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1、第七章序貫設計17.1 優(yōu)選法 模型 這里 f 未知，每個因素試驗范圍 ai,bin優(yōu)選法優(yōu)選法(黃金分割法,0.618 法)是一種尋找極值點的方法2單因素優(yōu)選法n優(yōu)選法可處理的函數(shù)3黃金分割法的作法n第一個試驗點x1 設在范圍 a,b 的0.618 位置上，第二個試驗點 x2 取成 x1 的對稱點，即：x1=a+0.618(b a),x2=a+b x1=a+0.382(b a),4黃金分割法的作法用 f(x1)和 f(x2)分別表示 x1 和 x2 處的響應值。此時分為以下兩種情形：n情形1:若 f(x1)比 f(x2)好，即 x1 是好點，于是把試驗范圍 a,x2)劃去，剩下x2,b；n情
2、形2：若 f(x1)比 f(x2)差，即 x2 是好點，于是把試驗范圍(x1,b 劃去，剩下 a,x1；5優(yōu)選法的優(yōu)缺點n優(yōu)點n當模型不存在隨機誤差，且是單調(diào)、間斷單調(diào)或單峰時，優(yōu)選法能找到最優(yōu)解，且速度最快n缺點n對模型的要求苛刻67.2 響應曲面法n響應曲面：E(y)=f(x1,xs)模型 這里 f 未知，均值為 0，方差 2.7例7.1n兩因素的化工試驗：反應時間(x12,12)、溫度(x2120,160)n其響應曲面8擬合模型n一階模型（一階模型設計）y=0+1x1+sxs+,n二階模型（二階模型設計）二階模型設計也是一階模型設計9響應曲面法的示意圖10A.最陡上升法最陡上升法最陡上升
3、法是一種使響應 y 往最陡上升的方向序貫移動的方法：n當前試驗點 x 可能遠離最優(yōu)試驗點 x，則希望快速地從當前試驗點過渡到最優(yōu)試驗點的小鄰域內(nèi)。n方向向量：其中 為一階模型中參數(shù) 的最小二乘估計值。n若使響應最小化最小化，用其相反方向相反方向代替11例7.2.(例7.1 續(xù))設當前試驗點位于xc=(x1,x2)=(3,170)，在其小鄰域 2.5,3.5 165,175 內(nèi)用 L4(22)正交設計加上xc 處重復nc=5 次構成一次試驗設計。在中心點重復試驗的原因原因：n獲得隨機誤差方差的估計；n使試驗中的兩因素有三個水平，從而可檢驗因素的交互項和二次項是否顯著。12試驗結果擬合模型 =33
4、.1231+5.1055x1 4.4008x213序貫步驟n當前最陡上升方向正比于(5.1055,4.4008)，或等價的(1,0.8620)。n沿著最陡上升方向，反應時間每增加一個單位(0.5分鐘)做一次試驗，即 (3+0.5 k,170 5 0.8620 k),k=1,2,n當k=10，即試驗點 取為 x=(8,126.9)時 響應值最大n把x 作為當前試驗點xc14B.二階響應曲面擬合模型用矩陣的形式表達為(7.8)15平衡點由擬合模型可求得平衡點：16典型分析法n把擬合模型(7.8)變換到以平衡點為原點，并適當旋轉(zhuǎn)坐標軸n模型(7.8)通過簡單的矩陣運算可得典范型：典范型：n式中i 的
5、正負號決定了平衡點的性質(zhì)n當i(i=1,s)都同號，xs 為極值點n當i(i=1,s)異號，xs 為鞍點17C.中心復合設計n當s 4，取s-維立方體的所有頂點(1,1)；當s 5，取s-維立方體的部分頂點；ns-維坐標軸上兩兩對稱的 2s 個點：(,0,0)，(0,0)，(0,0,)；其中 =2(sk)/4.n中心點(0,0,0)的 n0 次試驗。18低維情形197.3 均勻序貫試驗n思想：n在響應曲面法的每一步試驗中，考慮用均勻設計以代替中心復合設計n優(yōu)點：n保證了每一個因素有3 個以上的水平n每一步試驗數(shù)目也不太多常規(guī)做法：在試驗域中均勻的布很多點，把最靠近 最優(yōu)解的點作為近似解，但其收
6、斂速度 慢。故需考慮序貫法20A.SNTO 設 P0=yk,k=1,n 為 Cs=0,1s 上的設計，并設 xki=ai+(bi ai)yki,i=1,s,xk=(xk1,xks),k=1,n,則 P=xk,k=1,n 為試驗區(qū)域=a,bRs 中的設計。在試驗中，不同的區(qū)域選擇同樣的設計 P021SNTOn初始化初始化。設t=0,(0)=,a(0)=a,b(0)=b；n產(chǎn)生均勻設計產(chǎn)生均勻設計。在試驗區(qū)域(t)=a(t),b(t)上尋找一個試驗次數(shù)為nt 的均勻設計P(t)；n計算新的近似值計算新的近似值。選取 x(t)P(t)x(t1)和M(t)使得 M(t)=f(x(t)f(y),y P(
7、t)x(t1)式中 x(1)表示空集，x(t)和 M(t)分別為 x 和 M 的最佳逼近；設模型的全局最優(yōu)值全局最優(yōu)值和全局最優(yōu)解全局最優(yōu)解分別為 x 和 M22SNTOn中止準則中止準則。設c(t)=(b(t)a(t)/2，若 max c(t)，其中 為事先設置的很小的數(shù)，則X(t)足夠小，且x(t)和M(t)是可以接受的，此時中止算法，否則轉(zhuǎn)步驟5；n更新試驗域更新試驗域。新的試驗域(t+1)=a(t+1),b(t+1)，其中 式中 稱為壓縮比。記 t=t+1，轉(zhuǎn)步驟2。23SNTO 示意圖24例7.4.考慮函數(shù)式中(x,y)R2，求其全局最優(yōu)值和全局最優(yōu)點。等高線圖：25例7.4(續(xù))f
8、(x,y)有三個極值點，其位置分別為(0,5),(3,0)和(3,0)，且(0,5)為其全局最優(yōu)點，即x=(0,5)且M=f(x)=f(0,5)2.00000125，而兩個局部最優(yōu)點為f(3,0)1.00125347，f(3,0)1.01236245n常見的優(yōu)化算法，例如 Newton-Guass 法，最陡下降法，易收斂到局部最優(yōu)點 n分別用均勻設計和序貫均勻設計法求解26均勻設計求全局最優(yōu)27序貫均勻設計求解28比較n用均勻設計求最優(yōu)問題n不易陷入局部最優(yōu)解n其收斂速度較慢n試驗次數(shù)多n序貫均勻設計n不易陷入局部最優(yōu)解n其收斂速度較快n試驗次數(shù)少29壓縮比的影響30B.另一序貫方法n設第一步
9、設計 P1 的試驗區(qū)域1=，其試驗次數(shù)為 n1。不妨設在n1 個試驗點中，x=x1 的響應值 f(x)達到最大。n對于任意的 k 1，第 k 步設計 Pk 有nk 個設計點，其中在 xk 的響應值取值最大。第 k+1 步的設計點數(shù)nk+1 分為兩部分:(1 k+1)nk+1 個試驗點的均勻設計Pk+1 在超立方體 k+1 上布點，其中0 k+1 1；其余的k+1nk+1 個試驗點的均勻設計Pk+1,c 在試驗區(qū)域 上布點。設k+1的第 j 個邊長為k+1,j(j=1,s)，則要求當 k 時，k+1,j 0。31n假設在 k+1 步試驗后響應值滿足以下任一條件，則中止試驗：(i)|f(xk+1)f(x)|；(ii)|xk+1 x|,其中 為預先給定的正數(shù)。目的目的：增大找到全局最優(yōu)解的概率32
方開泰、劉民千、周永道《試驗設計與建?！氛n件-7
