 坐 標 系 法n 基 本 思 想 針 對 彈 性 體 有 限 元網(wǎng) 格 建 立 一 個 統(tǒng) 一的 坐 標 系 ， 每 個 單元 的 插 值 多 項 式 都在 這 個 坐 標 系 上 建立 y x o 彈 性 體 2021-6-9 58/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法n 2節(jié) 點 線 單 元 1 2 o xu1 u2x1 x2ux1. 假 設 插 值 多 項 式 xaaxu 10)( 2. 利 用 節(jié) 點 值 求 a0 和 a1 2102 1101 xaau xaau 12 121 xx uua 12 12210 xx xuxua 2021-6-9 5

28、9/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法3. 代 入 a0 和 a1， 得 插 值 多 項 式 u(x)xxx uuxx xuxuxu 12 1212 1221)( 4. 按 u1 和 u2合 并 同 類 項 ， 設 l = x2- x1 21212112 2112)( uuNNuul xxl xx ul xxul xxxu 2021-6-9 60/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法l xxN 2 1 11 1 2 2 1 2 2( ) euu x N u N u N N u Nul xxN 12 N1 和 N2 稱 為 單 元 的 形 函 數(shù) ；N 稱

29、為 單 元 的 形 函 數(shù) 矩 陣 ；ue 稱 為 單 元 節(jié) 點 位 移 向 量 。 n 2節(jié) 點 線 的 單 元 形 函 數(shù) 2021-6-9 61/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法n 二 維 3節(jié) 點 三 角 形 單 元 (x1 , y1) (u1 , v1) 1 y x o v 3 2 (x2 , y2) (x3 , y3) u (u3 , v3) (u2 , v2) (u , v) (x , y) 建 立 整 體坐 標 系 oxy 2021-6-9 62/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法1. 假 設 插 值 多 項 式 yxyxu 210)

30、,( 2. 首 先 ， 利 用 節(jié) 點 值 求 0 、 1 和 2 n 二 維 3節(jié) 點 三 角 形 單 元 323103 222102 121101 yxu yxu yxu yxyxv 210),( 2021-6-9 63/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法)(21 )(21 )(21 3322112 3322111 3322110 ucucucA ubububA uauauaA 33 22 1111121 yx yx yxAA為 單 元 面 積 2021-6-9 64/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法231 321 13311 xxc yyb yx

31、yxa 312 132 21122 xxc yyb yxyxa 123 213 32233 xxc yyb yxyxa 3. 將 0 、 1 和 2 代 入 插 值 多 項 式 ，按 u1、 u2、 u3合 并 同 類 項 332211),( uNuNuNyxu 2021-6-9 65/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法)(21 )(21 )(21 3333 2222 1111 ycxbaAN ycxbaAN ycxbaAN 4. 同 理 可 得 332211),( vNvNvNyxv 2021-6-9 66/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法5. 單

32、元 插 值 多 項 式 為 332211 332211),( ),( vNvNvNyxv uNuNuNyxu )(21 )(21 )(21 3333 2222 1111 ycxbaAN ycxbaAN ycxbaAN 2021-6-9 67/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法 332211321 321 000 000 vuvuvuNNN NNNvu6. 單 元 插 值 多 項 式 寫 成 矩 陣 形 式 （ 常 用 ） 2021-6-9 68/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法 321321321321 000 000 vvvuuuNNNNNNvu7.

33、 單 元 插 值 多 項 式 的 另 一 種 矩 陣 形 式 （ 不 常 用 ） 2021-6-9 69/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法n 4節(jié) 點 四 面 體 單 元 2 1 (u1 , v1 , w1) x y z 4 3 (x1 , y1 , z1) (x3 , y3 , z3) (x4 , y4 , z4) (u3 , v3 , w3) (u2 , v2 , w2) (x2 , y2 , z2) (u 4 , v4 , w4) (x , y , z) (u , v , w) 2021-6-9 70/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法zyxzy

34、xw zyxzyxv zyxzyxu 4210 4210 4210),( ),( ),( 1. 假 設 插 值 多 項 式 44332211 44332211 44332211),( ),( ),( wNwNwNwNzyxw vNvNvNvNzyxv uNuNuNuNzyxu 2. 插 值 多 項 式 為 2021-6-9 71/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法)(61 zdycxbaVN iiiii （ i=1,2,3,4） 444 333 2221 zyx zyx zyxa 44 33 221 111 zy zy zyb 44 33 221 111 zx zx zxc

35、 11144 33 221 yx yx yxd 444 333 222 111111161 zyx zyx zyx zyxV 循 環(huán) 輪 換 腳 標 1、 2、 3、 4，相 應 可 以 得 到 a2， b2 ， c2 ， d2 、 a3 ， b3 ， c3 ， d3 、 a4 ， b4 ， c4 ， d4 2021-6-9 72/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法 444333 2221114321 4321 4321 00000000 00000000 00000000 wvuwvuwvuwvuNNNN NNNN NNNNwvu3. 單 元 插 值 多 項 式 寫 成

36、矩 陣 形 式 （ 常 用 ） 2021-6-9 73/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法4. 單 元 插 值 多 項 式 另 一 種 矩 陣 形 式 （ 不 常 用 ） 432143 214321432143214321 00000000 00000000 00000000 wwwwvvvvuuuuNNNNNNNNNNNNwvu 2021-6-9 74/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法n 從 理 論 上 講 ， 整 體 坐 標 系 法 可 以 求 任 意 單 元 的 形 函 數(shù) ，但 計 算 過 程 太 復 雜n 只 能 求 一 維 2節(jié) 點 線 單

37、 元 、 二 維 3節(jié) 點 三 角 形 單 元 和 三維 4節(jié) 點 四 面 體 單 元 3種 簡 單 單 元 的 形 函 數(shù)n 復 雜 的 或 二 次 以 上 的 單 元 必 須 采 用 局 部 坐 標 系 法 求n 位 移 場 u 是 形 函 數(shù) N i 的 線 性 組 合 ， 因 此 形 函 數(shù) Ni同 樣具 有 插 值 多 項 式 的 特 性 2021-6-9 75/162 單 元 剛 度 矩 陣 2節(jié) 點 線 單 元n 一 維 2節(jié) 點 線 單 元n 單 元 插 值 關 系 eNuun 單 元 幾 何 關 系 n 單 元 本 構 關 系 Lu D eN=N1 N2 De=E 21uue

38、uxL lxxN lxxN /)( /)( 12 21 2021-6-9 76/162 單 元 剛 度 矩 陣 2節(jié) 點 線 單 元n 單 元 剛 度 矩 陣 v e dvBDBk T v e dvBDBk T x y z e dxdydzBDBT x e dxA BDBTA為 單 元 截 面 積 ； l為 單 元 長 度n 矩 陣 B LNBLNB / 21 xNxN /1/1 llBDB eAl T 11 11lAE/1/1/1 /1 llEllAl 2021-6-9 77/162 單 元 剛 度 矩 陣 三 角 形 單 元n 二 維 3角 形 單 元n 單 元 插 值 關 系 eNuu

39、T332211 vuvuvue u 321 321 000 000 NNN NNNN )(21 )(21)(21 3333 22221111 ycxbaAN ycxbaANycxbaAN 2021-6-9 78/162 單 元 剛 度 矩 陣 三 角 形 單 元n 單 元 幾 何 關 系 Lu Lu vuxy yx xyyyxx 0 0 2021-6-9 79/162 單 元 剛 度 矩 陣 三 角 形 單 元n 單 元 本 構 關 系 D e xyyyxxxyyyxx E 2100 01 011 2平 面 應 力 問 題 2021-6-9 80/162 單 元 剛 度 矩 陣 三 角 形 單

40、 元n 矩 陣 B LNBLNB xNyNxNyNxNyN yNyNyN xNxNxN 332211 321 321 000 000 332211 321 321 000 00021 bcbcbc ccc bbbA 2021-6-9 81/162 單 元 剛 度 矩 陣 三 角 形 單 元n 單 元 剛 度 矩 陣 v e dvBDBk T v e dvBDBk T x y z e dxdydzBDBT x y e dxdyh BDBTh為 單 元 厚 度BDB ehA Tk為 對 稱 的 6*6常 數(shù) 矩 陣A為 單 元 面 積 2021-6-9 82/162 作 業(yè)n 求 4節(jié) 點 四 面

41、 體單 元 的 單 元 剛度 矩 陣 2 1 (u1 , v1 , w1) x y z 4 3 (x1 , y1 , z1) (x3 , y3 , z3) (x4 , y4 , z4) (u3 , v3 , w3) (u2 , v2 , w2) (x2 , y2 , z2) (u 4 , v4 , w4) (x , y , z) (u , v , w) 2021-6-9 83/162 單 元 模 型 構 造 整 體 坐 標 系 法n 單 元 形 函 數(shù) 的 特 性正 規(guī) 性 ： 單 元 形 函 數(shù) 之 和 等 于 1。 正 交 性 ： 形 函 數(shù) 在 本 節(jié) 點 的 值 等 于 1，在 其 它

42、 節(jié) 點 的 值 等 于 0。 l xxN 21 l xxN 12 例 如 : 2節(jié) 點 線 單 元 形 函 數(shù) 2021-6-9 84/162 單 元 模 型 等 參 單 元n 等 參 單 元 單 元 內(nèi) 任 意 一 點 的 位 移 u與 單 元 節(jié) 點 位 移 ue之 間 的 關 系 為 eNuu一 般 單 元 坐 標 的 插 值 關 系 也 采 用 與 位 移 插值 關 系 相 同 的 變 換 關 系 即 單 元 內(nèi) 任 意 一 點的 坐 標 x與 單 元 節(jié) 點 坐 標 xe之 間 的 關 系 為 eNxx 2021-6-9 85/162 單 元 模 型 等 參 單 元n 等 參 單

43、元凡 是 幾 何 形 狀 和 位 移 場 采 用 同 階 同 參 數(shù)插 值 關 系 來 描 述 的 單 元 ， 稱 為 等 參 單 元 前 面 介 紹 的 所 有 單 元 都 屬 于 等 參 單 元 在 描 述 單 元 的 幾 何 形 狀 和 位 移 場 時 ， 并不 一 定 非 采 用 同 階 插 值 關 系 2021-6-9 86/162 單 元 模 型 等 參 單 元 332211321 321 000 000 vuvuvuNNN NNNvu 332211321 321 000 000 yxyxyxNNN NNNyx n 等 參 單 元3節(jié) 點 三 角 形 等 參 單 元 2021-6-

44、9 87/162 單 元 模 型 等 參 單 元n 超 參 單 元如 果 幾 何 形 狀 插 值 函 數(shù) 的 階 數(shù) 高 于 位 移場 插 值 函 數(shù) 的 階 數(shù) ， 稱 為 超 參 單 元 n 次 參 單 元如 果 幾 何 形 狀 插 值 函 數(shù) 的 階 數(shù) 低 于 位 移場 插 值 函 數(shù) 的 階 數(shù) ， 稱 為 次 參 單 元 2021-6-9 88/162 單 元 平 衡 方 程 組 裝 過 程 n 為 什 么 要 組 裝 ? 2 F 1 3 消 除 內(nèi) 力n 組 裝 的 原 則 是 什 么 ? 單 元 自 由 度 與 結構 自 由 度 對 應 2021-6-9 89/162 單 元

45、平 衡 方 程 組 裝 過 程 2 F 1 3 U3U4 U2 U1 U 5U6 654321UUUUUUU結 構 自 由 度 向 量 U 2021-6-9 90/162 單 元 平 衡 方 程 組 裝 過 程 2 1 U3U4 U2 U11 u1u2u 3u4 3 U611 U2 U1 2 u1u2 U5u3u4 43214321 UUUUuuuueu 652 2021-6-9 91/162 單 元 平 衡 方 程 組 裝 過 程 141312114321144143142141 134133132131 124123122121 1141131121114321 4321 ffffuuuu

46、kkkk kkkk kkkk kkkk2 1 U3U4 U2 U11 u1u2u3u42 2021-6-9 92/162 單 元 平 衡 方 程 組 裝 過 程 00000000 000000 00 00 00 00654321 654321 14131211654321144143142141 134133132131 124123122121 114113112111 ffffUUUUUUkkkk kkkk kkkk kkkk組 裝 單 元 2021-6-9 93/162 單 元 平 衡 方 程 組 裝 過 程 3 U611 U2 U1 2u1u2 U5u3u4 2423222143212

47、44243242241 234233232231 224223222221 2142132122116521 6521 ffffuuuukkkk kkkk kkkk kkkk 2021-6-9 94/162 單 元 平 衡 方 程 組 裝 過 程 24231413 2212 2111654321244243242241 234233232231 144143142141 134133132131 224223124123222122221121 214213114113212112211111 00 00 00 00654321 654321 ffff ff ffUUUUUUkkkk kkkk

48、 kkkk kkkk kkkkkkkk kkkkkkkk再 組 裝 單 元 FKU 總 體 剛 度 方 程 K 稱 為 總 體 剛 度 矩 陣 U 稱 為 位 移 向 量 F 稱 為 載 荷 向 量 2021-6-9 95/162 總 體 剛 度 矩 陣 K的 特 性 n 對 稱 性 n 奇 異 性 n 稀 疏 性 n 非 零 元 素 帶 狀 分 布 2021-6-9 96/162 約 束 處 理 過 程 n 為 什 么 要 約 束 處 理 ?總 體 平 衡 方 程 組 是 奇 異 的消 除 無 限 制 的 剛 體 運 動 使 總 體 平 衡 方 程 組 存 在 唯 一 一 組 解 2021-

49、6-9 97/162 約 束 處 理 過 程 邊 界 條 件n 邊 界 條 件 分 類 力 (載 荷 )邊 界 條 件位 移 邊 界 條 件 集中載荷力 表面分布力 自重力熱交換引起的溫度載荷 固定位移約束 強制位移約束 關聯(lián)位移約束 002 .U 005 .U 011 .U 514 .U CkUU 78 2021-6-9 98/162 約 束 處 理 過 程 模 型 簡 化 xy U 2021-6-9 99/162 約 束 處 理 過 程 模 型 簡 化y xU 2021-6-9 100/162 約 束 處 理 過 程 約 束 方 程123 456 789 101112y xU0.0321

50、UUU 0.012963 VVVV UUUU 121110 2021-6-9 101/162 約 束 處 理 過 程 約 束 處 理 方 法n 位 移 約 束 處 理 方 法 賦 0賦 1法 乘 大 數(shù) 法 2021-6-9 102/162 約 束 處 理 過 程 賦 0賦 1法n 強 制 位 移 約 束 條 件 處 理 U4=CFKU 654321654321666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 FFFFFFUUUUUUKKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK

51、KKKKKK KKKKKK 2021-6-9 103/162 約 束 處 理 過 程 賦 0賦 1法n 強 制 位 移 約 束 條 件 處 理 U4=C 654321654321666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 FFFFFFUUUUUUKKCKKKK KKCKKKK KKCKKKK KKCKKKK KKCKKKK KKCKKKK CKF CKF CKF CKF CKF CKFUUUUUUKK KK KK KK KK KK 646 545 444 343 242 141654

52、3216665 5655 4645 3635 2625 1615000000 2021-6-9 104/162 約 束 處 理 過 程 賦 0賦 1法n 有 6個 方 程 ， 5個 未 知 數(shù) ， 如 果 約 束 方 程 可以 消 除 有 限 元 平 衡 方 程 組 的 奇 異 性 ， 則 取任 意 5個 方 程 聯(lián) 立 求 解 ， 都 會 得 到 方 程 組 的唯 一 一 組 解 。 n 系 數(shù) 矩 陣 由 原 來 的 對 稱 的 變 成 了 非 對 稱 的 ，這 對 于 大 規(guī) 模 有 限 元 方 程 組 求 解 是 十 分 不利 的 ， 采 用 相 同 的 求 解 方 法 ， 在 求 解

53、 時 間和 矩 陣 存 貯 容 量 方 面 都 增 加 了 一 倍 。 2021-6-9 105/162 約 束 處 理 過 程 賦 0賦 1法 CKF CKF CKF CKF CKF CKFUUUUUUKKKKK KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK 646 545 444 343 242 1416543216665636261 5655535251 4645434241 3635333231 2625232221 1615131211 000000 000000為 了 保 證 系 數(shù) 矩 陣 的 對 稱 性 ， 去 掉方 程 組 第 4行 2021-6-9 106/1

54、62 CKF CKF CKF CKF CKFUUUUUUKKKKK KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK 646 545 343 242 1416543216665636261 5655535251 3635333231 2625232221 1615131211 000 000000 000 約 束 處 理 過 程 賦 0賦 1法引 入 強 制 位 移 約 束 方 程 U4=C， 使方 程 組 求 解 時 直 接 將 自 由 度 U4求 出 C1 2021-6-9 107/162 約 束 處 理 過 程 賦 0賦 1法n 固 定 位 移 約 束 條 件 處 理 U4=0 65321

55、6543216665636261 5655535251 3635333231 2625232221 1615131211 000 001000 00 0 FFFFFUUUUUUKKKKK KKKKK KKKKK KKKKK KKKKK 2021-6-9 108/162 約 束 處 理 過 程 賦 0賦 1法n 基 本 原 理 利 用 初 等 變 換 對 求 解 方 程 組 進 行 相 同 的行 列 變 換 ， 既 保 證 方 程 組 解 不 會 改 變 ，又 可 以 保 持 方 程 組 系 數(shù) 矩 陣 的 對 稱 性 。 在 進 行 初 等 變 換 時 ， 只 要 保 證 對 方 程 組系 數(shù)

56、 矩 陣 做 相 同 的 行 列 變 換 ， 就 可 以 保持 方 程 組 系 數(shù) 矩 陣 的 對 稱 性 。 2021-6-9 109/162 約 束 處 理 過 程 乘 大 數(shù) 法n乘 大 數(shù) 法n 基 本 原 理 利 用 矩 陣 的 初 等 變 換 不 改 變 方 程 組 解的 思 想 。 2021-6-9 110/162 654321654321666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 FFFFFFUUUUUUKKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKK

57、KK KKKKKK 約 束 處 理 過 程 乘 大 數(shù) 法n 強 制 位 移 邊 界 條 件 CU 4 2021-6-9 111/162 約 束 處 理 過 程 乘 大 數(shù) 法CU 4強 制 約 束 方 程 ACAA是 一 個 大 數(shù) ， 是 系 數(shù) 矩 陣 中 對 角 線 元素 K44的 1010倍 量 級 以 上 為 什 么 要 乘 以 大 數(shù) A ？放 大 位 移 約 束 方 程 的 優(yōu) 勢 2021-6-9 112/162 654 321654321666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 1615

58、14131211 FFACF FFFUUUUUUKKKKKK KKKKKK KKAKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK 約 束 處 理 過 程 乘 大 數(shù) 法n 強 制 位 移 邊 界 條 件 CU 4 2021-6-9 113/162 約 束 處 理 過 程 乘 大 數(shù) 法n 固 定 位 移 邊 界 條 件 C = 0 約 束 后 的 方 程 組 簡 化 為 654321654321666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 FFFFFFUUUUUUKKKKKK KK

59、KKKK KKAKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK 654 321654321665646362 655545352 645444342 635343332 625242322 615141312 FFACF FFFUUUUUUKKKKK KKKKK KKAKKK KKKKK KKKKK KKKKK 2021-6-9 114/162 約 束 處 理 過 程 兩 種 方 法 比 較n 賦 0賦 1法 在 約 束 處 理 過 程 中 是 嚴 格 精 確 的 ，而 乘 大 數(shù) 法 是 一 種 近 似 約 束 處 理 方 法 ， 它 的精 度 取 決 于 所 乘 大 數(shù) A值 兩 種

60、方 法 都 可 以 消 除 有 限 元 平 衡 方 程 的 奇 異性 ， 得 到 符 合 實 際 邊 界 條 件 的 唯 一 一 組 解 。但 兩 種 方 法 還 是 有 很 大 的 區(qū) 別 2021-6-9 115/162 約 束 處 理 過 程 兩 種 方 法 比 較n 采 用 乘 大 數(shù) 法 約 束 處 理 后 的 有 限 元 平 衡 方 程在 求 解 時 可 能 造 成 解 的 失 真 ， 大 數(shù) A值 越 大可 能 解 的 偏 差 會 越 大 ， 而 賦 0賦 1法 就 不 會 出現(xiàn) 類 似 的 問 題 ， 它 在 約 束 過 程 和 求 解 過 程 都是 精 確 的n 乘 大 數(shù)

61、法 相 對 于 賦 0賦 1法 在 約 束 處 理 過 程 上簡 單 一 些 2021-6-9 116/162 約 束 處 理 過 程 兩 種 方 法 比 較n 賦 0賦 1法 實 際 上 是 將 關 聯(lián) 位 移 約 束 方 程 代 入 到有 限 元 平 衡 方 程 中 的 ， 是 代 入 法 。 而 乘 大 數(shù) 是將 占 絕 對 優(yōu) 勢 的 關 聯(lián) 位 移 約 束 方 程 合 并 到 有 限元 平 衡 方 程 中 的 ， 是 罰 方 法 ， 計 算 誤 差 來 自 于合 并 過 程 ， 計 算 精 度 取 決 于 關 聯(lián) 位 移 約 束 方 程的 優(yōu) 勢 大 小n 商 業(yè) 軟 件 中 ， 位

62、 移 邊 界 條 件 的 約 束 處 理 都 采 用賦 0賦 1法 ， 乘 大 數(shù) 很 少 被 采 用 主 要 原 因 是 它 是一 種 近 似 方 法 ， 而 且 大 數(shù) 的 大 小 也 不 好 確 定 ，有 時 還 會 造 成 求 解 失 敗 2021-6-9 117/162 約 束 處 理 過 程 彈 簧 單 元假 設 柔 性 彈 簧 kO XY U4f f = kU4 k 2021-6-9 118/162彈 簧 約 束 方 程 f = kU4 654321654321666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 26252423

63、2221 161514131211 FFFFFFUUUUUUKKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK 654 3216543213616 FF fFFF 65 4321FFkUFFF 654321654321666564 565554 4645 363534 262524 161514 FUUUUUUKKK KKK KKk KKK KKK KKK 約 束 處 理 過 程 彈 簧 單 元 2021-6-9 119/162 方 程 組 求 解 過 程 特 點n 方 程 組 求 解 有 限 元 計 算 過 程 中 很 重 要 的 一 部分 ， 在 有 限 元

64、 法 的 發(fā) 展 過 程 中 ， 有 限 元 方 程的 求 解 效 率 一 直 是 其 應 用 的 最 大 瓶 頸 之 一 n 有 限 元 方 程 組 的 特 點 ： 有 限 元 方 程 組 的 系 數(shù) 矩 陣 具 有 對 稱 、 稀 疏 、帶 狀 分 布 以 及 正 定 、 主 元 占 優(yōu) 。 有 效 地 利 用這 些 特 點 ， 以 減 少 系 數(shù) 矩 陣 的 存 貯 量 ， 提 高方 程 組 求 解 效 率 2021-6-9 120/162 方 程 組 求 解 過 程 分 類 比 較n 線 性 方 程 組 的 解 法 主 要 分 兩 大 類 : 直 接 解 法 ： 以 高 斯 消 去 法

65、 基 礎 ， 以 等 帶 寬 或 變 帶 寬 方 式 存 貯 系數(shù) 矩 陣 內(nèi) 元 素 ， 對 于 求 解 規(guī) 模 比 較 大 的 問 題 ， 要 存 貯 的 元 素非 常 巨 大 。 迭 代 解 法 ： 只 需 要 存 貯 系 數(shù) 矩 陣 中 非 零 元 素 ， 存 貯 量 很 小 ， 一般 是 變 帶 寬 存 貯 量 的 20%或 更 少 ， 有 些 算 法 的 求 解 效 率 也 非常 高 ， 適 合 求 解 大 規(guī) 模 線 性 方 程 組 。 但 是 這 種 解 法 對 接 近 病態(tài) 的 方 程 組 很 難 保 證 收 斂 性 。 2021-6-9 121/162 方 程 組 求 解

66、過 程 帶 寬 定 義n 有 限 元 方 程 組 系 數(shù) 矩 陣 是 稀 疏 的 、 非 零 元 素 呈 帶 狀 分 布 ，帶 寬 就 是 它 的 寬 度 ， 帶 寬 的 大 小 是 由 系 統(tǒng) 有 限 元 網(wǎng) 格 的節(jié) 點 號 排 序 決 定 的 ， 具 體 求 法 是 帶 寬 =(單 元 最 大 節(jié) 點 號 之 差 +1)*節(jié) 點 自 由 度 數(shù) n 帶 寬 是 網(wǎng) 格 節(jié) 點 標 注 方 法 直 接 決 定 的 ， 不 同 標 注 方 法 帶 寬可 能 相 關 很 大 2021-6-9 122/162 方 程 組 求 解 過 程 帶 寬n 帶 寬 是 網(wǎng) 格 節(jié) 點 標 注 方 法 直 接 決 定 的 ， 不 同標 注 方 法 帶 寬 可 能 相 關 很 大 1 2 3 4 5 6 9 10 7 8 11 12 14 13 16 15 20 19 18 17 21 22 23 24 28 26 27 25 1 2 3 4 5 6 9 10 7 8 11 12 14 13 16 15 20 19 18 17 21 22 23 24 28 26 27 25 1 2 3 4 5 6 9