(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)15 選考系列(含解析)(理)-人教版高三數(shù)學(xué)試題
《(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)15 選考系列(含解析)(理)-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(統(tǒng)考版)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)15 選考系列(含解析)(理)-人教版高三數(shù)學(xué)試題(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時集訓(xùn)(十五) 選考系列 1.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ+ρsin θ+11=0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程; (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值. [解] (1)因為-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐標(biāo)方程為x2+=1(x≠-1). l的直角坐標(biāo)方程為2x+y+11=0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),-π<α<π). C上的點(diǎn)到l的距離為 =. 當(dāng)α=-時,4cos+11
2、取得最小值7,故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為. [選修4-5:不等式選講](2020·全國卷Ⅲ)設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1. (1)證明:ab+bc+ca<0; (2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,證明:max{a,b,c}≥. [證明] (1)由題設(shè)可知,a,b,c均不為零,所以 ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)] =-(a2+b2+c2) <0. (2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a,因為abc=1,a=-(b+c), 所以a>0,b<0,c<0. 由bc≤,可得abc≤,故a≥, 所以max{a,b,c}≥.
3、 2.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),點(diǎn)M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sin θ上,直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直,垂足為P. (1)當(dāng)θ0=時,求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程; (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動且P在線段OM上時,求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程. [解] (1)因為M(ρ0,θ0)在曲線C上,當(dāng)θ0=時, ρ0=4sin =2. 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 設(shè)Q(ρ,θ)為l上除P外的任意一點(diǎn). 在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2. 經(jīng)檢驗,點(diǎn)P在曲線ρcos=2上. 所以,l的極坐標(biāo)方程為ρcos
4、=2. (2)設(shè)P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因為P在線段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范圍是. 所以,P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,θ∈. [選修4-5:不等式選講](2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)時,f(x)<0,求a的取值范圍. [解] (1)當(dāng)a=1時,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 當(dāng)x<1時,f(x)=-2(x-1)2<0;當(dāng)x≥1時,f(x)≥0. 所以,
5、不等式f(x)<0的解集為(-∞,1). (2)因為f(a)=0,所以a≥1. 當(dāng)a≥1,x∈(-∞,1)時,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a的取值范圍是[1,+∞). 3.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅲ)如圖,在極坐標(biāo)系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圓的圓心分別是(1,0),,(1,π),曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧. (1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標(biāo)方程; (2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點(diǎn)P在M上,且|OP|=,求P的極坐標(biāo). [解] (1)由題
6、設(shè)可得,弧,,所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,M2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ,M3的極坐標(biāo)方程為ρ=-2cos θ. (2)設(shè)P(ρ,θ),由題設(shè)及(1)知: 若0≤θ≤,則2cos θ=,解得θ=; 若≤θ≤,則2sin θ=,解得θ=或θ=; 若≤θ≤π,則-2cos θ=,解得θ=. 綜上,P的極坐標(biāo)為或或或. [選修4-5:不等式選講](2019·全國卷Ⅲ)設(shè)x,y,z∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y
7、-1)2+(z-a)2≥成立,證明:a≤-3或a≥-1. [解] (1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=-,z=-時等號成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為. (2)證明:因為[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+
8、(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=,z=時等號成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為. 由題設(shè)知≥,解得a≤-3或a≥-1. 1.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](2020·福清模擬)已知曲線C1:x2+(y-2)2=4在伸縮變換 下得到曲線C2,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)把C1化為極坐標(biāo)方程并求曲線C2的極坐標(biāo)方程; (2)射線θ=α(ρ>0,0<α<π)與C1,C2交點(diǎn)為A,B,|AB|=2,求α. [解]
9、 (1)曲線C1:x2+(y-2)2=4, 轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為:ρ=4sin θ. 伸縮變換 轉(zhuǎn)換為: 代入曲線C1:x2+(y-2)2=4, 得到極坐標(biāo)方程為ρ=8sin θ. (2)把θ=α代入ρ=4sin θ,即ρ=4sin α, 轉(zhuǎn)換為A(4sin α,α), 同理B(8sin α,α), 由于0<α<π, 所以|AB|=|8sin α-4sin α|=4sin α=2, 解得sin α=,故α=或. [選修4-5:不等式選講](2020·安陽一模)已知a,b,c∈R+,?x∈R,不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c恒成立. (1)求證:a2+b2+c2≥
10、; (2)求證:++≥. [解] (1)∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1,∴a+b+c≥1. ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, ∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac, ∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)2≥1, ∴a2+b2+c2≥. (2)∵a2+b2≥2ab,2≥a2+2ab+b2=(a+b)2, 即a2+b2≥, 兩邊開平方得≥|a+b|=(a+b). 同理可得≥(b+c),≥(c+a). 三式相加,得 ++≥(a+b+c)≥. 2.[選修4-4:坐標(biāo)系
11、與參數(shù)方程](2020·汨羅一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin2θ-4cos θ=0. (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)若直線l經(jīng)過曲線C的焦點(diǎn)F且與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q,求的值. [解] (1)∵直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),∴直線l的普通方程為y=tan α·x+1 , 由ρsin2θ-4cos θ=0,得ρ2sin2θ-4ρcos θ=0,即y2-4x=0, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x. (2
12、)∵直線l經(jīng)過曲線C的焦點(diǎn)F, ∴tan α=-1,直線l的傾斜角α=. ∴直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) 代入y2=4x,得t2+4t-8=0, 設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2. ∵Q為線段AB的中點(diǎn), ∴點(diǎn)Q對應(yīng)的參數(shù)值為=-2. 又點(diǎn)F,則==2. [選修4-5:不等式選講](2020·石家莊二中模擬)已知兩個正數(shù)a,b滿足a+2b=2. (1)求a2+b2的最小值; (2)若不等式++1≥3a+4b-2ab對任意的x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. [解] (1)兩個正數(shù)a,b滿足a+2b=2,可得a=2-2b, a2+b2=(2-2b)2+b2=5b
13、2-8b+4=52+,
由a>0,b>0,可得2-2b>0,即有00,即0
14、故實數(shù)a的取值范圍是(0,1].
3.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](2020·陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=.
(1)求l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C上的點(diǎn)到l距離的最大值及該點(diǎn)坐標(biāo).
[解] (1)由 (t為參數(shù)),得x≠1.
消去參數(shù)t,得l的普通方程為x-2y+1=0(x≠1).
將ρ2=去分母得3ρ2+ρ2sin2θ=12,
將y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得+=1,
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為+=1.
15、(2)由(1)可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),
則曲線C上的點(diǎn)到l的距離
d==,
當(dāng)cos=1,即α=-+2kπ,k∈Z時,
dmax==,
此時, (k∈Z).
所以曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為,該點(diǎn)坐標(biāo)為.
[選修4-5:不等式選講](2020·長郡中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(1)若函數(shù)F(x)=f(x)+ax有最小值,求a的取值范圍;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x+1|-|x+m|的解集為A,且?A,求實數(shù)m的取值范圍.
[解] (1)F(x)=f(x)+ax=
使F(x)有最小值的充要條件為
即a∈[-2,2].
(2 16、)由題意知:|2x-1|≤|2x+1|-|x+m|在上恒成立,即|x+m|≤2x+1-(2x-1).
即|x+m|≤2在x∈上恒成立,則-2≤x+m≤2.
故(-x-2)max≤m≤(-x+2)min,解得-≤m≤0.
故實數(shù)m的取值范圍為.
1.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy下,曲線C1的參數(shù)方程為 (α 為參數(shù)),曲線C1在變換T: 的作用下變成曲線C2.
(1)求曲線C2的普通方程;
(2)若m>1,求曲線C2與曲線C3:y=m|x|-m的公共點(diǎn)的個數(shù).
[解] (1)因為曲線C1的參數(shù)方程為 所以曲線C1的普通方程為x2+y2=1,
將變換T 17、: 即
代入x2+y2=1,得+y′2=1,
所以曲線C2的普通方程為+y2=1.
(2)因為m>1,所以C3上的點(diǎn)A在橢圓E:+y2=1外,當(dāng)x>0時,曲線C3的方程化為y=mx-m,代入+y2=1,
得(4m2+1)x2-8m2x+4(m2-1)=0,(*)
因為Δ=64m4-4(4m2+1)·4(m2-1)=16(3m2+1)>0,
所以方程(*)有兩個不相等的實根x1,x2,
又x1+x2=>0,x1x2=>0,
所以x1>0,x2>0,
所以當(dāng)x>0時,曲線C2與曲線C3有且只有兩個不同的公共點(diǎn),
又因為曲線C2與曲線C3都關(guān)于y軸對稱,
所以當(dāng)x<0時 18、,曲線C2與曲線C3有且只有兩個不同的公共點(diǎn),綜上,曲線C2與曲線C3:y=m|x|-m的公共點(diǎn)的個數(shù)為4.
[選修4-5:不等式選講]已知函數(shù)f=-2.
(1)解不等式f≥x;
(2)設(shè)f的最大值為m,若2ab+2bc+2ca=m,a,b,c∈R+,求a+b+c的最小值.
[解] (1)由題意,函數(shù)f=
因為f≥x,
可得 或
或
解得-6≤x≤-,
所以不等式解集為:.
(2)由(1)知,當(dāng)x=-1時,fmax=2,
所以m=2,可得a>0,b>0,c>0,
所以2=2ab+2bc+2ca
≤a2+b2+b2+c2+c2+a2=2a2+2b2+2c2,
所以2≥ 19、3,即a+b+c≥,
當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=c2=時取等號,
即a+b+c的最小值為.
2.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在新中國成立70周年國慶閱兵典禮中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對祖國的熱愛之情.在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ>0),M為該曲線上的任意一點(diǎn).
(1)當(dāng)|OM|=時,求M點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求|MN|的最大值.
[解] 20、(1)設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo),
由ρ=1-sin θ,得=1-sin θ,sin θ=-,
∵0≤θ<2π, ∴θ=或θ=.
所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或.
(2)由題意可設(shè)M(ρ1,θ),N.
由ρ=1-sin θ,得ρ1=1-sin θ,
ρ2=1-sin=1-cos θ.
|MN|==
==.
故θ=時,|MN|的最大值為+1.
[選修4-5:不等式選講]已知f(x)=+(a∈R).
(1)若a=1,求不等式f(x)>4的解集;
(2)?m∈(0,1),?x0∈R,+>f(x0),求實數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)當(dāng)a=1時,f(x)=+=
f(x)>4?或或
21、?x>2,或x<-2.
所以不等式f(x)>4的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).
(2)因為f(x)=+≥=,
?m∈(0,1),+=
=5++≥5+2=9.
當(dāng)且僅當(dāng)m=時等號成立,
依題意,?m∈(0,1),?x0∈R,有+>f(x0),
則<9,解之得-10
22、;
(2)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M,射線θ=(ρ≥0)與曲線C1,C2分別相交于異于極點(diǎn)O的A,B兩點(diǎn),求△MAB的面積.
[解] (1)由題意,點(diǎn)Q的軌跡是以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,
則曲線C2:(x-2)2+y2=4,
∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ,
曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ.
(2)在極坐標(biāo)系中,設(shè)A,B的極徑分別為ρ1,ρ2,
∴|AB|=|ρ1-ρ2|=4|sin-cos|=2(-1).
又∵M(jìn)到射線θ=(ρ≥0)的距離
h=3sin=,
∴△MAB的面積S=|AB|·h=. 23、
[選修4-5:不等式選講]已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|,記f(x)的最小值為m.
(1)解不等式f(x)≤5;
(2)若正實數(shù)a,b滿足+=,求證:+≥2m.
[解] (1)①當(dāng)x>1時,f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5,即x≤2,
∴1<x≤2;
②當(dāng)-2≤x≤1時,f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5,
∴-2≤x≤1;
③當(dāng)x<-2時,f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5,即x≥-3,∴-3≤x<-2.
綜上所述,原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.
(2)∵f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時,等號成立.
∴f(x)的最小值m=3.
∴≥=5,即+≥6,當(dāng)且僅當(dāng)×=×即3a=2b時,等號成立.
又+=,∴a=,b=時,等號成立.
∴+≥2m.
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