《高等數(shù)學(xué)》 第六章 常微分方程

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1、 知 識(shí) 目 標(biāo)u了 解 二 階 微 分 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu) ；u理 解 微 分 方 程 、 階 、 解 、 通 解 、 初 始 條 件 各特 解 等 概 念 ；u掌 握 可 分 離 變 量 方 程 的 解 法 ；u掌 握 一 階 線 性 微 分 方 程 的 解 法 ；u掌 握 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程 的 解 法 ，掌 握 兩 種 常 見 類 型 的 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性微 分 方 程 的 解 法 . 能 力 目 標(biāo) 通 過 微 分 方 程 的 學(xué) 習(xí) ， 進(jìn) 一 步 培 養(yǎng) 學(xué) 生 獨(dú)立 自 主 的 思 考 能 力 ， 明 辨 是 非 的 判

2、 斷 能 力 . 德 育 目 標(biāo) 培 養(yǎng) 學(xué) 生 小 心 求 證 ， 大 膽 應(yīng) 用 于 實(shí) 際 的 綜合 能 力 . 通 過 實(shí) 際 例 子 ； 了 解 微 分 方 程 的概 念 和 微 分 方 程 的 階 的 概 念 ； 掌握 求 微 分 方 程 通 解 的 方 法 ； 能 夠利 用 初 始 條 件 求 微 分 方 程 的 特 解 . .(0,1), ,求 曲 線 方 程點(diǎn) 且 過二 倍斜 率 等 于 該 點(diǎn) 橫 坐 標(biāo) 的已 知 曲 線 上 各 點(diǎn) 的 切 線想 一 想 ：解 析 ： . 1 : ,0),1)0( ,1|)(1,0().( ,2,.2 ,),(),( , 2 02 xy

3、cy yc cxyxdxyxxdxdy yxMxfy x為 于 是 所 求 曲 線 方 程將 其 代 入 到 上 式 得可 寫 成 也或 寫 成 條 件又 因 曲 線 通 過 點(diǎn)為 任 意 常 數(shù) 即得積 分兩 端 對(duì)依 題 意 有 則為 曲 線 上 任 意 一 點(diǎn)設(shè) 所 求 曲 線 方 程 為 且 過二 倍斜 率 等 于 該 點(diǎn) 橫 坐 標(biāo) 的已 知 曲 線 上 各 點(diǎn) 的 切 線 .,/80 ,/40 2的 函 數(shù)關(guān) 于 時(shí) 間 向 前 行 駛 的 路 程求 開 始 制 動(dòng) 后 汽 車 繼 續(xù)速 度 為 制 動(dòng) 后 汽 車 的 加的 速 度 在 直 道 上 行 駛一 輛 汽 車 以 tS

4、sm sm想 一 想 ：解 析 ： .404.0 :,.0,40:, .),(4.0 ,.8.0,8.0 ).40)0(,0)0(40,00: ,8.0)(, 221 21212 122 22ttS tScc ccctctS ctdtdSvxdtSd SSdtdSvSt dtSdtSS 的 函 數(shù) 為關(guān) 于 時(shí) 間路 程于 是得上 式 將 所 滿 足 的 條 件 代 入都 是 任 意 常 數(shù)其 中 得再 積 分 一 次得積 分兩 端 對(duì)將 或 寫 成時(shí)且 滿 足 條 件 應(yīng) 滿 足函 數(shù)制 動(dòng) 階 段 汽 車 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律由 題 意 知 .8.0,2 22 都 是 常 微 分 方 程 dtS

5、dxdxdy例含 有 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) (或 微 分 )的 方 程 稱 為 微 分 方 程 .未知 函 數(shù) 是 一 元 函 數(shù) 的 微 分 方 程 稱 為 常 微 分 方 程 ； 未 知 函數(shù) 是 多 元 函 數(shù) 的 微 分 方 程 稱 為 偏 微 分 方 程 .在 一 個(gè) 微 分 方 程 中 ,未 知 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 的 最 高 階 數(shù) 稱 為 微 分方 程 的 階 . .8.0,2 22 都 是 二 階 微 分 方 程是 一 階 微 分 方 程 dtSdxdxdy例 .0),( nyyyyxFn 為 ：階 微 分 方 程 的 一 般 形 式通 常注 . 22 都 是 微 分 方

6、程 的 解和函 數(shù) xycxy 例若 把 某 個(gè) 函 數(shù) 代 入 微 分 方 程 后 ,使 該 方 程 成 為 恒 等 式 ,則這 個(gè) 函 數(shù) 稱 為 微 分 方 程 的 解 .如 果 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 數(shù) ,且 相 互 獨(dú) 立 的 任 意常 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 與 微 分 方 程 的 階 數(shù) 相 同 ,則 這 樣 的 解 稱 為 微分 方 程 的 通 解 . .8.04.0 22212 的 通 解是 微 分 方 程函 數(shù) dtSdctctS例 . ,)(,便 可 得 到 它 的 通 解 次只 要 通 過 逐 次 積 分的 微 分 方 程形 如 nxfy n 注 .8

7、.040)0(,0)0( 22 的 初 始 條 件就 是 微 分 方 程 dtSdSS例確 定 微 分 方 程 通 解 中 的 任 意 常 數(shù) 值 的 條 件 稱 為 初 始 條 件 .微 分 方 程 的 不 包 含 任 意 常 數(shù) 的 解 稱 為 微 分 方 程 的 特 解 .2 2 的 特 解是 微 分 方 程函 數(shù) xyxy 例 yyyxdxxdyxyyy 330232221 24 ：判 斷 下 列 各 方 程 的 階 數(shù)1.解 ： 四 階 微 分 方 程 一 階 微 分 方 程 二 階 微 分 方 程 321 .的 特 解初 始 條 件 求 滿 足的 通 解是 微 分 方 程驗(yàn) 證 1

8、0,00 ,023221 yy yyyeCeCy xx2.解 ： .ee .1112 0, .ee, 0ee2e2e3e4e23 ,e4e,e2e 2 2121 21 22121 221221221 221221 xx xx xxxxxx xxxx y CCCC CC CCyCC CCCCCCyyy CCyCCy 故 所 求 特 解 為 ： 得將 條 件 代 入 通 解 中 是 微 分 方 程 的 通 解故為 任 意 常 數(shù)同 時(shí) 代 入 微 分 方 程 得 ： 建 設(shè) 綠 地 、 防 止 土 地 沙 漠 化 的 環(huán) 保 意 識(shí) 已 成 為 人們 的 共 識(shí) .現(xiàn) 已 查 明 ， 有 一 塊

9、土 地 正 在 沙 化 ， 并 且沙 化 的 數(shù) 量 正 在 增 加 ， 其 增 加 的 速 率 與 剩 下 的 綠 地?cái)?shù) 量 成 正 比 .有 統(tǒng) 計(jì) 得 知 ， 每 年 沙 化 土 地 的 增 長 率是 綠 地 的 ， 現(xiàn) 有 土 地 10萬 畝 ， 試 求 沙 化 土 地 與時(shí) 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 式 .101 了 解 可 分 離 變 量 的 微 分 方 程 的 概念 ， 掌 握 求 解 的 步 驟 ； 了 解 一 階齊 次 線 性 微 分 方 程 和 非 齊 次 線 性微 分 方 程 的 概 念 ； 掌 握 求 解 一 階線 性 方 程 的 基 本 步 驟 ， 并 能 夠 靈活 運(yùn)

10、 用 . .,)()(2 )()(1 即 通 解的 一 個(gè) 關(guān) 系 式與得 到兩 邊 積 分 ： 的 形 式 ；分 離 變 量 ： 化 原 方 程 為為 兩 步 ：這 類 方 程 的 求 解 一 般 分 yxdxxfygdy dxxfygdy . )()(方 程 的 微 分的 一 階 微 分 方 程 稱 為形 如 可 分 離 變 量ygxfdxdy .2 的 通 解求 微 分 方 程 xydxdy 1.解 ： ).,0(ee .ln2,2 212 12為 任 意 常 數(shù)故也 是 解由 于所 以 兩 邊 積 分 得分 離 變 量 為 CyCy Cxyxdxydyxdxydy xCx .00e2

11、的 特 解滿 足 條 件求 微 分 方 程 yy yx2.解 ： . 21e21e ,21,0)0( ).(e21e2e21 ee,ee 2 22 22 xy xyxy xyxy Cy CCxddye dxdydxdy 故 所 求 特 解 為 ：得代 入 通 解 中將 初 始 條 件 為 任 意 常 數(shù)兩 邊 積 分 得分 離 變 量 為 ).(e,2 )(1 0)( )( 為 任 意 常 數(shù)得 通 解兩 邊 積 分 ；分 離 變 量 ： 的 通 解 分 為 兩 步 ：求 方 程 CCy dxxPydyyxPdxdy dxxP .)()( 一 階 線 性 微 分 方 程的 方 程 稱 為形 如

12、 xQyxPdxdy . 0,)(,0)(齊 次 微 分 方 程 一 階 線 性稱 為方 程 變 為時(shí)當(dāng) yxPdxdyxQ ).(e .e ,e, .e)(e, ,e,2 ,0)(,1 )()( )()( )( )( )()( )( )(為 任 意 常 數(shù)因 此 原 方 程 通 解 為 ：兩 邊 積 分 得 ：得入 原 方 程 代與將得兩 邊 求 導(dǎo) 對(duì) 通 解是 原 方 程 的 通 解令用 常 數(shù) 變 易 法 ；得 通 解先 解 方 程分 離 變 量 的 通 解 分 為 兩 步 ：求 方 程 CdxxQCey dxxQCxC xQxC yyxPxCxCy xCy CeyyxPdxdyxQy

13、xPdxdy dxxPdxxP dxxP dxxP dxxPdxxP dxxP dxxP . )()(,0)(非 齊 次 微 分 方 程 一 階 線 性為稱 方 程時(shí)當(dāng) xQyxPdxdyxQ .112 3的 通 解求 微 分 方 程 xyxy1.解 ： ).(11211121: .121:,1 ,1112121 ,.121 ,1,.1 ,12,012 2422 2 322 2 22 為 任 意 常 數(shù)解 為 因 此 原 方 程 通兩 邊 積 分 得 得代 入 原 方 程與將則 是 原 方 程 的 通 解令用 常 數(shù) 變 易 法 得兩 邊 積 分得分 離 變 量先 解 方 程 CxCxxCxy

14、 CxxCxxC xxxCxxCxxxC yyxCxxxCy xxCyxCy dxxydyyxy 解 ： .022 的 特 解滿 足 條 件求 微 分 方 程 yxyxy2. 222224 43 24 2 422 244 ,4,0)2( ).(4141 :.41:, 22, .2, .,202 xxy Cy CxCxxCxy CxxCxxC xxxCxx xxCxxCyy x xxCxxCyxxCy Cxydxxydyyxy 故 所 求 特 解 為 ：得代 入 通 解 中將 初 始 條 件 為 任 意 常 數(shù) 因 此 原 方 程 通 解 為兩 邊 積 分 得得代 入 原 方 程與將 則是 原

15、方 程 的 通 解令 兩 邊 積 分 得先 解 方 程 . ,C15. C,10,數(shù) 關(guān) 系 的 函與 時(shí) 間求 電 機(jī) 溫 度恒 溫 的 房 子 里設(shè) 電 機(jī) 安 置 在熱 量 發(fā) 散同 時(shí) 將 按 冷 卻 定 律 不 斷每 分 鐘 溫 度 升 高一 電 機(jī) 開 動(dòng) 后 t 了 解 二 階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 的概 念 及 分 類 ； 掌 握 二 階 常 系 數(shù) 齊次 、 非 齊 次 線 性 微 分 方 程 的 求 解方 法 及 分 類 ； 能 夠 靈 活 運(yùn) 用 公 式解 決 實(shí) 際 問 題 . .,0)( 20,0)( .)(, )( 微 分 方 程二 階 常 系 數(shù) 非

16、 齊 次 線 性分 方 程二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微程二 階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方方 程 稱 為時(shí)當(dāng) ；稱 為 方 程時(shí)當(dāng) 是 已 知 函 數(shù)是 常 數(shù)、其 中 的 一 般 形 式 為 xf qyypyxf xfqp xfqyypy .)2()(, ,)2( 212211 2121 的 通 解是 方 程為 任 意 常 數(shù)與則數(shù) 不 是 常即的 兩 個(gè) 線 性 無 關(guān) 的 特 解是 方 程與設(shè) 函 數(shù) CCyCyCy yyyy .)2(e, ,.0,)2(,e, ,e 2 的 解就 是 方 程函 數(shù)是 這 個(gè) 方 程 的 根 若這 表 明得式求 導(dǎo) 后 代 入令數(shù) 選 擇

17、適 當(dāng) 常性 質(zhì)求 導(dǎo) 后 仍 為 指 數(shù) 函 數(shù) 的利 用 指 數(shù) 函 數(shù) rxrx rx yr qprryr . 20 212 特 征 根特 征 方 程 稱 為、； 特 征 方 程 的 兩 個(gè) 根的 性 方 程稱 為 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線其 中 方 程 rrqprr .,ee 2., e,)2(e 2121 2121 21 21 2121 為 任 意 常 數(shù) 的 通 解 為 ：所 以 方 程即 線 性 無 關(guān)數(shù) 常且的 兩 個(gè) 特 解是 方 程、因 為 、 CCCCy yyyey rr xrxr xrrxrxr 是 兩 相 異 實(shí) 根(一 ) .,e )2(,2 e,e)2(,

18、21211 2121 21 為 任 意 常 數(shù) 為 ： 的 通 解所 以 方 程線 性 無 關(guān) 的 特 解的 另 一 個(gè) 與方 程 是而只 有 一 個(gè) 特 解則 方 程因 為 、 CCxCCy y xyyrrr rr rx rxrx 是 兩 相 等 實(shí) 根(二 ) .,sincose 2.)2( sine,cose, 2121 2121 21 為 任 意 常 數(shù) 的 通 解 為 ：所 以 方 程的 兩 個(gè) 線 性 無 關(guān) 的 特 解程 是 方則、令 、 CCxCxCy xyxyirir rr x xx 是 一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根(三 ) 的 兩 個(gè) 根是 方 程 0, 221 qprrrr 的

19、 通 解方 程 0 qyypy 21 rr 兩 相 異 實(shí) 根 xrxr CCy 21 ee 21 21 rr 兩 相 等 實(shí) 根 rxxCCy e21 irir 21 ,一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根 xCxCy x sincose 21 .032 的 通 解求 微 分 方 程 yyy1.解 ： ),(ee .1,3,032 21231 212 為 任 意 常 數(shù)所 以 方 程 的 通 解 為 ： 解 得 特 征 根 為其 特 征 方 程 為 CCCCy rrrr xx .0)0(,2)0(044 的 特 解滿 足求 微 分 方 程 yyyyy2.解 ： .e2.1,2 ,e21e, ),(e .2

20、1,0144 221 22122 21221 212 xxx xxyCC xCCCy CCxCCy rrrr 故 特 解 為 ：得 初 始 條 件 代 入得對(duì) 通 解 求 導(dǎo) 為 任 意 常 數(shù)所 以 方 程 的 通 解 為 ： 解 得 特 征 根 為其 特 征 方 程 為 . , ,)(性 微 分 方 程 的 通 解 線就 是 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次則解應(yīng) 的 齊 次 微 分 方 程 的 通 是 對(duì)的 任 一 特 解是 非 齊 次 線 性 微 分 方 程設(shè) yYy Yxfqyypyy 定 理 :, ,e)( )(e)()( 且 特 解 分 三 種 形 式數(shù) 乘 積 型 的 特 解 式

21、 與 指 數(shù) 函故 可 推 出 它 應(yīng) 該 有 多 項(xiàng)方 程 為 xn nxn xPqyypy nxxPxPxf 次 多 項(xiàng) 式 )的 一 個(gè)是是 常 數(shù) ,(其 中（ 一 ） . )( )(式 次 多 項(xiàng)是 都與表 中n xQ xP n nxn xPxf e)()( xn xQy e)( xn xxQy e)( xn xQxy e)(2的 形 式)(xf 不 是 特 征 根是 特 征 單 根是 特 征 復(fù) 根 件條 的 形 式特 解 y 注 .32 的 通 解求 微 分 方 程 xyy1.解 ： ).,(e :.: ,1132 223222 ,.2,2, ).,()( : ,0,e)(132

22、 ).,(e :.1 ,00,0 212212 2 21212 12 為 任 意 常 數(shù)因 此 原 方 程 的 通 解 為解 為 它 的 一 個(gè) 特得代 入 原 方 程與將得求 導(dǎo) 為 待 定 常 數(shù)為故 設(shè) 原 方 程 的 一 個(gè) 特 解 是 特 征 方 程 的 單 根因型的屬 于 為 任 意 常 數(shù)為則 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解特 征 方 程 為的 通 解先 解 方 程 CCxxCCyYy xxy BABAAxBAxA yyAyBAxy BABxAxBAxxy xPnxxf CCCCYr rrryy x xnx .e32 2 的 通 解求 微 分 方 程 xxyyy 2.解 ：

23、).,(e3231ee :.e3231: ,9/2 3/1032 13323 .e)444(,e)22(, ).,(e)( : ,2,e)(1e ).,(ee :.1 ,3032,032 212321 2 222 2 213212 12為 任 意 常 數(shù)因 此 原 方 程 的 通 解 為解 為 它 的 一 個(gè) 特代 入 得得求 導(dǎo) 為 待 定 常 數(shù)為故 設(shè) 原 方 程 的 一 個(gè) 特 解 是 特 征 方 程 的 單 根因型的屬 于 為 任 意 常 數(shù)為則 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解 特 征 方 程 為的 通 解先 解 方 程 CCxCCy xy BABAAxBAAx BAxAyBAx

24、Ay BABAxy xPnxxf CCCCYr rrryyy xxx x xxx xnx xx :, ,)sincos(e ,)sincos(e)( 且 特 解 分 兩 種 形 式型 的 特 解角 函 數(shù) 與 指 數(shù) 函 數(shù) 乘 積 故 可 推 出 它 應(yīng) 該 有 三方 程 為 xBxAqyypy BAxBxAxf xx 是 待 定 常 數(shù) )是 常 數(shù) ,(其 中（ 二 ） 的 形 式)(xf 是 特 征 根不i 特 征 單 根是i 件條 的 形 式特 解 y)sincos(e)( xBxAxf x )sincos(e xBxAy x )sincos(e xBxAy x .sin22 的 通

25、 解求 微 分 方 程 xeyyy x1.解 ： ).,(cose21sincose :.cose21: ,0 2/102 12sinsin2cos2 , .cos2sin2sincos2sincos2e ,cossinsincossincose, ).,(sincose :,1 .1,1,sincosesine ).,(sincose :.1,1 022,022 2121 212121 2 為 任 意 常 數(shù)因 此 原 方 程 的 通 解 為解 為 它 的 一 個(gè) 特得代 入 原 方 程與將 得求 導(dǎo) 為 待 定 常 數(shù) 為故 設(shè) 原 方 程 的 一 個(gè) 特 解是 特 征 方 程 的 根 因

26、其 中型屬 于 為 任 意 常 數(shù)為則 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解特 征 方 程 為的 通 解先 解 方 程 CCxxxCxCy xxy BAB AxxAxB yy xBxAxxxBxxAy xxBxxAxxBxAy BAxBxAxy ii xBxAxxf CCxCxCY irir rryyy xx xx xx xx x .2cos22 的 通 解求 微 分 方 程 xyyy 2.解 ： ).,(2sin1012cos103ee :.2sin1012cos103: ,10/1 10/3062 2262cos22sin622cos62 ,.2sin42cos4,2sin22cos2, )

27、.,(2sin2cos :, 2.2,0,sincose2cos2 ).,(ee : .1,202,02 21221 21221 212 為 任 意 常 數(shù)因 此 原 方 程 的 通 解 為它 的 一 個(gè) 特 解 為 得代 入 原 方 程得求 導(dǎo) 為 待 定 常 數(shù) 為故 設(shè) 原 方 程 的 一 個(gè) 特 解不 是 特 征 方 程 的 根 因其 中型屬 于 為 任 意 常 數(shù)為則 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解 特 征 方 程 為的 通 解先 解 方 程 CCxxCCy xxy BABA BAxxBAxAB xBxAyxAxBy BAxBxAy iixBxAxxf CCCCY rrrryyy

28、 xx x xx . ,)0( .數(shù) 關(guān) 系 式 度 和 時(shí) 間 的 函求 運(yùn) 動(dòng) 員 下 落 過 程 中 速的 速 度 為 零飛 機(jī) 時(shí) 運(yùn) 動(dòng) 員 離 開正 比受 空 氣 的 阻 力 與 速 度 成設(shè) 跳 傘 運(yùn) 動(dòng) 員 在 空 中 所t 本 章 主 要 介 紹 微 分 方 程 及 解 的 有 關(guān) 概 念 、 一階 微 分 方 程 的 分 離 變 量 法 、 一 階 線 性 微 分 方程 的 解 法 、 二 階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 的 解 法 .一 階 常 微 分 方 程 的 解 法 特 點(diǎn) 是 分 類 求 解 ,因 此要 熟 悉 基 本 類 型 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 及 其 求 解 方 法 .二階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 的 求 解 方 法 特 征根 法 和 待 定 系 數(shù) 法 都 是 代 數(shù) 方 法 .在 由 所 給 微分 方 程 歸 結(jié) 為 相 應(yīng) 代 數(shù) 方 程 (組 ),再 由 所 得 代數(shù) 方 程 (組 )的 根 (解 )歸 結(jié) 為 微 分 方 程 的 通 解(特 解 )的 過 程 中 ,掌 握 線 性 身 分 方 程 通 解 (特解 )的 結(jié) 構(gòu) 是 解 題 的 關(guān) 鍵 ,也 是 重 點(diǎn) .