(江蘇專用)高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關練 第34練 雙曲線的漸近線和離心率 理

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1、第34練 雙曲線的漸近線和離心率 題型一 雙曲線的漸近線問題 例1 (2013·課標全國Ⅰ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為________. 破題切入點 根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關系,進而求出漸近線. 答案 y=±x 解析 由e==知,a=2k,c=k,k∈(0,+∞), 由b2=c2-a2=k2,知b=k.所以=. 即漸近線方程為y=±x. 題型二 雙曲線的離心率問題 例2 已知O為坐標原點,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,以OF為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點的兩點A,B,若(+)·=0,則雙曲線的離心

2、率e為________. 破題切入點 數(shù)形結合,畫出合適圖形,找出a,b間的關系. 答案  解析 如圖,設OF的中點為T,由(+)·=0可知AT⊥OF, 又A在以OF為直徑的圓上,∴A, 又A在直線y=x上,∴a=b,∴e=. 題型三 雙曲線的漸近線與離心率綜合問題 例3 已知A(1,2),B(-1,2),動點P滿足⊥.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是________. 破題切入點 先由直接法確定點P的軌跡(為一個圓),再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關系,進一步列出關于離心率e的不等式進行求解. 答案 (1,

3、2) 解析 設P(x,y),由題設條件, 得動點P的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0, 即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓. 又雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0, 由題意,可得>1,即>1, 所以e=<2, 又e>1,故11的條件,常用到數(shù)形結合. (2)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法.由y=±x?±=0?-=0,所以可以把標準方程

4、-=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程.雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個數(shù)據(jù),由于==,當e逐漸增大時,的值就逐漸增大,雙曲線的“張口”就逐漸增大. 1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)以及雙曲線-=1的漸近線將第一象限三等分,則雙曲線-=1的離心率為________. 答案 2或 解析 由題意,可知雙曲線-=1的漸近線的傾斜角為30°或60°,則=或. 則e=== = =或2. 2.已知雙曲線C:-=1 (a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線,垂足為H,若F2H的中點M在雙曲線C上,則雙曲線

5、C的離心率為________. 答案  解析 取雙曲線的漸近線y=x,則過F2與漸近線垂直的直線方程為y=-(x-c),可解得點H的坐標為,則F2H的中點M的坐標為,代入雙曲線方程-=1可得-=1,整理得c2=2a2,即可得e==. 3.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為________. 答案?。? 解析 ∵雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x, 圓C的標準方程為(x-3)2+y2=4, ∴圓心為C(3,0). 又漸近線方程與圓C相切, 即直線bx-ay=0與圓C相切, ∴

6、=2,∴5b2=4a2.① 又∵-=1的右焦點F2(,0)為圓心C(3,0), ∴a2+b2=9.② 由①②得a2=5,b2=4. ∴雙曲線的標準方程為-=1. 4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),若雙曲線上存在點P使=,則該雙曲線的離心率的取值范圍是________. 答案 (1,+1) 解析 根據(jù)正弦定理得=, 由=, 可得=,即==e, 所以PF1=ePF2. 因為e>1, 所以PF1>PF2,點P在雙曲線的右支上. 又PF1-PF2=ePF2-PF2=PF2(e-1)=2a, 解得PF2=. 因為PF2

7、>c-a(不等式兩邊不能取等號,否則題中的分式中的分母為0,無意義), 所以>c-a,即>e-1, 即(e-1)2<2,解得e<+1. 又e>1,所以e∈(1,+1). 5.(2014·湖北)已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為________. 答案  解析 設PF1=r1,PF2=r2(r1>r2), F1F2=2c,橢圓長半軸長為a1,雙曲線實半軸長為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2, 由(2c)2=r+r-2r1r2cos , 得4c2=r+r-r1r2. 由得 所以+

8、==. 令m=== =, 當=時,mmax=, 所以()max=, 即+的最大值為. 6.(2014·山東改編)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為________. 答案 x±y=0 解析 由題意知e1=,e2=, ∴e1·e2=·==. 又∵a2=b2+c,c=a2+b2, ∴c=a2-b2, ∴==1-()4, 即1-()4=, 解得=±,∴=. 令-=0,解得bx±ay=0, ∴x±y=0. 7.若橢圓+=1(a>b>0)與雙曲線-=1的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值

9、范圍為________. 答案 (0,1) 解析 可知e==1-, e==1+, 所以e+e=2>2e1e1?00,b>0)的左焦點F作圓x2+y2=的切線,切點為E,延長FE交雙曲線的右支于點P,若E為PF的中點,則雙曲線的離心率為________. 答案  解析 設雙曲線的右焦點為F′,由于E為PF的中點,坐標原點O為FF′的中點,所以EO∥PF′,又EO⊥PF,所以PF′⊥PF,且PF′=2×=a,故PF=3a,根據(jù)勾股定理得FF′=a.所以雙曲線的離心率為=. 9.(2014·浙江)設直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=

10、1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足PA=PB,則該雙曲線的離心率是________. 答案  解析 雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x. 由得A(,), 由得B(,), 所以AB的中點C坐標為(,). 設直線l:x-3y+m=0(m≠0), 因為PA=PB,所以PC⊥l, 所以kPC=-3,化簡得a2=4b2. 在雙曲線中,c2=a2+b2=5b2, 所以e==. 10.(2013·湖南)設F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若PF1+PF2=6a,且△PF1F2的最小內角為30°,則雙曲線C的離心率

11、為________. 答案  解析 不妨設PF1>PF2, 則PF1-PF2=2a, 又∵PF1+PF2=6a, ∴PF1=4a,PF2=2a. 又在△PF1F2中,∠PF1F2=30°, 由正弦定理得,∠PF2F1=90°,∴F1F2=2a, ∴雙曲線C的離心率e==. 11.P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點,M,N分別是雙曲線E的左,右頂點,直線PM,PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率; (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,C為雙曲線上一點,滿足=λ+,求λ的值. 解 (1)

12、點P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上, 有-=1. 由題意有·=, 可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, 則e==. (2)聯(lián)立得4x2-10cx+35b2=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2). 則① 設=(x3,y3),=λ+, 即 又C為雙曲線上一點,即x-5y=5b2, 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2. 化簡得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2. 又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上, 所以x-5y=5b2,x-5y=5b2. 由(1)可知c2=6b2, 由①式又有

13、x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2. 得λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4. 12.(2014·江西)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點為F.點A,B分別在C的兩條漸近線上,AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標原點). (1)求雙曲線C的方程; (2)過C上一點P(x0,y0)(y0≠0)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點M,與直線x=相交于點N.證明:當點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值. 解 (1)設F(c,0), 直線OB方程為y=-x, 直線BF的方程為y=(x-c),解得B(,-). 又直線OA的方程為y=x, 則A(c,),kAB==. 又因為AB⊥OB,所以·(-)=-1, 解得a2=3, 故雙曲線C的方程為-y2=1. (2)由(1)知a=,則直線l的方程為 -y0y=1(y0≠0),即y=. 因為c==2,所以直線AF的方程為x=2, 所以直線l與AF的交點為M(2,); 直線l與直線x=的交點為N(,). 則== =·. 因為P(x0,y0)是C上一點,則-y=1, 代入上式得=· =·=, 即==為定值.

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