（統考版）高考數學二輪復習 專題限時集訓6 直線與圓、拋物線 橢圓、雙曲線（含解析）（理）-人教版高三數學試題

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1、專題限時集訓(六)　直線與圓、拋物線　橢圓、雙曲線 1．(2020·全國卷Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 C　[法一：因為點A到y軸的距離為9，所以可設點A(9，yA)，所以y＝18p.又點A到焦點的距離為12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6.故選C． 法二：根據拋物線的定義及題意得，點A到C的準線x＝－的距離為12，因為點A到y軸的距離為9，所以＝12－9，解得p＝6.故選C．] 2．(2018·全

2、國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[法一：由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A． 法二：由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A．] 3．(2018·全國卷Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[根據題意，過點(－2,0)且斜率為的直線方程為y＝(x＋2)， 與拋物線方程聯立

3、得 消元整理得：y2－6y＋8＝0， 解得或不妨設M為(1,2)，N為(4,4)． 又F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)， 從而可以求得·＝0×3＋2×4＝8，故選D．] 4．(2016·全國卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) A　[若雙曲線的焦點在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－13m2且n<－m2，此時n不存在．故選A．

4、] 5．(2020·全國卷Ⅱ)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為(　　) A． B． C． D． B　[因為圓與兩坐標軸都相切，點(2,1)在該圓上，所以可設該圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圓心的坐標為(1,1)或(5,5)，所以圓心到直線2x－y－3＝0的距離為＝或＝，故選B．] 6．(2013·全國卷Ⅰ)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程

5、為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ①－②得＝－. ∴＝－. ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝. 而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2， ∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3， ∴E的方程為＋＝1.] 7．(2019·全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A． B． C．2 D． A　[設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的

6、右焦點F的坐標為(c,0)，則c＝. 如圖所示，由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2， 得＋＝a2，∴＝，即離心率e＝.故選A．] 8．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] A　[由題意知圓心的坐標為(2,0)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝2，所以圓

7、上的點到直線的最大距離是d＋r＝3，最小距離是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故選A．] 9．(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦

8、點到準線的距離為4.] 10．(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． D　[由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點P坐標為(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即點P(2c，c)．∵點P在過點A，且斜率為的直線上， ∴＝，解得＝，∴e＝，故選D．] 11．(

9、2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　[由題意設橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，連接F1A(圖略)，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標原點)，則sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又c2＝1，所以b

10、2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為＋＝1.故選B．] 12．(2017·全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 A　[法一：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)， 直線l1的方程為y＝k1(x－1)， 聯立方程， 得kx2－2kx－4x＋k＝0， ∴x1＋x2＝－＝， 同理，直線l2與拋物線的交點滿足x3＋x4＝， 由拋物線定義可知 |AB|＋|DE|＝x1

11、＋x2＋x3＋x4＋2p ＝＋＋4＝＋＋8≥2＋8＝16，當且僅當k1＝－k2＝1(或－1)時，取等號．故選A． 法二：設直線的傾斜角為α，則|AB|＝，則|DE|＝＝， 所以|AB|＋|DE|＝＋＝4＋＝4＋(cos2α＋sin2α) ＝42＋＋≥4×(2＋2)＝16.] 13．(2019·全國卷Ⅲ)設F1，F2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為________． (3，)　[設F1為橢圓的左焦點，分析可知M在以F1為圓心，焦距為半徑長的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上． 因為點M在橢圓＋＝1上， 所以聯立方程

12、可得 解得 又因為點M在第一象限，所以點M的坐標為(3，)．] 14．(2019·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 2　[如圖， 由＝，得F1A＝AB．又OF1＝OF2，得OA是三角形F1F2B的中位線， 即BF2∥OA，BF2＝2OA． 由·＝0， 得F1B⊥F2B， ∴OA⊥F1A， ∴OB＝OF1，∠AOB＝∠AOF1， 又OA與OB都是漸近線，∴∠BOF2＝∠AOF1， 又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°， ∴∠

13、BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°， 又漸近線OB的斜率為＝tan 60°＝， ∴該雙曲線的離心率為 e＝＝＝＝2.] 15．(2018·全國卷Ⅲ)已知點M和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________. 2　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以y－y＝4x1－4x2， 所以k＝＝. 取AB中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作拋物線準線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，設F為C的焦點．因為∠AMB＝90°， 所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．

14、 因為M′為AB中點，所以MM′平行于x軸． 因為M(－1,1)，所以y0＝1，則y1＋y2＝2， 即k＝2.] 16．(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝2，則|CD|＝________. 4　[由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝. 由|AB|＝2得＋()2＝12， 解得m＝－.又直線l的斜率為－m＝， 所以直線l的傾斜角α＝. 畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝

15、2×＝4.] 1．(2020·西城區(qū)一模)設A(2，－1)，B(4,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8 A　[弦長AB＝＝2， 所以半徑為，中點坐標(3,0)， 所以圓的方程(x－3)2＋y2＝2，故選A．] 2．(2020·松江區(qū)模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)分別過點A(2,0)和點B，則該橢圓的焦距為(　　) A． B．2 C．2 D．2 C　[由題意可得a＝2，且＋＝1，解得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝4－1＝3，所以

16、c＝，所以焦距2c＝2，故選C．] 3．(2020·江岸區(qū)模擬)已知圓心為(1,0)，半徑為2的圓經過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的三個頂點，則C的標準方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　[由題意得，圓的方程為(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±；令y＝0，可得x＝－1或3. 由橢圓的焦點在x軸上及橢圓的對稱性可得a＝3，b＝， 所以橢圓的標準方程為＋＝1，故選B．] 4．(2020·寶雞二模)已知圓C：x2＋y2－4x＝0與直線l切于點P(3，)，則直線l的方程為(　　) A．3x－y－6＝0 B．x－y－6＝0 C．x＋

17、y－4＝0 D．x＋y－6＝0 D　[圓C：x2＋y2－4x＝0的圓心坐標為(2,0)， 所以直線PC的斜率為kPC＝＝， 所以直線l的斜率k＝－＝－， 所以直線l的方程為y－＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0，故選D．] 5．(2020·會寧縣模擬)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線6x－3y＋1＝0垂直，則該雙曲線的離心率為(　　) A．2 B． C． D．2 B　[∵雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線6x－3y＋1＝0垂直． ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x. ∴＝，得4b2＝a2，c2－a2＝a2. 則離心率e＝＝.故選B

18、．] 6．(2020·寶安區(qū)校級模擬)設F1，F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝2，則P點到橢圓左焦點的距離為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D　[橢圓＋＝1中a＝5.如圖，可得OM是三角形PF1F2的中位線，∵|OM|＝2，∴|PF2|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|＝6，故選D．] 7．(2020·吉林月考)阿基米德(公元前287年－公元前212年)不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的焦點在x軸上，且橢圓C的

19、離心率為，面積為12π，則橢圓C的方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　[由題意可得＝，＝ab， 因為a2＝b2＋c2，解得a2＝16，b2＝9，又因為橢圓焦點在x軸上， 所以橢圓的方程為＋＝1，故選D．] 8．(2020·煙臺期末)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)，過M的右焦點F(3,0)作直線交橢圓于A，B兩點，若AB中點坐標為(2,1)，則橢圓M的方程為(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　[直線AB的斜率k＝＝－1， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程可得： ＋＝1，＋＝1，

20、相減得＋＝0， 由＝－1， ＝2，＝1， 代入化簡得－＝0. 又c＝3，a2＝b2＋c2，聯立解得a2＝18，b2＝9. ∴橢圓M的方程為＋＝1.故選D．] 9．(2020·呂梁一模)直線l：mx－y＋1－4m＝0(m∈R)與圓C：x2＋(y－1)2＝25交于P，Q兩點，則弦長|PQ|的取值范圍是(　　) A．[6,10] B．[6,10) C．(6,10] D．(6,10) C　[圓C：x2＋(y－1)2＝25的圓心C(0,1)，半徑r＝5，直線l：mx－y＋1－4m＝0?m(x－4)－y＋1＝0過定點M(4,1)，并在圓C內，∴|PQ|最長為直徑，PQ最短時，點M(4

21、,1)為弦PQ的中點，即CM⊥PQ時，算得|PQ|＝2＝6，但此時直線斜率不存在，∴取不到6，即|PQ|的范圍是(6,10]．故選C．] 10．(2020·青島模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P是準線l上的一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝3，|QF|＝，則p的取值為(　　) A． B． C．3 D．2 D　[由已知得焦點F，準線l：x＝－， 設P，Q(x1，y1)， ∵＝3，∴＝3，即x1＝，∴|QF|＝x1＋＝p＝，即p＝2，故選D．] 11. (2020·梅河口模擬)如圖，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，過

22、F2的直線l與雙曲線C左，右兩支分別交于點B，A，若△ABF1為正三角形，則雙曲線C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x D　[設AB＝BF1＝AF1＝m，根據雙曲線的定義可知：BF2－BF1＝2a，即m＋AF2－m＝AF2＝2a， 且AF1－AF2＝2a，即m－2a＝2a，所以m＝4a，則BF2＝6a，在△BF1F2中，cos∠F1BF2＝＝＝， 整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2， 則b＝a，所以漸近線方程為y＝±x，故選D．] 12．(2020·濰坊模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F和拋物線上一點M

23、(3,2)的直線l交拋物線于另一點N，則|NF|∶|NM|等于(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶ C　[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)， 所以kFM＝＝， 由可得3x2－10x＋3＝0， 所以x1＝3，x2＝， 所以＝＝＝.故選C． ] 13. (2020·長沙模擬)已知F1，F2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且>，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，若＝，則＋的最小值為(　　) A．6＋2 B．6＋2 C．8 D．6 C　[設橢圓的長半軸長為a，雙曲線的半實軸長為a′，半焦距為c，則e1＝，e2＝， 設|P

24、F2|＝m，由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得： |PF1|＋|PF2|＝2a?a＝＋c， |PF2|－|PF1|＝2a′?a′＝－c， 則＋＝＋＝＋ ＝6＋＋ ≥6＋2＝8， 當且僅當a＝c時，取等號，故選C．] 14．(2020·湛江模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且＝2，拋物線的準線l與x軸交于C，△ACF的面積為8，則|AB|＝(　　) A．6 B．9 C．9 D．6 B　[由拋物線的方程可得焦點F，由題意可得，直線AB的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為x＝my＋. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線

25、與拋物線聯立可得： 整理可得y2－2mpy－p2＝0， ∴y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2， 因為＝2， 即＝2， 所以y1＝－2y2， 所以可得＝， 所以|m|＝，所以|y2|＝＝， |y1|＝2|y2|＝p， 所以S△CFA＝|CF|·|y1|＝p·p＝8， 解得p＝4， 所以拋物線的方程為y2＝8x， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝m(y1＋y2)＋2p＝2m2p＋2p＝2××4＋8＝9，故選B． ] 15．(2020·贛州模擬)已知M是拋物線x2＝4y上一點，F為其焦點，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為(　　)

26、 A．2 B．3 C．4 D．5 B　[設拋物線x2＝4y的準線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標為(－1,2)，過M作l的垂線，垂足為E，根據拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的知識可知，當C，M，E在一條直線上時，此時CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為CE＝2－(－1)＝3，故選B．] 16．(2020·赤峰模擬)已知橢圓C：＋＝1，F1，F2是其左右焦點，若對橢圓C上的任意一點P，都有·>0恒成立，則實數a的取值范圍為(　　) A．(－

27、3,0)∪(0,3) B．[－3,0)∪(0,3] C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3]∪ [3，＋∞) C　[橢圓上的點與橢圓的焦點構成的三角形中，∠F1PF2最大時點P為短軸上的頂點， 要使·＞0恒成立，則∠F1PF2為銳角，即∠F1PO＜45°，即tan∠F1PO＝＜1，所以c2＜b2，而c2＝a2－b2＝a2＋9－a2＝9，所以9＜a2，解得a＞3或a＜－3，故選C．] 17．(2020·洛陽模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，點P(2，)在雙曲線上，且，，成等差數列，則該雙曲線的方程為(　　) A．x2－y2＝1

28、 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 A　[設雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點坐標分別為(－c,0)，(c,0)， 因為|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，所以2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|＝4c，又點P(2，)在雙曲線的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a， 解得|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a， 即 整理得， ①－②得：8c＝8ac，所以a＝1， 又點P(2，)在雙曲線上，所以－＝1， 將a＝1代入，解得b2＝1， 所以所求雙曲線的方程為x2－y2＝1，故選A．] 18．(2020·衡水模擬)設F為拋物線y2＝4x的

29、焦點，A，B，C為拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝(　　) A．9 B．6 C．4 D．3 B　[拋物線y2＝4x焦點坐標F(1,0)，準線方程：x＝－1， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ∵＋＋＝0， 點F是△ABC重心，則＝1， ∴x1＋x2＋x3＝3. 由拋物線的定義可知： |FA|＋|FB|＋|FC|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＝6， ∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝6，故選B．] 19．(2020·安慶二模)直線l是拋物線x2＝2y在點(－2,2)處的切線，點P是圓x2－4x＋y2＝0上的動點，則點P到直

30、線l的距離的最小值等于(　　) A．0 B． C．－2 D． C　[拋物線x2＝2y，即y＝，y′＝x，在點(－2,2)處的切線斜率為－2，則切線l的方程為y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0，所以圓心(2,0)到l的距離是＝，圓的半徑為2，則點P到直線的距離的最小值是－2，故選C．] 20．(2020·深圳二模)已知拋物線y2＝8x，過點A(2,0)作傾斜角為的直線l，若l與拋物線交于B、C兩點，弦BC的中垂線交x軸于點P，則線段AP的長為(　　) A． B． C． D．8 A　[由題意，直線l方程為y＝(x－2)， 代入拋物線y2＝8x整理得3x2－12x＋

31、12＝8x， ∴3x2－20x＋12＝0，設B(x1，y1)，C(x2，y2)，∴x1＋x2＝，∴弦BC的中點坐標為， ∴弦BC的中垂線的方程為y－＝－， 令y＝0，可得x＝，∴P，∵A(2,0)，∴|AP|＝.故選A．] 21．(2020·濟寧模擬)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，記M＝2＋2，則(　　) A．M的最小值為 B．M的最小值為 C．M的最小值為 D．M的最小值為 B　[由題意，M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值可轉化為函數y＝ln x－x＋2圖象上的點與直線x＋2y－4－2ln 2＝0上的點的距離的最小值

32、的平方，由y＝ln x－x＋2，得y′＝－1，與直線x＋2y－4－2ln 2＝0平行的直線斜率為－，令－1＝－，解得x＝2，所以切點的坐標為(2，ln 2)，切點到直線x＋2y－4－2ln 2＝0的距離d＝＝，即M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為，故選B．] 22．(2020·泉州模擬)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的焦距為2c，F1，F2是E的左、右焦點，點P是圓(x－c)2＋y2＝4c2與E的一個公共點．若△PF1F2為直角三角形，則E的離心率為________． －1　[依題意可得|F1F2|＝|PF2|＝2c，又因為△PF1F2為直角三角形，所以∠PF2F1＝90°

33、，故|PF1|＝·|F1F2|，·2c＋2c＝2a，解得＝＝－1， 所以e＝－1.] 23．(2020·淮安模擬)設F1，F2為橢圓C：＋＝1的左、右焦點，經過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為________． ＋＝1　[設橢圓C的焦距為2c(c＞0)，如圖所示，由于△F2AB是面積為4的等邊三角形，則|AB|2×sin ＝|AB|2＝4，得|AB|＝4，即△F2AB是邊長為4的等邊三角形，該三角形的周長為12＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，解得a＝3，由橢圓的對稱性可知，點A、B關于x軸對稱，則∠AF2F1＝且

34、AB⊥x軸，所以|AF2|＝2|AF1|＝4，∴|AF1|＝2， ∴2c＝|F1F2|＝＝2，∴c＝， 則b＝＝，因此，橢圓C的標準方程為＋＝1.] 24．[一題兩空](2020·臨沂模擬)已知圓心在直線x－3y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，且截x軸所得的弦長為4，則圓C的方程為________，則點P到圓C上動點Q的距離最大值為________． (x－3)2＋(y－1)2＝9　8　[設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0)，由題意可得解得所以圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9， 設點P(6,5)到圓心C(3,1)的距離為d＝＝5，則點P(6,5)到圓

35、C上動點Q的距離最大值為d＋r＝5＋3＝8.] 25．(2020·洛陽模擬)已知雙曲線C：x2－4y2＝1的左焦點恰好在拋物線D：y2＝2px(p≠0)的準線上，過點P(1,2)作兩直線PA，PB分別與拋物線D交于A，B兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，則點A，B的縱坐標之和為________． －4　[由題意知，雙曲線C的左焦點F(－1,0)，拋物線D的準線x＝－，由左焦點F(－1,0)在準線x＝－上，故p＝2，則拋物線方程為y2＝4x.設A，B，則kPA＋kPB＝0?＋＝0?＋＝0?y1＋y2＝－4.] 26. (2020·平谷區(qū)一模)設直線l過點A，且與圓C：x2＋y2－2y＝0

36、相切于點B，那么·＝________. 3　[由圓C：x2＋y2－2y＝0配方為x2＋(y－1)2＝1，C(0,1)，半徑r＝1. ∵過點A(0，－1)的直線l與圓C：x2＋y2－2y＝0 相切于點B，∴·＝0， ∴·＝·(＋)＝2＋·＝2＝2－r2＝3.] 27．(2020·衡水模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(1，－2)，經過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，A在x軸的上方，Q(－1,0)．若以QF為直徑的圓經過點 B，則|AF|－|BF|＝________. 4　[依題意，將(1，－2)代入拋物線的方程中，可得y2＝4x，則F(1,0)，如圖，設直線l的傾

37、斜角為α，則|AF|＝|AF|cos α＋|QF|＝|AF|cos α＋2， ∴|AF|＝，同理|BF|＝， ∴|AF|－|BF|＝－＝， ∵以QF為直徑的圓經過點B，∴BQ⊥BF, ∴|BF|＝＝2cos α，即cos α＝1－cos2α，∴|AF|－|BF|＝＝4. ] 1．拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D．3 C　[拋物線y2＝4x的焦點(1,0)到雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線bx－ay＝0的距離是，可得＝，可得b2＝3a2，所以c2＝4a2，因為e＞1，

38、所以雙曲線的離心率為e＝＝2，故選C．] 2．已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的方程不可能為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 C　[依題意，雙曲線C的漸近線方程為y＝±x或y＝±x，觀察選項可知，雙曲線的方程不可能為－＝1.故選C．] 3．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為θ，且cos θ＝，則該雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D．4 A　[設雙曲線的半個焦距為c，由題意θ∈[0，π)，又cos θ＝，則sin θ＝，tan θ＝2，＝2，所以離心率e＝＝＝，故選A．] 4．已知拋

39、物線C：y2＝2px(p>0)，傾斜角為的直線交C于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標為2，則p的值為(　　) A． B．1 C．2　 D．4 C　[由題意設直線方程為y＝x＋t， 聯立得y2－6py＋6pt＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB中點的縱坐標為2，則y1＋y2＝，∴＝4，∴p＝2.故選C．] 5．已知P為圓2＋y2＝1上任意一點，A，B為直線l：3x＋4y－7＝0上的兩個動點，且＝3，則△PAB面積的最大值為(　　) A．9 B． C．3 D． B　[由題意知圓(x＋1)2＋y2＝1的圓心為(－1,0)，半徑為1，則圓心到直線的距離

40、為＝＝2，所以圓上的點到直線的最大距離為2＋1＝3，所以S△PAB的最大值為×3×3＝，故選B．] 6．圓x2＋y2＝4被直線y＝x＋2截得的劣弧所對的圓心角的大小為(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° D　[由題意，設直線y＝x＋2與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，弦AB的中點為M， 則OM⊥AB，如圖所示，由圓x2＋y2＝4的圓心坐標為O(0,0)，半徑為r＝2，得圓心O到直線y＝x＋2的距離為d＝＝1，在直角△AOM中，cos∠AOM＝＝，所以∠AOM＝60°，所以∠AOB＝120°，即截得的劣弧所對的圓心角的大小為120°，故選D．] 7．圓

41、x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關于直線ax－by＋6＝0(a>0，b>0)對稱，則＋的最小值是(　　) A．2 B． C． D． B　[由圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0，得圓心坐標為(－2,6)， 又圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關于直線ax－by＋6＝0對稱， ∴－2a－6b＝－6，即a＋3b＝3，得＋b＝1， 又a＞0，b＞0， ∴＋＝＝＋＋ ≥＋2＝. 當且僅當a＝b時上式等號成立． ∴＋的最小值是.故選B．] 8.如圖所示，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，雙曲線C的右支上一點A，它關于原點O的對稱點為B，滿足∠AFB＝120°，

42、且|BF|＝2|AF|，則雙曲線C的離心率是(　　) A． B． C． D． C　[連接AF′，BF′，由條件可得|BF|－|AF|＝|AF′|－|AF|＝|AF|＝2a， 則|AF|＝2a，|BF|＝4a，∠F′BF＝60°， 所以F′F2＝AF2＋BF2－2AF·BFcos 60°，可得4c2＝4a2＋16a2－16a2×， 即4c2＝12a2，所以雙曲線的離心率為e＝＝.故選C．] 9．已知雙曲線C：－＝1(b>a>0)的左，右焦點分別為F1，F2，斜率為的直線過點F2且交C于A，B兩點．若|BF2|＝2|F1F2|，則C的離心率為(　　) A． B． C．2

43、＋ D．2＋ D　[∵b＞a＞0，∴＞. 可得過點F2斜率為的直線C交于A，B兩點，A，B在異支， ∵|BF2|＝2|F1F2|， ∴|BF1|＝4c－2a， 在△BF1F2中，由余弦定理可得：(4c－2a)2＝4c2＋16c2－2×2c×4c×. ?c2－4ac＋a2＝0. ?e2－4e＋1＝0，∵e＞1，∴e＝2＋，故選D．] 10．過拋物線x2＝12y的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交拋物線的準線于點C，若＝3，則|BC|＝(　　) A．4 B．4 C．6　 D．8 D　[作BM⊥CP，AN⊥CP，BH⊥AN，如圖， 因為＝3，不妨設BF＝x，所以AF＝

44、3BF＝3x，AB＝4x， 根據拋物線的定義可得，BM＝BF＝HN＝x， AN＝AF＝3x，FP＝p＝6，則AH＝AN－HN＝3x－x＝2x， 所以sin∠ABH＝sin∠ACN＝＝，則CF＝12，CB＝2x， 則CF＝CB＋BF＝3x＝12，所以x＝4， 則BC＝2x＝8，故選D．] 11．在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，位于第一象限上的點P(x0，y0)是雙曲線C上的一點，滿足·＝0，若點P的縱坐標的取值范圍是y0∈c，c，則雙曲線C的離心率的取值范圍為(　　) A．(，2) B．(2,4) C．(3,5)

45、D．(，) D　[由·＝0，可得x－c2＋y＝0， 又－＝1，解得y＝， 由于y0∈，所以＜＜， ＜1－＜，＜＜， 因為e＞1，所以＜e＜.故選D．] 12．已知圓C：(x－2)2＋y2＝1與直線l：y＝x，P為直線l上一動點，若圓上存在點A，使得∠CPA＝，則|PC|的最大值為(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 C　[圓C：(x－2)2＋y2＝1的圓心坐標為C(2,0)，半徑為1， 圓心到直線l的距離d＝＝＞1，可知直線與圓相離， 由正弦定理可得三角形PAC的外接圓的直徑2R＝＝2， P為直線l上一動點，當直線PA與圓相切時，此時|PC|為外接圓的直徑，取

46、得最大值為2. 故選C．] 13．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點D(3,0)的直線交拋物線C于點A，B，若||－||＝，則·＝(　　) A．－9 B．－11 C．－12 D．2 A　[設直線AB方程為x＝my＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵||－||＝， ∴x1－x2＝?(x1＋x2)2－4x1x2＝13 聯立可得y2－4my－12＝0. ∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－12. ∵(y1y2)2＝16x1x2，∴x1x2＝9， ∴x1＋x2＝7. 則·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝－9.故選A．

47、] 14．設橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右頂點為A，右焦點為F，B、C為橢圓上關于原點對稱的兩點，直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點，則橢圓E的離心率是(　　) A． B． C． D． C　[由題意可得右頂點A(a,0)，F(c,0)，設B(－x1，－y1)，C(x1，y1)， 因為直線BF交直線AC于M，且M為AC的中點，所以M， 所以B，F，M三點共線，即＝， 可得c＋x1＝x1＋a－2c，可得a＝3c， 所以離心率為e＝＝，故選C．] 15．設橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點為F1(0,1)，M(3,3)在橢圓外，點P為橢圓上的動點，若|PM|－|PF1

48、|的最小值為2，則橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D． A　[由通用的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|， 所以|PM|－|PF1|＝|PM|＋|PF2|－2a，當且僅當P，M，F2三點共線時，|PM|＋|PF2|－2a最小， 所以|PM|－|PF1|的最小值為|MF2|－2a＝2， 再由題意c＝1，F2(0，－1)，|MF2|＝＝5， 所以2a＝5－2＝3，即a＝， 所以離心率e＝＝＝，故選A．] 16．已知點B(4,0)，點P在曲線y2＝8x上運動，點Q在曲線(x－2)2＋y2＝1上運動，則的最小值為(　　) A． B．4 C． D．6 B　[

49、如圖，設圓心為F，則F為拋物線y2＝8x的焦點，該拋物線的準線方程為x＝－2，設P(x，y)， 由拋物線的定義得|PF|＝x＋2，要使最小，則|PQ|需最大， 如圖，|PQ|最大時，經過圓心F，且圓F的半徑為1，∴|PQ|＝|PF|＋1＝x＋3， 且|PB|＝＝. ∴＝， 令x＋3＝t(t≥3)，則x＝t－3， ∴＝t＋－6≥4，當t＝5時取“＝“，此時x＝2.∴的最小值為4.故選B．] 17．P是雙曲線－＝1的右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則△PF1F2的內切圓的圓心橫坐標為(　　) A． B．2 C． D．3 A　[如圖所示F1(－，0)，F2(，

50、0)， 設內切圓與x軸的切點是點H，與PF1，PF2的切點分別為M，N， 由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 由圓的切線長定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1H|，|F2N|＝|F2H|， 故|MF1|－|NF2|＝2， 即|HF1|－|HF2|＝2， 設內切圓的圓心橫坐標為x，即點H的橫坐標為x， 故(x＋)－(－x)＝2， 所以x＝.] 18．已知雙曲線C過點且漸近線為y＝±x，則下列結論正確的是(　　) ①C的方程為－y2＝1； ②C的離心率為； ③曲線y＝ex－2－1經過C的一個焦點； ④直線x－y－1＝0與C有兩個公共點．

51、A．①② B． ①③ C．①②③ D．①③④ B　[對于①：由已知y＝±x，可得y2＝x2，從而設所求雙曲線方程為x2－y2＝λ，又由雙曲線C過點(3，)，從而×32－()2＝λ，即λ＝1，從而①正確； 對于②：由雙曲線方程可知a＝，b＝1，c＝2，從而離心率為e＝＝＝，所以②錯誤； 對于③：雙曲線的右焦點坐標為(2,0)，滿足y＝ex－2－1，從而③正確； 對于④：聯立整理，得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(2)2－4×2＝0，知直線與雙曲線C只有一個交點，④錯誤．故選B．] 19．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于

52、點M，若F1，M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D． D　[由已知可知，若F1，M是線段AB的三等分點，則M為AF1的中點，所以AF2∥OM， 所以AF2⊥x軸，A點的坐標為，M， M，B關于F1對稱，易知B點坐標，將其代入橢圓方程得a2＝5c2，所以離心率為，故選D．] 20．已知雙曲線－＝1(a＞1)上存在一點M，過點M向圓x2＋y2＝1作兩條切線MA，MB，若·＝0，則實數a的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(1，] C．[，＋∞) D．(，＋∞) B　[雙曲線－＝1(a＞1)上存在一點M，過點M向圓x2＋y2＝1作兩條

53、切線MA，MB，若·＝0，可知MAOB是正方形，MO＝，所以雙曲線的實半軸長的最大值為，所以a∈(1，]．故選B．] 21．點F1，F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，直線4x－y－12＝0與該雙曲線交于兩點P，Q，則|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 B　[雙曲線x2－＝1的右焦點是F2(3,0)，直線4x－y－12＝0經過點F2(3,0)， P，Q兩點在右支上，于是|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|－|F2P|＋|F1Q|－|F2Q|＝2a＋2a＝4.故選B．] 22．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的虛軸的一個頂

54、點為N(0,1)，左頂點為M，雙曲線C的左、右焦點分別為F1，F2，點P為線段MN上的動點，當·取得最小值和最大值時，△PF1F2的面積分別為S1，S2，若S2＝2S1，則雙曲線C的離心率為(　　) A． B．2 C．2 D．2 A　[根據條件，M(－a,0)，b＝1，則直線MN方程為y＝x＋1，因為點P在線段MN上， 可設P，其中m∈(－a,0]，設雙曲線焦距為2c，則c2＝a2＋1，F1(－c,0)，F2(c,0)， 則·＝＝m2－c2＋＝， 因為m∈(－a,0]，所以當m＝－時，·取最小值，此時S1＝×2c＝， 當－＞－時，即a＞1時，無最大值， 故0＜a≤1，此時在

55、m＝0處取得最大值，此時S2＝c， 因為S2＝2S1，所以c＝2×，解得a＝1， 故a＝1，b＝1，c＝， 則離心率e＝＝，故選A．] 23.如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P(x0,2)是拋物線C上一點．以P為圓心的圓與線段PF相交于點Q，與過焦點F且垂直于對稱軸的直線交于點A，B，|AB|＝|PQ|，直線PF與拋物線C的另一交點為M，若|PF|＝|PQ|，則＝(　　) A．1 B． C．2 D． B　[設圓的半徑為r，則|AB|＝|PQ|＝|PB|＝|PA|＝r，∴△PAB為正三角形，∴x0＝， 由拋物線的定義可知，|PF|＝x0＋＝， 又

56、|PF|＝|PQ|，∴＝r，化簡得＝， ∵P，F， ∴直線PF的方程為y＝， 聯立消去y可得 x2－x＋＝0， 由根與系數關系可知，x0xM＝， ∴xM＝＝＝＝， 由拋物線的定義可知，|FM|＝xM＋＝， ∴＝＝·＝·＝，故選B．] 24．已知點A(a,0)，B(0，b)，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經過點D(－2，－)，點F為橢圓的右焦點，若△FAB的一個內角為120°，則橢圓C的方程是________． ＋＝1　[如圖， 由題意得，＋＝1，① AB2＝FA2＋FB2－2FA·FB·cos 120°， 即a2＋b2＝(a－c)2＋a2＋a(a－c)，② 又a2＝b2＋c2，③ 聯立①②③，解得a2＝8，b2＝6. ∴橢圓C的方程是＋＝1.] 25．已知定點A(0，－2)，點B在圓C：x2＋y2－4y－32＝0上運動，C為圓心，線段AB的垂直平分線交BC于點P，則動點P的軌跡E的方程為________． ＋＝1　[如圖，連接PA，由題意，得|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝r＝6＞|AC|＝4， ∴點P的軌跡E是以A，C為焦點的橢圓，其中c＝2，a＝3，∴b＝， ∴橢圓方程為＋＝1.]