種自然主義的數(shù)學哲學

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1、1 一種自然主義的數(shù)學哲學葉峰 （北京大學哲學系）yefeng http:/ 2 一種自然主義的數(shù)學哲學 自 然 主 義 是 當 代 主 要 哲 學 思 潮 之 一 。 筆 者 最近 幾 年 在 自 然 主 義 框 架 下 做 了 一 些 數(shù) 學 哲 學 方面 的 研 究 工 作 ， 包 括 嘗 試 論 證 自 然 主 義 蘊 涵 數(shù)學 唯 名 論 ， 從 自 然 主 義 的 角 度 分 析 當 前 唯 名 論或 反 實 在 論 數(shù) 學 哲 學 的 不 足 ， 在 自 然 主 義 的 框架 下 探 索 對 經 典 數(shù) 學 的 可 應 用 性 的 邏 輯 解 釋 ，以 及 在 自 然 主 義 的

2、 框 架 下 分 析 邏 輯 與 算 術 的 分析 性 、 先 天 性 與 必 然 性 ， 分 析 數(shù) 學 的 客 觀 性 等等 。摘要 3 一種自然主義的數(shù)學哲學 這 個 報 告 先 簡 要 介 紹 什 么 是 自 然 主 義 （ 第 1節(jié) ） ， 當 前 接 受 自 然 主 義 的 各 種 數(shù) 學 哲 學 派 別（ 第 2節(jié) ） ， 及 筆 者 所 接 受 的 一 種 徹 底 的 自 然 主義 （ 第 3節(jié) ） 。 然 后 它 將 介 紹 筆 者 的 三 篇 論 文 的內 容 。 第 一 篇 試 圖 論 證 這 種 徹 底 的 自 然 主 義 蘊涵 數(shù) 學 唯 名 論 （ 第 4節(jié) ） ；

3、 第 二 篇 提 出 唯 名 論 數(shù)學 哲 學 應 該 完 成 的 任 務 ， 討 論 當 前 各 種 唯 名 論數(shù) 學 哲 學 的 不 足 （ 第 5節(jié) ） ； 第 三 篇 介 紹 在 自 然主 義 框 架 下 解 釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 的 一 種 策 略（ 第 6節(jié) ） 。 摘要 4 一種自然主義的數(shù)學哲學 三 篇 論 文 如 下 ： Naturalism and Abstract Entities， forthcoming in International Studies in the Philosophy of Science. What anti-realism in ph

4、ilosophy of mathematics must offer， forthcoming in Synthese. Online First Version: http:/ The applicability of mathematics as a scientific and a logical problem forthcoming in Philosophia Mathematica, Advance Access Version: http:/philmat.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/nkp014摘要 5 一種自然主義的數(shù)學哲

5、學 1、什么是自然主義？ 6 一種自然主義的數(shù)學哲學1、什么是自然主義？ 哲 學 是 世 界 觀l 究 竟 什 么 事 物 存 在 ？ 物 體 ， 現(xiàn) 象 ， 靈 魂 ， 共 相 ， 抽 象 實 體 ， 經 驗 ？l 我 們 自 身 是 什 么 ？ 我 自 己 是 什 么 ？ 物 理 系 統(tǒng) ， 具 有 意 識 屬 性 的 生 物 體 ， 先 驗 自 我 ， 靈 魂 ？l 我 們 怎 么 認 識 存 在 著 的 事 物 ？ 經 驗 ， 直 覺 ， 先 定 和 諧 ， 靈 魂 的 回 憶 ， 物 理 相 互 作 用 ？l 什 么 是 意 義 、 真 理 、 可 能 性 、 意 識 、 意 向 性

6、 、 自 由 意 志 、倫 理 原 則 ?什么是哲學？ 7 一種自然主義的數(shù)學哲學1、什么是自然主義？ 科 學 方 法 是 獲 得 知 識 的 最 可 靠 方 法 ， 沒 有 優(yōu) 于 科 學 方法 的 所 謂 第 一 哲 學 （ First Philosophy） 方 法 。（ 蒯 因 ）l 與 先 驗 哲 學 相 對 立 。 接 受 當 前 的 科 學 結 論 是 最 理 性 的 態(tài) 度 ， 雖 然 當 前 科 學的 結 論 可 能 再 被 修 改 。 還 未 斷 言 我 們 自 身 是 什 么 ， 認 識 過 程 是 什 么 。l 一 個 靈 魂 或 “ 先 驗 自 我 （ transce

7、ndental ego） ” 在 用 科學 方 法 認 識 “ 外 部 世 界 ” ？方法論自然主義 8 一種自然主義的數(shù)學哲學1、什么是自然主義？ 當 前 的 科 學 結 論 蘊 涵 著 ,宇 宙 是 物 質 的 ， 而 且 人 類 自 身也 是 物 質 的 ， 是 進 化 的 結 果 ， 沒 有 非 物 質 的 心 靈 實 體 ，即 科 學 反 對 實 體 二 元 論 。 但 還 有 一 些 分 歧l 物 理 主 義 ： 心 理 過 程 原 則 上 是 物 理 過 程 ； l 屬 性 二 元 論 ： 心 靈 屬 性 是 一 些 復 雜 系 統(tǒng) 如 大 腦 具 有 的 ， 原 則上 不 可

8、還 原 為 物 理 屬 性 的 屬 性 ； 是 否 接 受 方 法 論 自 然 主 義 蘊 涵 著 必 須 接 受 物 理 主 義 ，這 還 有 爭 議 。從方法論自然主義到物理主義 9 一種自然主義的數(shù)學哲學1、什么是自然主義？ 存 在 著 的 就 是 物 理 對 象 。 人 類 是 復 雜 物 理 系 統(tǒng) 。 所 有 屬 性 、 規(guī) 律 “ 原 則 上 ” 可 歸 約 為 物 理 屬 性 與 定 律l 不 考 慮 計 算 復 雜 性 的 話 ， 沒 有 什 么 屬 性 與 規(guī) 律 原 則 上 不 可 歸約 ； l 給 定 所 有 基 本 粒 子 、 它 們 的 物 理 狀 態(tài) 及 它 們

9、遵 從 的 物 理 定 律 ，一 切 其 它 屬 性 （ 心 理 、 倫 理 、 美 學 等 屬 性 ） 就 都 確 定 。 認 知 過 程 是 物 理 過 程 。 意 義 、 真 理 等 等 都 要 在 物 理 主 義 的 框 架 下 被 理 解 。作為一種世界觀的物理主義 10 一種自然主義的數(shù)學哲學1、什么是自然主義？ D. Papineau: Philosophical Naturalism, Oxford: Blackwell D. Papineau： Naturalism, in Stanford Encyclopedia of Philosophy參考文獻 11 一種自然主義的數(shù)

10、學哲學 2、自然主義與當代數(shù)學哲學 12 一種自然主義的數(shù)學哲學2、自然主義與當代數(shù)學哲學 多 數(shù) 當 代 數(shù) 學 哲 學 研 究 者 接 受 方 法 論 自 然 主義 ， 即 ：l 承 認 現(xiàn) 代 科 學 的 結 論 ， 在 此 基 礎 上 考 慮 數(shù) 學 哲 學問 題 ，l 承 認 現(xiàn) 代 科 學 的 方 法 （ 包 括 概 念 分 析 、 邏 輯 推 理 、及 假 說 -演 繹 -觀 察 驗 證 等 方 法 ） 是 獲 得 知 識 的 最可 靠 方 法 ， l 沒 有 嘗 試 所 謂 超 驗 （ transcendental） 方 法 。l 沒 有 假 設 某 種 在 自 然 主 義 的

11、 框 架 下 不 可 解 釋 的 直覺 。誰接受自然主義？ 13 一種自然主義的數(shù)學哲學2、自然主義與當代數(shù)學哲學 哥 德 爾 是 例 外 ：l 現(xiàn) 代 科 學 的 唯 物 主 義 是 錯 的l 抽 象 直 觀 是 認 識 數(shù) 學 公 理 的 主 要 途 徑誰接受自然主義？ 14 一種自然主義的數(shù)學哲學2、自然主義與當代數(shù)學哲學 當 代 數(shù) 學 哲 學 的 核 心 問 題 ， 是 關 于 數(shù) 學 對 象 的 本 體 論問 題 ， 即 是 否 存 在 著 抽 象 數(shù) 學 對 象 。 實 在 論 ： 抽 象 數(shù) 學 對 象 存 在 ， 數(shù) 學 定 理 是 關 于 抽 象 數(shù)學 對 象 的 真 理

12、。l 難 題 ： 我 們 如 何 可 能 獲 得 關 于 不 存 在 于 時 空 之 中 的 抽 象 數(shù) 學對 象 的 知 識 ？ 唯 名 論 （ 或 反 實 在 論 ） ： 不 存 在 所 謂 抽 象 數(shù) 學 對 象（ 或 它 們 不 獨 立 于 我 們 的 語 言 與 思 想 存 在 ） 。 l 難 題 ： 數(shù) 學 定 理 還 是 真 理 嗎 ？ 如 不 是 ， 數(shù) 學 如 何 可 能 成 為 科學 的 基 礎 ， 在 科 學 應 用 中 得 出 真 理 ？當代數(shù)學哲學的核心問題是什么？ 15 一種自然主義的數(shù)學哲學2、自然主義與當代數(shù)學哲學 蒯 因 的 實 用 主 義 實 在 論 ： 科

13、 學 必 須 用 數(shù) 學 ， 數(shù) 學 應用 不 可 或 缺 地 承 諾 抽 象 數(shù) 學 對 象 ， 因 此 科 學 的 成 功核 證 了 （ justify） 抽 象 數(shù) 學 對 象 存 在 。 Burgess的 反 反 實 在 論 ： 數(shù) 學 與 其 它 科 學 分 支 一樣 ， 是 科 學 的 分 支 ， 方 法 論 自 然 主 義 要 求 我 們 一 樣接 受 數(shù) 學 家 發(fā) 現(xiàn) 的 數(shù) 學 真 理 ， 并 非 需 要 物 理 學 應 用才 能 核 證 數(shù) 學 真 理 。 Maddy的 數(shù) 學 自 然 主 義 ： 數(shù) 學 有 自 己 的 方 法 論 原則 ， 數(shù) 學 對 象 在 而 且

14、只 在 數(shù) 學 內 部 斷 定 它 們 存 在 那種 意 義 上 存 在 。方法論自然主義之下的不同數(shù)學哲學 16 一種自然主義的數(shù)學哲學2、自然主義與當代數(shù)學哲學 各 種 唯 名 論 ：l 可 以 改 寫 科 學 理 論 使 它 不 必 指 稱 抽 象 數(shù) 學 對 象 ， 因 此 科 學的 成 功 不 核 證 抽 象 數(shù) 學 對 象 存 在 .（ Field）l 科 學 語 言 中 的 對 象 數(shù) 學 對 象 的 指 稱 應 該 理 解 為 比 喻 式 的 ，不 是 真 的 指 稱 對 象 。 （ Yablo) l 科 學 也 許 不 得 不 在 表 面 上 指 稱 抽 象 數(shù) 學 對 象

15、， 但 科 學 的 成功 并 不 核 證 抽 象 數(shù) 學 對 象 存 在 。 (H offman， Leng，Melia)l 數(shù) 學 只 需 假 設 一 些 可 能 的 結 構 ， 或 可 能 的 具 體 對 象 。（ Chihara， H ellman）l 方法論自然主義之下的不同數(shù)學哲學 17 一種自然主義的數(shù)學哲學2、自然主義與當代數(shù)學哲學 對 當 代 數(shù) 學 哲 學 的 基 本 問 題 的 更 多 的 介 紹 ， 可 參 看葉 峰 ： 二 十 世 紀 數(shù) 學 哲 學 一 個 自 然 主 義 者 的 評述 ， 第 一 章 ，http:/ 對 當 代 數(shù) 學 哲 學 各 流 派 的 介 紹

16、 可 參 看Shapiro, S. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005.參考文獻 18 一種自然主義的數(shù)學哲學 3、一種徹底的自然主義 19 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 人 類 是 這 個 物 質 宇 宙 的 一 部 分 ， 是 宇 宙 中 的 物 質 進 化 的產 物 。 認 知 的 主 體 就 是 大 腦 ； 認 知 過 程 最 終 是 物 理 過 程 ； 大 腦的 知 識 來 源 于 基 因 決 定 的 大 腦

17、的 內 在 結 構 及 大 腦 與 環(huán) 境的 物 理 作 用 。 認 知 的 主 體 不 是 非 物 質 的 心 靈 ， 或 所 謂 “ 超 驗 自 我 ” ；認 知 過 程 不 是 “ 主 體 ” 對 所 謂 “ 外 部 世 界 ” 的 認 識 。 是 “ 無 我 ” 或 “ 無 主 體 ” 的 自 然 主 義 世 界 觀 。一種徹底的自然主義 20 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 與 物 理 主 義 相 容 ， 但 也 不 明 確 排 斥 屬 性 二 元 論 。 不 是 獨 斷 的 信 念 ， 只 是 方 法 論 自 然 主 義 的 謹 慎 推 論l 只 假 設 主 流 科

18、學 較 肯 定 地 接 受 的 結 論 ；l 從 謹 慎 的 、 極 小 的 前 提 出 發(fā) ， 看 看 能 夠 解 釋 多 少 世 界 與 人 類 活動 的 各 個 方 面 ， 包 括 人 類 的 數(shù) 學 實 踐 ； l 如 果 可 以 確 定 地 發(fā) 現(xiàn) 徹 底 自 然 主 義 不 能 容 納 的 東 西 ， 那 么 只 能放 棄 徹 底 自 然 主 義 ；l 如 果 可 以 解 釋 意 義 、 真 理 、 可 能 性 、 意 向 性 、 意 識 、 自 由 意 志 、倫 理 原 則 、 數(shù) 學 知 識 等 等 等 等 ， 那 么 應 該 由 反 對 者 回 答 為 什 么他 們 相 信

19、那 些 超 出 主 流 科 學 所 接 受 的 結 論 的 那 些 東 西 。一種徹底的自然主義 21 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 是 一 種 極 小 主 義 ： 徹 底 自 然 主 義 正 面 所 做 的 應 該 是 各方 都 可 以 接 受 的 。l 即 使 你 相 信 有 靈 魂 ， 你 也 應 該 承 認 有 大 腦 ， 而 且 大 腦 有 極 其 復雜 的 功 能 ；l 僅 僅 假 設 大 腦 的 對 意 義 、 真 理 、 數(shù) 學 應 用 等 等 的 解 釋 也 是 可 接受 的 。 用 細 致 、 辛 苦 的 技 術 性 工 作 代 替 模 糊 的 思 辨 。一

20、種徹底的自然主義 22 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 關 于 語 言 ：l 語 言 是 大 腦 進 化 到 一 定 程 度 后 產 生 的 功 能 ， 大 腦 識 別 、 記 憶 聲 音文 字 ， 將 它 們 與 其 它 （ 由 神 經 元 實 現(xiàn) 的 ） 記 憶 在 大 腦 中 相 連 接 ，并 通 過 控 制 身 體 的 行 動 將 它 們 與 環(huán) 境 中 的 事 物 相 聯(lián) 系 ， 而 使 得 聲音 文 字 成 為 語 言 。l 語 言 不 是 “ 超 驗 主 體 ” 用 來 描 繪 “ 外 部 世 界 ” 的 工 具 。 關 于 概 念 ： l 概 念 是 大 腦 中

21、的 神 經 元 結 構l 概 念 與 對 象 之 間 的 表 示 關 系 （ 即 指 稱 ） 是 物 質 性 的 事 物 之 間 的 物質 性 的 關 系 ， 即 自 然 化 的 表 示 關 系 。l 概 念 不 是 獨 立 于 大 腦 、 大 腦 可 以 “ 把 握 ” 的 抽 象 事 物 。徹底的自然主義的推論 23 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 關 于 語 言 的 意 義 、 指 稱徹底的自然主義的推論兔 子 “兔 子 ” 大 腦 自 然 化 的 表示 關 系“兔 子 ” 指 稱表 示 詞 項的 概 念自 然 化 的 表示 關 系 神 經 元 聯(lián) 結 表 示 事 物 的

22、概念 ， 涵 義 關 于 真 理真 理 也 是 大 腦 中 的 事 物 與 大 腦 外 的 事 物 之 間 的 物 質 性 的 、 自然 的 關 系 。 24 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 關 于 可 能 性 ：l 不 存 在 所 謂 可 能 世 界 、 可 能 事 態(tài) 。l 各 種 可 能 性 即 各 種 可 想 象 性 ， 要 從 大 腦 想 象 事 物 的 方 式 的 特 征 去解 釋 可 能 性 。l 所 謂 大 腦 想 象 事 物 ， 即 大 腦 處 理 一 些 語 言 描 述 ， 即 一 些 神 經 元 活動 。 關 于 抽 象 數(shù) 學 對 象 ： l 不 存 在

23、所 謂 抽 象 對 象 ， 大 腦 不 會 神 秘 地 “ 把 握 ” 獨 立 于 人 類 的 抽象 對 象 或 概 念 。l 真 正 存 在 的 是 大 腦 想 象 所 謂 “ 抽 象 對 象 ” 時 創(chuàng) 造 出 的 大 腦 中 的 ，作 為 神 經 元 結 構 的 數(shù) 學 概 念 、 思 想 。徹底的自然主義的推論 25 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 關 于 數(shù) 學 應 用 ：l 一 個 數(shù) 學 應 用 過 程 ， 是 大 腦 與 環(huán) 境 中 的 事 物 相 互 作 用 的 過 程 ， 是自 然 現(xiàn) 象 。l 解 釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 是 解 釋 一 類 自 然

24、現(xiàn) 象 中 的 規(guī) 律 性 。徹底的自然主義的推論 26 一種自然主義的數(shù)學哲學3、一種徹底的自然主義 自 然 主 義 不 是 基 礎 主 義 ， 對 數(shù) 學 應 用 的 解 釋 不 是 對 數(shù) 學知 識 的 基 礎 主 義 的 辯 護 。 自 然 主 義 不 認 為 有 傳 統(tǒng) 意 義 上 的 先 天 的 、 絕 對 可 靠 的 基礎 知 識 ：l 設 想 傳 統(tǒng) 意 義 上 的 先 天 的 、 絕 對 可 靠 的 知 識 ， 必 須 預 設 絕 對 的 、超 自 然 的 認 知 主 體 。 l 大 腦 的 知 識 ， 是 大 腦 在 進 化 及 與 環(huán) 境 的 相 互 作 用 中 產 生

25、的 。l 大 腦 可 以 重 新 組 織 自 己 的 知 識 庫 ， 區(qū) 分 更 可 靠 的 與 更 不 可 靠 的 知識 ， 但 沒 有 傳 統(tǒng) 意 義 上 的 先 天 的 、 絕 對 可 靠 的 知 識 。一個說明 27 一種自然主義的數(shù)學哲學 4、從自然主義到唯名論 28 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 Naturalism and Abstract Entities，forthcoming in International Studies in the Philosophy of Science.論文 29 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 對 數(shù) 學 實 踐

26、 的 完 備 的 自 然 主 義 描 述 無 須 假 設 抽 象實 體l 數(shù) 學 實 踐 是 大 腦 的 活 動 ， 對 數(shù) 學 實 踐 的 自 然 主 義 描 述 ，最 終 是 描 述 神 經 元 活 動 及 其 與 環(huán) 境 中 的 事 物 的 物 理 相互 作 用 。l 這 種 描 述 無 需 也 不 能 用 “ 指 稱 ” 等 語 義 概 念 ， 也 無 需說 大 腦 中 一 個 實 現(xiàn) 數(shù) 學 概 念 的 神 經 元 結 構 “ 指 稱 ” 什么 抽 象 實 體 ?；菊撟C 30 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 大 腦 A正 在 將 它 的 數(shù) 學 概 念 應 用 于 描

27、 述 實 驗 室 中 的 物 理 對象 ； 描 述 大 腦 A的 數(shù) 學 實 踐 活 動 ， 只 需 描 述 大 腦 A中 的 神 經 元如 何 活 動 、 如 何 與 實 驗 室 中 的 物 理 對 象 相 聯(lián) 系 等 等 ， 不必 說 大 腦 A中 的 神 經 元 “ 指 稱 ” 了 什 么 數(shù) 學 對 象 ； 大 腦 B在 描 述 大 腦 A的 活 動 ， 以 及 大 腦 A與 實 驗 室 中 的 物理 對 象 之 間 的 聯(lián) 系 ； 大 腦 B中 的 神 經 元 以 相 似 的 方 式 活 動 ， 與 大 腦 A及 實 驗 室中 的 其 它 物 理 對 象 相 聯(lián) 系 ； 大 腦 B中

28、 的 神 經 元 也 不 “ 指 稱 ” 任 何 數(shù) 學 對 象 。一個誤解：描述神經元活動依舊需要用數(shù)學 31 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 經 典 數(shù) 學 對 科 學 的 不 可 或 缺 性 僅 僅 意 味 著 ， 某 些 形 式 的大 腦 神 經 元 活 動 （ 比 如 ， 研 究 與 應 用 經 典 數(shù) 學 而 非 直 覺主 義 數(shù) 學 的 大 腦 神 經 元 活 動 ） ， 對 于 大 腦 認 識 世 界 來 說是 不 可 或 缺 的 。 接 受 “ 存 在 大 于 1000的 素 數(shù) ” 這 個 語 句 ， 本 身 也 是 一 些神 經 元 活 動 ， 與 抽 象

29、實 體 的 存 在 性 無 關 。 大 腦 中 的 由 神 經 元 實 現(xiàn) 的 概 念 、 思 想 ， 可 以 與 物 質 性 的事 物 產 生 自 然 化 的 “ 表 示 ” 或 “ 真 ” 關 系 ， 但 這 是 物 質性 的 聯(lián) 系 ， 不 是 超 出 自 然 主 義 的 “ 語 義 表 示 ” 、 “ 指稱 ” 、 或 “ 真 ” 。其它一些澄清 32 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 論 證 實 在 論 有 認 識 論 難 題 ， 需 要 假 設 關 于 人 類 的 認 知 能力 的 某 些 局 限 ， 如 因 果 知 識 論 假 設 。 這 個 論 證 是 正 面 地

30、說 ， 大 腦 的 數(shù) 學 實 踐 活 動 無 須 與 所 謂抽 象 數(shù) 學 實 體 相 聯(lián) 系 ， 而 不 是 反 面 地 說 大 腦 由 于 其 局 限性 不 可 能 認 識 到 抽 象 數(shù) 學 實 體 。 論 證 實 在 論 有 指 稱 難 題 ， 也 需 要 關 于 指 稱 關 系 如 何 實 現(xiàn)的 假 設 ， 如 因 果 指 稱 論 。 這 個 論 證 是 正 面 地 說 ， 描 述 大 腦 的 數(shù) 學 實 踐 活 動 無 須 說明 大 腦 指 稱 了 什 么 抽 象 數(shù) 學 實 體 ， 而 不 是 反 面 地 說 大 腦不 可 能 指 稱 到 抽 象 數(shù) 學 實 體 。與傳統(tǒng)的反實

31、在論論證的比較 33 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 對 論 證 的 結 論 唯 名 論 的 定 義 無 需 用 到 “ 抽 象 實 體 ” 這 個概 念 ：l 數(shù) 學 概 念 、 思 想 、 詞 項 、 語 句 本 身 是 物 理 對 象 ；l 它 們 在 大 腦 的 認 知 活 動 中 有 相 對 抽 象 的 功 能 ；l 它 們 與 大 腦 外 的 物 理 對 象 間 接 地 產 生 聯(lián) 系 ；l 數(shù) 學 概 念 、 思 想 、 詞 項 、 語 句 等 的 意 義 在 于 它 們 的 這 些 認 知 功 能 ，及 它 們 與 大 腦 外 的 物 理 對 象 的 聯(lián) 系 ；

32、l 對 數(shù) 學 概 念 、 思 想 、 詞 項 、 語 句 等 在 大 腦 中 的 認 知 功 能 ， 及 它 們與 大 腦 外 的 物 理 對 象 的 聯(lián) 系 的 自 然 主 義 描 述 ， 已 經 就 是 對 大 腦 的數(shù) 學 實 踐 的 完 備 的 描 述 。與傳統(tǒng)的反實在論論證的比較 34 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 Quine同 時 支 持 物 理 主 義 與 數(shù) 學 實 在 論 。 Quine的 “ 承 諾 抽 象 實 體 ” 概 念 預 設 了 超 自 然 的 承 諾 主 體l 如 果 一 個 大 腦 承 諾 了 抽 象 實 體 ， 僅 僅 在 于 大 腦 以

33、某 種 方 式 使 用 語 言 ，那 么 這 僅 僅 是 大 腦 以 某 種 方 式 進 行 神 經 元 活 動 ， 說 一 種 神 經 元 活 動方 式 是 “ 承 諾 了 抽 象 實 體 ” 是 多 余 的 。l 只 有 將 “ 我 們 ” 理 解 為 自 然 世 界 之 外 的 “ 主 體 ” ， 而 不 是 作 為 物 質世 界 一 部 分 的 大 腦 ， 才 會 由 “ 我 們 ” 以 某 種 方 式 使 用 語 言 ， 得 出“ 我 們 承 諾 了 外 部 世 界 ” 中 有 某 種 實 體 。與Quine的比較 35 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 Quine的 信

34、 念 之 網(wǎng) ：l 外 圍 為 觀 察 語 句 ， 與 經 驗 相 聯(lián) 系 ；l 核 心 包 括 數(shù) 學 與 邏 輯 ， 承 諾 了 抽 象 數(shù) 學 對 象 ， 描 繪 了 抽 象 數(shù) 學 世界 ；l 信 念 之 網(wǎng) 整 體 地 接 受 經 驗 的 核 證 。 信 念 之 網(wǎng) 是 大 腦 中 的 神 經 元 結 構 ； 整 體 主 義 僅 僅 意 味 著 ，信 念 之 網(wǎng) 作 為 一 個 物 理 系 統(tǒng) 是 整 體 地 與 環(huán) 境 相 互 作 用 。 只 要 不 假 設 一 個 在 信 念 之 網(wǎng) 背 后 的 、 利 用 信 念 之 網(wǎng) 去 描 繪“ 外 部 世 界 ” 的 “ 主 體 ” ，

35、 不 必 說 信 念 之 網(wǎng) 的 核 心 描 繪 了“ 外 部 世 界 ” 中 的 抽 象 數(shù) 學 世 界 。整體主義也與抽象實體無關 36 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 “ 去 引 號 （ disquotation） ” 指 稱 論 與 真 理 論 ：l “雪 ” 指 稱 雪 ； “ 雪 是 白 的 ” 是 真 的 ， 當 且 僅 當 雪 是 白 的 。l 指 稱 抽 象 對 象 沒 有 任 何 困 難 ， “ 3”就 指 稱 3。 文 字 或 作 為 神 經 元 的 概 念 與 物 理 對 象 之 間 的 指 稱 關 系 ， 是 物質 性 的 事 物 之 間 的 非 常 復

36、 雜 的 關 系 。 “雪 ” 指 稱 雪 只 是 陳 述 了 指 稱 現(xiàn) 象 ， 沒 有 給 出 關 于 指 稱 機制 的 理 論 ， 好 比 “ 種 瓜 得 瓜 ， 種 豆 得 豆 ” 只 是 陳 述 了 遺 傳 現(xiàn)象 ， 沒 有 指 出 遺 傳 機 制 。“去引號”真理論也無助于拯救抽象實體 37 一種自然主義的數(shù)學哲學4、從自然主義到唯名論 “雪 ” 指 稱 雪 的 機 制 是 可 以 給 出 的 ， 即 語 義 表 示 關 系 或 意 向性 關 系 的 自 然 化 ， 但 “ 3”指 稱 3的 機 制 無 法 同 樣 給 出 。 去 括 弧 指 稱 論 帶 來 一 個 幻 覺 ， 認

37、 為 指 稱 抽 象 對 象 與 指 稱 具 體事 物 都 是 簡 單 平 凡 的 。“去引號”真理論也無助于拯救抽象實體 38 一種自然主義的數(shù)學哲學 5、唯名論數(shù)學哲學的任務 39 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 What ant-realism in philosophy of mathematics must offer， forthcoming in Synthese， Vol. 175, No. 1. available online: http:/ 40 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 如 果 數(shù) 學 對 象 不 存 在 ， 那 么 數(shù) 學 知 識

38、 是 關 于 什 么 的 知 識 ？數(shù) 學 家 的 數(shù) 學 直 覺 、 經 驗 是 關 于 什 么 的 直 覺 與 經 驗 ？l 實 在 論 者 提 出 ， 尊 重 數(shù) 學 家 的 數(shù) 學 知 識 、 直 覺 、 經 驗 意 味 著 接 受實 在 論 。l 唯 名 論 者 應 該 指 出 數(shù) 學 實 踐 中 真 正 存 在 的 是 什 么 ， 并 用 這 些 真 正存 在 的 東 西 ， 對 數(shù) 學 知 識 、 直 覺 、 經 驗 做 出 與 唯 名 論 相 一 致 的 解釋 。 l 目 前 的 唯 名 論 數(shù) 學 哲 學 或 者 未 嘗 試 這 一 點 ， 或 者 在 嘗 試 中 依 舊 指

39、稱 抽 象 事 物 。數(shù)學知識、直覺、經驗在于什么 41 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 直 觀 上 ， 數(shù) 學 對 象 與 物 理 對 象 之 間 有 一 些 真 實 的 關 系 ，如 黎 曼 空 間 與 物 理 時 空 在 結 構 上 相 似 。 這 些 關 系 是 數(shù) 學可 應 用 的 基 礎 。 一 些 唯 名 論 者 提 出 ， 數(shù) 學 對 象 是 虛 構 的 對 象 ， 虛 構 對 象可 以 與 物 理 對 象 相 似 ， 可 以 做 模 型 模 擬 真 實 對 象 。 l 但 虛 構 對 象 不 存 在 ， 在 什 么 意 義 上 不 存 在 的 事 物 可 以

40、與 物 理 對 象相 似 ， 可 以 做 模 型 ？l 所 以 這 只 是 比 喻 式 的 描 述 ， 不 是 真 實 的 回 答 。l 實 在 論 者 可 以 說 ， 既 然 所 謂 虛 構 對 象 有 這 些 真 實 屬 性 ， 它 們 就 在抽 象 的 意 義 上 存 在 。 唯 名 論 者 應 說 明 ， 數(shù) 學 與 物 理 對 象 之 間 的 真 實 關 系 在 于什 么 ， 并 說 明 這 如 何 是 數(shù) 學 可 應 用 的 基 礎 。數(shù)學與物理對象的關系在于什么 42 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 直 觀 上 ， 數(shù) 學 是 客 觀 的 ， 不 是 隨 意 編

41、撰 的 故 事 。 如 果 數(shù) 學對 象 不 存 在 ， 數(shù) 學 的 客 觀 性 不 在 于 抽 象 數(shù) 學 對 象 的 客 觀 存在 性 ， 那 么 數(shù) 學 的 客 觀 性 在 于 什 么 ， 承 認 客 觀 性 是 否 蘊 含著 承 認 抽 象 實 體 ？l 承 認 兩 個 十 進 制 數(shù) 字 相 加 的 結 果 的 正 確 與 否 的 客 觀 性 ， 是 否 意 味著 承 認 十 進 制 加 法 運 算 規(guī) 則 或 加 法 函 數(shù) 作 為 抽 象 實 體 的 客 觀 性 ？ 一 些 唯 名 論 者 可 能 否 認 數(shù) 學 的 客 觀 性 ， 認 為 數(shù) 學 僅 僅 是 虛構 的 故 事

42、。 l 但 如 果 一 個 工 程 師 的 數(shù) 學 計 算 上 的 錯 誤 使 得 一 座 橋 梁 坍 塌 ， 那 應該 是 一 個 客 觀 的 錯 誤 ， 而 不 僅 僅 是 那 個 工 程 師 編 了 一 個 與 眾 不 同的 故 事 。數(shù)學的客觀性在于什么 43 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 一 些 唯 名 論 者 稱 ， 5+7=12是 字 面 意 義 上 （ literally）假 的 。 但 顯 然 有 與 “ 5+7=12” 密 切 相 關 的 知 識 、 真 理 ， 孩 子們 在 學 習 5+7=12顯 然 學 到 了 某 種 知 識 。 而 且 ， 這 個

43、知 識 在 直 觀 上 是 明 顯 的 、 普 遍 的 、 必 然 的 、 與先 天 的 。 真 正 重 要 的 是 解 釋 ， 假 如 作 為 抽 象 對 象 的 自 然 數(shù) 不 存 在 ，那 么 “ 5+7=12” 蘊 含 的 是 關 于 什 么 的 知 識 ， 而 它 是 否及 為 何 是 明 顯 的 、 普 遍 的 、 必 然 的 、 與 先 天 的 。解釋算術的顯明性、普遍性、必然性、與先天性 44 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 在 物 理 學 家 看 來 ， 宇 宙 有 可 能 是 有 限 、 離 散 的 。 如 果 是 ，則 假 設 無 窮 的 實 在 性 只

44、能 是 假 設 了 不 存 在 于 時 空 之 中 的 抽象 對 象 。 宇 宙 是 有 限 還 是 無 窮 在 物 理 學 上 沒 有 定 論 ， 但 數(shù) 學 哲 學 不應 依 賴 于 物 理 學 假 說 。 而 且 無 窮 數(shù) 學 可 應 用 于 明 顯 是 有 限 、 離 散 的 事 物 ， 如 經 濟學 中 ； 即 使 宇 宙 真 是 有 限 、 離 散 的 ， 我 們 還 是 一 樣 應 用 經典 數(shù) 學 。 所 以 ， 唯 名 論 者 對 數(shù) 學 的 解 說 不 應 以 假 設 任 何 形 式 的 無 窮的 實 在 性 為 基 礎 。唯名論者應回避假設無窮的實在性 45 一種自然主

45、義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 否 定 數(shù) 學 定 理 為 真 理 后 ， 解 釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 ， 應 該 成 為一 種 唯 名 論 數(shù) 學 哲 學 的 主 要 工 作 。 一 些 唯 名 論 者 只 是 給 數(shù) 學 的 可 應 用 性 貼 了 一 個 標 簽 ， 如 經驗 恰 當 性 （ empirical adequacy） ， 而 沒 有 真 實 地 解釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 。 一 些 唯 名 論 者 解 釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 時 假 設 了 無 窮 。 一 些 唯 名 論 者 解 釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 時 指 稱 所 謂 “ 虛 構

46、對象 ” ， 因 此 他 們 的 解 釋 本 身 是 字 面 意 義 上 假 的 。 一 些 唯 名 論 者 沒 有 討 論 這 個 問 題 。解釋數(shù)學的可應用性 46 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 將 數(shù) 學 實 踐 視 為 大 腦 的 活 動 ， 對 數(shù) 學 實 踐 作 完 全 地 在 字 面意 義 上 真 的 、 科 學 的 解 釋 。 以 認 知 科 學 為 基 礎 解 釋 數(shù) 學 知 識 、 直 覺 、 經 驗 。 數(shù) 學 與 物 理 對 象 的 聯(lián) 系 ， 最 終 在 于 大 腦 中 由 神 經 元 實 現(xiàn) 的數(shù) 學 概 念 、 思 想 與 其 他 物 理 對 象

47、 之 間 的 聯(lián) 系 。 數(shù) 學 的 客 觀 性 在 于 大 腦 之 間 的 相 似 性 ， 以 及 大 腦 中 的 數(shù) 學概 念 、 思 想 與 其 它 物 理 對 象 之 間 的 聯(lián) 系 上 的 客 觀 性 。在徹底自然主義中完成這些任務的策略 47 一種自然主義的數(shù)學哲學5、唯名論數(shù)學哲學的任務 算 術 與 邏 輯 的 顯 明 性 、 普 遍 性 、 必 然 性 、 與 先 天 性 ， 應 該由 大 腦 的 由 基 因 決 定 的 內 在 結 構 與 先 天 傾 向 ， 以 及 作 為 進化 結 果 的 大 腦 與 環(huán) 境 之 間 的 先 天 適 應 性 來 解 釋 。 數(shù) 學 實 踐

48、中 所 涉 及 的 事 物 都 是 有 限 的 ， 對 數(shù) 學 實 踐 的 自 然主 義 描 述 是 嚴 格 地 有 窮 主 義 的 。 數(shù) 學 的 可 應 用 性 ， 是 有 限 大 腦 與 有 限 環(huán) 境 的 某 類 相 互 作 用中 的 規(guī) 律 性 ； 抽 象 掉 其 中 與 邏 輯 無 關 的 細 節(jié) ， 它 成 為 經 典數(shù) 學 中 的 概 念 、 陳 述 如 何 可 以 幫 助 推 導 關 于 有 限 事 物 的 真理 這 個 邏 輯 問 題 。在徹底自然主義中完成這些任務的策略 48 一種自然主義的數(shù)學哲學 6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 49 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應

49、用性的邏輯解釋1. Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, book draft, available online: http:/ The applicability of mathematics as a scientific and a logical problem forthcoming in Philosophia Mathematica, available online: http:/philmat.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/nkp014書稿、論

50、文 50 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 一 個 數(shù) 學 應 用 過 程 ， 是 一 個 涉 及 大 腦 中 的 數(shù) 學 推 理 等 活動 ， 以 及 大 腦 中 的 事 物 與 大 腦 外 的 事 物 的 自 然 化 的 對 應關 系 的 一 個 物 理 過 程自然主義圖景中的數(shù)學應用物 理 前 提自 然 化 的 真 自 然 化 的 真 數(shù) 學 化 的 物 理 假 說物 理 結 論 數(shù) 學 結 論模 擬 數(shù) 學 證 明解 釋大 腦 抽 象 思 想 51 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 意 味 著 某 一 類 自 然 現(xiàn) 象

51、中 的 規(guī) 律 性 ， 即 在 那一 類 大 腦 的 數(shù) 學 應 用 過 程 中 ， 只 要 存 在 物 理 前 提 與 環(huán) 境 中 的事 物 之 間 的 自 然 化 的 對 應 關 系 ， 就 一 定 存 在 物 理 結 論 與 環(huán) 境中 的 事 物 之 間 的 自 然 化 的 對 應 關 系 。l 類 似 于 一 類 物 理 過 程 中 的 某 個 物 理 量 的 守 恒 性 解 釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 意 味 著 科 學 地 解 釋 這 一 類 自 然 現(xiàn) 象 中 的規(guī) 律 性 。 可 應 用 性 問 題 是 一 個 科 學 問 題 ， 對 可 應 用 性 的 解 釋 是 一 個

52、 科學 解 釋 ?？蓱眯缘淖匀换?52 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 解 釋 數(shù) 學 的 可 應 用 性 時 可 以 忽 略 所 有 心 理 學 上 的 細 節(jié) ，比 如 可 以 假 設 大 腦 中 的 概 念 、 思 想 就 是 某 個 形 式 語 言 中的 項 與 公 式 。 可 以 忽 略 自 然 化 的 對 應 關 系 中 的 細 節(jié) ， 將 其 模 擬 為 形 式語 言 與 語 義 模 型 之 間 的 滿 足 關 系 。 因 此 ， 可 應 用 性 成 為 一 個 邏 輯 問 題 ， 解 釋 可 應 用 性 成 為邏 輯 上 的 技 術 性 的 工 作 。可應

53、用性問題可以抽象成邏輯問題 53 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 關 于 無 窮 數(shù) 學 對 象 的 數(shù) 學 公 理 ， 對 于 表 達 關 于 宇 宙 中 有限 事 物 的 假 說 ， 推 導 關 于 它 們 的 結 論 ， 是 否 絕 對 地 不 可或 缺 。 無 窮 數(shù) 學 的 證 明 如 何 保 持 對 有 限 事 物 的 真 理 性 ； 是 否 可能 將 數(shù) 學 應 用 過 程 ， 表 達 為 從 關 于 有 限 具 體 事 物 的 真 假設 ， 到 關 于 有 限 具 體 事 物 的 真 結 論 的 邏 輯 有 效 的 推 導 。 應 用 無 窮 數(shù) 學 ， 如

54、 何 簡 化 了 關 于 宇 宙 中 有 限 事 物 的 假 說的 表 達 ， 以 及 關 于 它 們 的 結 論 的 推 導 。 l 目 前 還 未 研 究 這 個 問 題 。經典數(shù)學可應用性的邏輯之謎 54 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 提 出 一 種 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 （ strict finitism）l 是 無 量 詞 的 原 始 遞 歸 算 術 （ PRA） 的 一 個 片 斷 ， 所 接 受 的 函 數(shù) 限于 初 等 遞 歸 函 數(shù) ， 即 由 加 法 、 （ 自 然 數(shù) ） 減 法 、 乘 法 、 冪 函 數(shù) ， 用復 合 與 有 界 極 小

55、 化 構 造 出 的 函 數(shù) ；l 其 陳 述 可 直 接 解 釋 為 關 于 有 限 、 具 體 的 計 算 設 備 （ 計 算 機 、 大 腦 等 ）的 字 面 意 義 上 為 真 的 陳 述 。一個解釋可應用性的嘗試 55 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 可 應 用 性一個解釋可應用性的嘗試物 理 假 設自 然 化 的 “ 真 ” 物 理 結 論關 于 有 限 物 理 對 象 的 有 效 推 理聯(lián) 系 數(shù) 學 與 物 理 的 假 設模 擬 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 公 理有 限 物 理 對 象有 限 計 算 設 備 56

56、一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 解 釋 經 典 數(shù) 學 的 可 應 用 性 的 策 略 ：l 在 嚴 格 有 窮 主 義 的 框 架 中 發(fā) 展 應 用 數(shù) 學 ；l 證 明 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 原 則 上 就 足 以 表 達 科 學 理 論 ， 完 成 科 學 應用 中 的 計 算 與 推 理 ；l 因 此 ， 經 典 數(shù) 學 的 應 用 原 則 上 可 歸 約 為 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 應 用 ；l 因 此 ， 經 典 數(shù) 學 的 可 應 用 性 被 歸 約 為 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 可 應 用性 。一個解釋可應用性的嘗試 57

57、一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 關 于 無 窮 數(shù) 學 對 象 的 公 理 ， 不 是 關 于 宇 宙 中 有 限 事 物 的科 學 結 論 的 必 不 可 少 的 前 提 。 數(shù) 學 應 用 過 程 ， 原 則 上 可 轉 換 為 從 關 于 有 限 具 體 事 物 的假 設 ， 到 關 于 有 限 具 體 事 物 的 結 論 的 邏 輯 有 效 的 推 導 。 目 的 是 解 釋 一 個 邏 輯 上 的 謎 ， 不 是 要 用 有 窮 主 義 數(shù) 學 替代 經 典 數(shù) 學 。對可應用性之謎的回答 58 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 解 釋 經 典

58、數(shù) 學 的 可 應 用 性 的 主 要 技 術 性 工 作 是 證 明 ： 有窮主義猜想：嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 原 則 上 足 以 為 科 學 應 用提 供 數(shù) 學 工 具 ， 因 此 經 典 數(shù) 學 的 應 用 原 則 上 可 歸 約 為 嚴格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 應 用 。實現(xiàn)這個解釋要做的工作 59 一種自然主義的數(shù)學哲學6、數(shù)學的可應用性的邏輯解釋 支 持 有 窮 主 義 猜 想 的 理 由 ：l 目 前 已 證 明 微 積 分 、 基 本 的 度 量 空 間 理 論 、 基 本 的 復 分 析 、 勒 貝 格積 分 理 論 、 部 分 泛 涵 分 析 （ 包 括 作

59、 為 經 典 量 子 力 學 的 數(shù) 學 基 礎 的 無界 線 性 算 子 的 譜 理 論 ） 等 可 以 在 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 框 架 中 發(fā) 展 起來 。 見 Feng Ye, Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, book draft. l 無 窮 與 連 續(xù) 在 應 用 中 只 是 用 來 作 近 似 ， 似 乎 不 應 該 是 絕 對 不 可 或 缺的 。l 由 不 完 全 性 定 理 得 出 的 獨 立 于 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 結 論 ， 應 該 理 解為 歸 納 結 論 。l 數(shù) 理 邏 輯 中 已 知 的 獨 立 于 嚴 格 有 窮 主 義 數(shù) 學 的 一 些 結 論 ， 都 涉 及 增長 太 快 的 函 數(shù) ， 沒 有 實 際 應 用 的 機 會 ， 因 為 宇 宙 尺 度 與 基 本 粒 子 尺度 的 比 10100。實現(xiàn)這個解釋要做的工作 60謝 謝 ！