(課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版)高考數(shù)學(xué) 專題九 平面解析幾何 3 橢圓及其性質(zhì)試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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1、橢圓及其性質(zhì) 探考情 悟真題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 橢圓的定 義及標(biāo) 準(zhǔn)方程 ①掌握橢圓的定義,并會(huì)用橢圓的定義解題;②掌握橢圓的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,并會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓的方程 2019課標(biāo)全國Ⅰ,12,5分 橢圓的方程 余弦定理 ★★☆ 橢圓的幾 何性質(zhì) ①掌握橢圓的幾何性質(zhì),并會(huì)熟練運(yùn)用;②理解橢圓離心率的定義,并會(huì)求橢圓的離心率 2019課標(biāo)全國Ⅱ,20,12分 橢圓的離心率 橢圓的定義 ★★★ 2018課標(biāo)全國Ⅱ,11,5分 橢圓的離心率 橢圓的定義,焦點(diǎn)三角形 2018
2、課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分 橢圓的離心率 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2019課標(biāo)全國Ⅲ,15,5分 橢圓的幾何性質(zhì) — 直線與橢 圓的位 置關(guān)系 ①掌握直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法;②理解“整體代換”思想的含義,并能通過直線與橢圓位置關(guān)系解答相應(yīng)問題 2018課標(biāo)全國Ⅲ,20,12分 直線與橢圓的位置關(guān)系 弦中點(diǎn),向量的運(yùn)算,弦長問題 ★★★ 分析解讀 從近幾年的高考試題來看,橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系一直是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn),因此要求學(xué)生在備考時(shí)注重以下內(nèi)容:①能夠熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓的方程;②能熟練運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)(如范
3、圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等)解決相關(guān)問題;③能夠把直線與橢圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題,從而判斷其位置關(guān)系,解決相關(guān)問題.在解答題中常以橢圓的方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系為主,同時(shí)與向量、函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合起來進(jìn)行考查趨勢逐漸加強(qiáng),備考時(shí)應(yīng)加以重視. 破考點(diǎn) 練考向 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(2019湖北重點(diǎn)中學(xué)第一次調(diào)研,11)點(diǎn)P是橢圓x29+y25=1上的點(diǎn),F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn),則△PF1F2的周長是( ) A.12 B.10 C.8 D.6 答案 B 2.(2018湖北十堰十三中質(zhì)檢,6)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)
4、,焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,P(2,3)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.x28+y26=1 B.x216+y26=1 C.x24+y22=1 D.x28+y24=1 答案 A 考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì) 1.(2020屆河南新鄉(xiāng)、許昌兩市第二次聯(lián)考,4)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2a2+y23=1(a>0)的離心率為22,則a=( ) A.6 B.6+32 C.6 D.32 答案 C 2.(2020屆遼寧撫順部分重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考,6)已知橢圓x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),則a=( ) A.±2
5、5 B.±23 C.23 D.25 答案 A 3.(2020屆百師聯(lián)盟第一次聯(lián)考,5)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1、F2為其左、右焦點(diǎn),|F1F2|=22,B為短軸的一個(gè)端點(diǎn),三角形BF1O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為7,則橢圓的長軸長為( ) A.4 B.8 C.1+332 D.1+33 答案 B 4.(2018湖北武漢模擬,4)曲線x225+y29=1與曲線x225-k+y29-k=1(k<9)的( ) A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 答案 D 5.(2015課標(biāo)Ⅰ,5,5分)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率
6、為12,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 答案 B 考點(diǎn)三 直線與橢圓的位置關(guān)系 答案 A 2.過橢圓x25+y24=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為 .? 答案 53 煉技法 提能力 【方法集訓(xùn)】 方法1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 1.(2020屆江西南昌重點(diǎn)中學(xué)9月聯(lián)考,8)橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2a2-y2b2=1的離心率之積為32,直線l:x-y+3=0與橢圓
7、C1相切,則橢圓C1的方程為( ) A.x22+y2=1 B.x24+y22=1 C.x26+y23=1 D.x216+y28=1 答案 C 2.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點(diǎn)(2,-2),-1,142,則橢圓C的方程為 .? 答案 x28+y24=1 方法2 求橢圓的離心率(或其取值范圍)的方法 1.(2017課標(biāo)全國Ⅲ,11,5分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為( ) A.63 B.33 C.23 D.13 答案
8、 A 2.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn).若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為( ) A.1-32 B.2-3 C.3-12 D.3-1 答案 D 3.(2020屆河南十所名校尖子生第二次聯(lián)考,12)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)M為橢圓C上異于A,B的一點(diǎn).直線AM和直線BM的斜率之積為-14,則橢圓C的離心率為( ) A.14 B.12 C.32 D.154 答案 C 4.設(shè)F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0
9、)的左、右焦點(diǎn),若在直線x=a2c上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓離心率的取值范圍是( ) A.0,22 B.0,33 C.22,1 D.33,1 答案 D 方法3 解決弦中點(diǎn)問題的方法 1.(2019湖南郴州一模,11)已知橢圓x24+y2b2=1(0
10、橢圓的方程為 .? 答案 y224+x28=1 【五年高考】 A組 統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組 1.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為( ) A.13 B.12 C.22 D.223 答案 C 2.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,12,5分)設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞) 答案 A 3.(2016課標(biāo)全
11、國Ⅰ,5,5分)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B 4.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,12,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A 5.(2019課標(biāo)全國Ⅲ,15,5分)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M
12、為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為 .? 答案 (3,15) 6.(2019課標(biāo)全國Ⅱ,20,12分)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率; (2)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍. 答案 本題主要考查橢圓的定義、簡單的幾何性質(zhì);考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力;體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). (1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,∠F
13、1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的離心率e=ca=3-1. (2)由題意可知,滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在,當(dāng)且僅當(dāng)12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,x2a2+y2b2=1, 即c|y|=16,① x2+y2=c2,② x2a2+y2b2=1.③ 由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2, 又由①知y2=162c2,故b=4. 由②③得x2=a2c2(c2-b2), 所以c2≥b2, 從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42. 當(dāng)b=4,a≥42時(shí),存在滿足條件的點(diǎn)P. 所以b=
14、4,a的取值范圍為[42,+∞). 7.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,20,12分)已知斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0). (1)證明:k<-12; (2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且FP+FA+FB=0.證明:2|FP|=|FA|+|FB|. 答案 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系. (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x124+y123=1,x224+y223=1. 兩式相減,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23·k=0. 由題設(shè)知x1+x22=1,y1+y22=m,于是
15、k=-34m.
由題設(shè)得0 16、A是橢圓E:x24+y23=1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.
(1)當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;
(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明:3 17、y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
由x1·(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,
故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.
由題設(shè),直線AN的方程為y=-1k(x+2),
故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.(7分)
由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)
設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn),f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)內(nèi)單 18、調(diào)遞增.
又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)內(nèi)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(3,2)內(nèi),所以3 19、軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:(x-1)2+y2=4a2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B,連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連接DF1.已知DF1=52.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).
答案 本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力.
(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.
因?yàn)镕1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因?yàn)镈F1=52,AF2⊥x軸,所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.
因此2a=DF1 20、+DF2=4,從而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.
(2)解法一:由(1)知,橢圓C:x24+y23=1,a=2.
因?yàn)锳F2⊥x軸,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.
將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.
因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2.
由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,
解得x=1或x=-115.
將x=-115代入y=2x+2,得y=-125.
因此B-115,-125.
又F2(1,0),所以直線B 21、F2:y=34(x-1).
由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以x=-1.
將x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.
因此E-1,-32.
解法二:由(1)知,橢圓C:x24+y23=1.
如圖,連接EF1.
因?yàn)锽F2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
從而∠BF1E=∠B.
因?yàn)镕2A=F2B,所以∠A=∠B.
所以∠A=∠BF1E,從而EF1∥F2A.
因?yàn)锳F2⊥x軸,所以EF1⊥x軸.
因?yàn)镕1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,
22、
解得y=±32.
又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以y=-32.
因此E-1,-32.
3.(2018天津,19,14分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值.
答案 (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,從而a=3,b=2.
所以,橢圓的方程為x29 23、+y24=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.
由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.
當(dāng)k=-89時(shí),x2=-9<0,不合題意, 24、舍去;
當(dāng)k=-12時(shí),x2=12,x1=125,符合題意.
所以,k的值為-12.
考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì)
1.(2016江蘇,10,5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),直線y=b2與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是 .?
答案 63
2.(2019天津,19,14分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知3|OA|=2|OB|(O為原點(diǎn)).
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同 25、時(shí)與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OC∥AP.求橢圓的方程.
答案 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.
(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知有3a=2b.
又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.
所以,橢圓的離心率為12.
(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故橢圓方程為x24c2+y23c2=1.
由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y=34(x+c).
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c 26、),消去y并化簡,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.
代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.
因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方,所以Pc,32c.
由圓心C在直線x=4上,可設(shè)C(4,t).
因?yàn)镺C∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.則C(4,2).
因?yàn)閳AC與x軸相切,所以圓的半徑長為2,又由圓C與l相切,得34(4+c)-21+342=2,可得c=2.
所以,橢圓的方程為x216+y212=1.
考點(diǎn)三 直線與橢圓的位置關(guān)系
1.(2018江蘇,18,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過 27、點(diǎn)3,12,焦點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0),圓O的直徑為F1F2.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若△OAB的面積為267,求直線l的方程.
答案 解法一:(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(-3,0),F2(3,0),
所以可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).
又點(diǎn)3,12在橢圓C上,所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,
解得a2=4,b2=1.
因此,橢圓C的方程為x24+y2=1.
因?yàn)閳AO的直徑為F1F2, 28、
所以其方程為x2+y2=3.
(2)①設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x02+y02=3.
所以直線l的方程為y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.
由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0消去y,得
(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)
因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以Δ=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.
因?yàn)閤0,y0>0,所以x0=2,y0=1.
因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).
②因?yàn)槿切蜲AB的面積為267, 29、所以12AB·OP=267,從而AB=427.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由(*)得
x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02),
所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y02·48y02(x02-2)(4x02+y02)2.
因?yàn)閤02+y02=3,
所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0.
解得x02=52(x02=20舍去),則y02=12,因此P的坐標(biāo)為102,22.
則直線l的方程為y=-5x+32.
解法二:(1)由題意知c=3,所以圓O的方程為x2+y 30、2=3,因?yàn)辄c(diǎn)3,12在橢圓上,
所以2a=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4,所以a=2.
因?yàn)閍2=b2+c2,所以b=1,
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)①由題意知直線l與圓O和橢圓C均相切,且切點(diǎn)在第一象限,所以直線l的斜率k存在且k<0,
設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k<0,m>0),
將直線l的方程代入圓O的方程,得x2+(kx+m)2=3,
整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,
因?yàn)橹本€l與圓O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)·(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,
將直線l的方程代入橢圓C的方程,得 31、x24+(kx+m)2=1,
整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
因?yàn)橹本€l與橢圓C相切,
所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,
整理得m2=4k2+1,
所以3k2+3=4k2+1,因?yàn)閗<0,所以k=-2,則m=3,
將k=-2,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,
整理得x2-22x+2=0,
解得x1=x2=2,將x=2代入x2+y2=3,
解得y=1(y=-1舍去),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).
②設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,
因?yàn)橹本€l和 32、橢圓C相交,所以結(jié)合②的過程知m2<4k2+1,解得k<-2,
將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
解得x1,2=-8km±44k2+1-m22(4k2+1),
所以|x1-x2|=44k2+1-m24k2+1,
因?yàn)锳B=(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=|x1-x2|k2+1=44k2+1-m24k2+1·k2+1,
O到l的距離d=|m|k2+1=3,
所以S△OAB=12·44k2+1-m24k2+1·k2+1·|m|k2+1
=12·4k2-24k2+1·k2+1·3=267,
解得k2=5,因?yàn)閗<0,所以k=- 33、5,則m=32,
即直線l的方程為y=-5x+32.
2.(2018北京,20,14分)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,焦距為22.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若k=1,求|AB|的最大值;
(3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn)Q-74,14共線,求k.
答案 (1)由題意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,
解得a=3,b=1.
所以橢圓M的方程為x23+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1) 34、,B(x2,y2).
由y=x+m,x23+y2=1
得4x2+6mx+3m2-3=0.
所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.
|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2
=2[(x1+x2)2-4x1x2]=12-3m22.
當(dāng)m=0,即直線l過原點(diǎn)時(shí),|AB|最大,最大值為6.
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由題意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.
直線PA的方程為y=y1x1+2(x+2).
由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,
得[(x1+2)2+3y12]x2+12y12x+12y12- 35、3(x1+2)2=0.
設(shè)C(xC,yC).
所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.
所以xC=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.
所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.
設(shè)D(xD,yD).
同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.
記直線CQ,DQ的斜率分別為kCQ,kDQ,
則kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).
因?yàn)镃,D,Q三點(diǎn)共線,
所以kCQ-kDQ 36、=0.
故y1-y2=x1-x2.
所以直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.
C組 教師專用題組
考點(diǎn)一 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1.(2015廣東,8,5分)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m=( )
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B
2.(2014大綱全國,9,5分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為33,過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若△AF1B的周長為43,則C的方程為( )
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x21 37、2+y24=1
答案 A
3.(2016四川,20,13分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)P3,12在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
答案 (1)由已知,a=2b.
又橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)P3,12,
故34b2+14b2=1,解得b2=1.
所以橢圓E的方程是x24+y2=1.
(2)證明:設(shè)直線l的方程為y=12x 38、+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程組x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判別式為Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-2 39、2]=516[4m2-4(2m2-2)]=54(2-m2),
所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
4.(2015天津,19,14分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為B,左焦點(diǎn)為F,離心率為55.
(1)求直線BF的斜率;
(2)設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P(P異于點(diǎn)B),過點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q(Q異于點(diǎn)B),直線PQ與y軸交于點(diǎn)M,|PM|=λ|MQ|.
(i)求λ的值;
(ii)若|PM|sin∠BQP=759,求橢圓的方程.
答案 (1)設(shè)F(-c,0).由已知離心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.
又因?yàn)锽 40、(0,b),F(-c,0),
故直線BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.
(2)設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).
(i)由(1)可得橢圓的方程為x25c2+y24c2=1,直線BF的方程為y=2x+2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.
因?yàn)锽Q⊥BP,所以直線BQ的方程為y=-12x+2c,與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.
又因?yàn)棣?|PM||MQ|,及xM=0,可得λ=|xM-xP||xQ-xM|=|xP||xQ|=78.
(ii)由(i)有|PM|| 41、MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=715,
即|PQ|=157|PM|.
又因?yàn)閨PM|sin∠BQP=759,
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=157|PM|sin∠BQP=553.
又因?yàn)閥P=2xP+2c=-43c,
所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,
因此553c=553,得c=1.
所以,橢圓方程為x25+y24=1.
5.(2015重慶,21,12分)如圖,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+2,|PF2|=2 42、-2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若|PQ|=λ|PF1|,且34≤λ<43,試確定橢圓離心率e的取值范圍.
答案 (1)由橢圓的定義得,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.
設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2,因此
2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,從而b=a2-c2=1.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.
(2)如圖,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得
|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+λ2|PF1|.
由橢圓的定義得,|PF1|+|PF2|=2a,|Q 43、F1|+|QF2|=2a,進(jìn)而
|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.
于是(1+λ+1+λ2)|PF1|=4a,
解得|PF1|=4a1+λ+1+λ2,
故|PF2|=2a-|PF1|=2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2.
由勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,
從而4a1+λ+1+λ22+2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ22=4c2,
兩邊除以4a2,得
4(1+λ+1+λ2)2+(λ+1+λ2-1)2(1+λ+1+λ2)2=e2.
若記t=1+λ+1+λ2,則上式變成
e2=4+(t-2)2t2=81t-14 44、2+12.
由34≤λ<43,并注意到t=1+λ+1+λ2關(guān)于λ的單調(diào)性,得3≤t<4,即14<1t≤13.
進(jìn)而12 45、M外切并且與圓N內(nèi)切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由橢圓的定義可知,曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn),長半軸長為2,短半軸長為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為x24+y23=1(x≠-2).
(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2.
所以當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4.
若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=23.
若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,
則|QP||QM|=Rr1 46、,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).
由l與圓M相切得|3k|1+k2=1,解得k=±24.
當(dāng)k=24時(shí),將y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=-4±627.
所以|AB|=1+k2|x2-x1|=187.
當(dāng)k=-24時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=187.
綜上,|AB|=23或|AB|=187.
考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì)
1.(2017浙江,2,4分)橢圓x29+y24=1的離心率是( )
A.133 B.53 C.23 D.59
答案 B
2.(2015福建,11,5分)已知橢圓E:x2a2 47、+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是( )
A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1
答案 A
3.(2013課標(biāo)Ⅱ,5,5分)設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是C上的點(diǎn),PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,則C的離心率為( )
A.36 B.13 C.12 D.33
答案 D
4.(2012課標(biāo)全國,4,5分)設(shè)F1、F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a 48、>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為( )
A.12 B.23 C.34 D.45
答案 C
5.(2011課標(biāo),4,5分)橢圓x216+y28=1的離心率為( )
A.13 B.12 C.33 D.22
答案 D
6.(2010全國Ⅰ,16,5分)已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),B是短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的延長線交C于點(diǎn)D,且BF=2FD,則C的離心率為 .?
答案 33
7.(2017天津,20,14分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為 49、(0,c),△EFA的面積為b22.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上,|FQ|=32c,延長線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.
(i)求直線FP的斜率;
(ii)求橢圓的方程.
答案 (1)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知,可得12(c+a)c=b22.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因?yàn)? 50、a=2c,可得直線AE的方程為x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線FP的斜率為34.
(ii)由a=2c,可得b=3c,故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1.
由(i)得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,與橢圓方程聯(lián)立得3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,
整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-13c 51、7(舍去),或x=c.因此可得點(diǎn)Pc,3c2,進(jìn)而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.
由已知,線段PQ的長即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP.
因?yàn)镼N⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面積為12|FQ||QN|=27c232,同理△FPM的面積等于75c232,由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,橢圓的方程為x216+y212=1.
8.(2015安徽,20 52、,13分)設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為510.
(1)求E的離心率e;
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn).證明:MN⊥AB.
答案 (1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為23a,13b,
又kOM=510,從而b2a=510.
進(jìn)而a=5b,c=a2-b2=2b.
故e=ca=255.
(2)證明:由N是AC的中點(diǎn)知,點(diǎn)N的坐標(biāo)為a2,-b2,可得NM=a6,5b6.
又AB=(-a,b),從而有AB·NM=-16a 53、2+56b2=16(5b2-a2).
由(1)的計(jì)算結(jié)果可知a2=5b2,
所以AB·NM=0,故MN⊥AB.
9.(2014課標(biāo)Ⅱ,20,12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為34,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
答案 (1)根據(jù)c=a2-b2及題設(shè)知Mc,b2a,2b2=3ac.
將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).
故C的離心率為12.
(2 54、)由題意,知原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故b2a=4,即b2=4a,①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則
2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.
代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.②
將①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.
解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=27.
考點(diǎn)三 直線與橢圓的位置關(guān)系
1.(2017北京,19,14分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2 55、,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
答案 (1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由題意得a=2,ca=32,解得c=3.
所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)證明:設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).
由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.
直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n.
所以直線DE的方程為y=-m+2n( 56、x-m).
直線BN的方程為y=n2-m(x-2).
聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-n(4-m2)4-m2+n2.
由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-45n.
又S△BDE=12|BD|·|yE|=25|BD|·|n|,
S△BDN=12|BD|·|n|,
所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
2.(2016天津,19,14分)設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直 57、線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率.
答案 (1)設(shè)F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,橢圓的方程為x24+y23=1.
(2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0),
則直線l的方程為y=k(x-2).
設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=8k 58、2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3.
由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.
由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.
因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k.
設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,
解得xM=20k2+912(k2+1).
在△MAO中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+y 59、M2,化簡得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.
所以,直線l的斜率為-64或64.
【三年模擬】
時(shí)間:80分鐘 分值:100分
一、選擇題(每小題5分,共50分)
1.(2020屆豫南九校第三次聯(lián)考,4)若m是2和8的等比中項(xiàng),則圓錐曲線x2+y2m=1的離心率為( )
A.32 B.5 C.32或52 D.32或5
答案 D
2.(2019湖北“荊、荊、襄、宜”四地七校考試聯(lián)盟聯(lián)考,4)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為12,過F2的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).若△F1AB的 60、周長為8,則橢圓方程為( )
A.x24+y23=1 B.x216+y212=1
C.x22+y2=1 D.x24+y22=1
答案 A
3.(2018安徽合肥一模,7)如圖,橢圓x2a2+y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)H.若F1,H是線段MN的三等分點(diǎn),則△F2MN的周長為( )
A.20 B.10 C.25 D.45
答案 D
4.(2020屆陜西百校聯(lián)盟9月聯(lián)考,10)已知橢圓C:x28+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過點(diǎn)F2且與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且MA=AN,若|OA|=|AF2|,則直線 61、l的斜率為( )
A.±1 B.±12 C.±13 D.±14
答案 B
5.(2020屆黑龍江頂級(jí)名校11月聯(lián)考,11)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=12,右焦點(diǎn)為F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2,則點(diǎn)P(x1,x2)( )
A.必在圓x2+y2=2外 B.必在圓x2+y2=2上
C.必在圓x2+y2=2內(nèi) D.以上三種情形都有可能
答案 C
6.(2019廣西南寧二中、柳州高中聯(lián)考,8)已知圓F1:(x+2)2+y2=36,定點(diǎn)F2(2,0),A是圓F1上的一動(dòng)點(diǎn),線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點(diǎn),則P點(diǎn) 62、的軌跡C的方程是( )
A.x24+y23=1 B.x29+y25=1
C.x23+y24=1 D.x25+y29=1
答案 B
7.(2020屆西南地區(qū)名師聯(lián)盟8月聯(lián)考,11)如圖所示,已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),A為橢圓的左頂點(diǎn),B、C在橢圓上,若四邊形OABC為平行四邊形,且∠OAB=45°,則橢圓的離心率為( )
A.22 B.33 C.63 D.223
答案 C
8.(2020屆河南百校聯(lián)盟10月聯(lián)考,11)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A是橢圓上一點(diǎn),線段AF1的垂直平分線與橢圓的一 63、個(gè)交點(diǎn)為B,若AB=3F2B,則橢圓C的離心率為( )
A.13 B.33 C.23 D.63
答案 B
9.(2020屆安徽A10聯(lián)盟摸底,11)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線2x-3y-1=0對(duì)稱,且線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為23,則橢圓C的離心率是( )
A.13 B.33 C.23 D.223
答案 B
10.(2019貴州銅仁東部聯(lián)盟診斷,11)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,F為其右焦點(diǎn),若AF⊥BF,設(shè)∠ABF=α,且α∈π12,5π12,則該橢圓的離心率e的取值范圍是( )
64、A.22,63 B.33,22
C.12,33 D.23,63
答案 A
二、解答題(共50分)
11.(2020屆河南、安徽部分重點(diǎn)中學(xué)10月聯(lián)考,21)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,上頂點(diǎn)為A,△AF1F2的面積為1,且橢圓C的離心率為22.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)M在橢圓上且位于第二象限,過點(diǎn)F1作直線l1⊥MF1,過點(diǎn)F2作直線l2⊥MF2,若直線l1,l2的交點(diǎn)N恰好在橢圓C上,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
答案 (1)由題意可得ca=22,12·2c·b=1,a2-b2=c2,
結(jié)合a>b>0,解得a=2,b 65、=1,c=1.(3分)
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.(4分)
(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).(5分)
設(shè)M(x0,y0),則x0<0,y0>0.
當(dāng)x0=-1時(shí),l2與l1相交于點(diǎn)F2,不符合題意.(6分)
當(dāng)x0≠-1時(shí),直線MF1的斜率為y0x0+1,直線MF2的斜率為y0x0-1.
因?yàn)閘1⊥MF1,l2⊥MF2,所以直線l1的斜率為-x0+1y0,直線l2的斜率為-x0-1y0.(8分)
所以直線l1的方程為y=-x0+1y0(x+1),直線l2的方程為
y=-x0-1y0(x-1).
聯(lián)立l1和l2的方程,解得x=-x0,y=x02 66、-1y0,
所以N-x0,x02-1y0.(10分)
因?yàn)辄c(diǎn)M,N在橢圓C上,由橢圓的對(duì)稱性,可知x02-1y0=±y0,所以x02-y02=1或x02+y02=1.
由x02-y02=1,x022+y02=1結(jié)合x0<0,y0>0,解得x0=-233,y0=33.而x02+y02=1,x022+y02=1無解,
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為-233,33.(12分)
12.(2020屆皖北協(xié)作體第二次聯(lián)考,20)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為橢圓C:x24+y29=1的上焦點(diǎn),C上一點(diǎn)A在第一象限,且|OA|=5.
(1)求直線AF的方程;
(2)若斜率為-12的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M、N,求△OMN面積的最大值.
答案 (1)設(shè)A(x0,y0)(x0>0,y0>0),因?yàn)閨OA|=5,所以x02+y02=5,
又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上,所以x024+y029=1,
聯(lián)立x02+y02=5,x024+y029=1,結(jié)合x0>0,y0>0,解得x0=455,y0=355,
故A的坐標(biāo)為455,355.
又知F的坐標(biāo)為(0,5),
所以直線AF的方程為y=-12x+5.
(2)設(shè)
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