(課標(biāo)專(zhuān)用 5年高考3年模擬A版)高考數(shù)學(xué) 第五章 平面向量 2 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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1、平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè)熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 平面向量 的數(shù)量積 ①理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;②掌握向量夾角概念及其范圍,掌握向量長(zhǎng)度的表示;③了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;④掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;⑤理解數(shù)量積的性質(zhì),并能運(yùn)用 2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,4,5分 平面向量的數(shù)量積 模長(zhǎng) ★★★ 2015課標(biāo)Ⅱ,4,5分 平面向量的數(shù)量積 坐標(biāo)運(yùn)算 平面向量 數(shù)量積 的應(yīng)用 ①能運(yùn)用數(shù)量積解決兩向量的夾角問(wèn)題和長(zhǎng)度問(wèn)題;②會(huì)用數(shù)
2、量積判斷兩個(gè)向量的平行、垂直關(guān)系;③會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與一些實(shí)際問(wèn)題 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,13,5分 兩向量垂直的充要條件 坐標(biāo)運(yùn)算 ★★☆ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,13,5分 兩向量垂直的充要條件 坐標(biāo)運(yùn)算 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,3,5分 平面向量的夾角 平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算 分析解讀 從近幾年的高考試題來(lái)看,高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查以選擇題和填空題為主,考查平面向量的數(shù)量積及其幾何意義以及坐標(biāo)表示,用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直、判斷三角形形狀等問(wèn)題;考查形式除小題之外,還可能是與函數(shù)、解析幾何等知識(shí)綜合在一起形成的解答題,主要考查學(xué)
3、生的審題能力和知識(shí)遷移能力,難度適中. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積 1.(2019屆湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)9月月考,4)已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 B 2.已知點(diǎn)A,B,C滿(mǎn)足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB·BC+BC·CA+CA·AB的值為 .? 答案 -25 3.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.點(diǎn)E和F分
4、別在線段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,則AE·AF的值為 .? 答案 2918 考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 1.(2017云南玉溪一中期中,9)在△ABC中,若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足CA2-CB2+2AB·CP=0,則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的( ) A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心 答案 A 2.(2019屆廣東普寧一中10月月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,則以向量OA,OB為鄰邊的平行四邊形的面積為 .? 答案 43 3.(2019屆湖北黃岡9月調(diào)研,15)已知平面向量m,n的夾角為π6,且|m|=3,|n
5、|=2,在△ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D為BC的中點(diǎn),則|AD|= .? 答案 2 4.(2019屆廣東深圳外國(guó)語(yǔ)中學(xué)10月模擬,17)設(shè)向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值. 解析 (1)∵a與b-2c垂直, ∴a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin α·sin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, ∴tan(α+β)=2.
6、(2)由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2=17-15sin2β≤42, 當(dāng)且僅當(dāng)sin 2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z)時(shí),等號(hào)成立, 所以|b+c|的最大值為42. 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1 平面向量模長(zhǎng)的求解方法 1.(2017河北“五個(gè)一名?!甭?lián)盟模擬,4)已知向量a,b滿(mǎn)足:|a|=2,|b|=4,=π3,則|3a-2b|=( ) A.52 B.213 C.15 D.23 答
7、案 B 2.(2019屆湖南湖北八市十二校第一次調(diào)研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則|a-2b|等于( ) A.1 B.3 C.4 D.5 答案 D 3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c滿(mǎn)足c與b的夾角為120°,c·(4a+b)=5,則|c|=( ) A.1 B.5 C.2 D.25 答案 D 方法2 平面向量夾角的求解方法 1.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,則∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案 A 2.(20
8、17江西七校聯(lián)考,13)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a的方向上的投影為-3,則向量a與b的夾角為 .? 答案 23π 3.(2017吉林九校聯(lián)考,14)已知e1,e2是夾角為120°的單位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影為-1,向量a與b的夾角為θ,則cos θ= .? 答案 -714 方法3 用向量法解決平面幾何問(wèn)題 1.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分別為△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,則△ABC的形狀是( ) A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.上述
9、三種情況都有可能
答案 B
2.(2019屆江西臨川一中9月月考,17)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x∈0,π2.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m與n的夾角為π3,求x的值.
解析 (1)因?yàn)閙=22,-22,n=(sin x,cos x),m⊥n,所以m·n=0,即22sin x-22cos x=0,所以sin x=cos x,
所以tan x=1.
(2)由已知得|m|=|n|=1,所以m·n=|m|·|n|cos π3=12,即22sin x-22cos x=12,所以sinx-π4=12.因?yàn)? 10、<π2,所以-π4 11、017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m= .?
答案 7
2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m= .?
答案 2
3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x= .?
答案 -23
B組 自主命題·省(區(qū)、市)卷題組
考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積
1.(2018天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BC· 12、OM的值為( )
A.-15 B.-9 C.-6 D.0
答案 C
2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為( )
A.-58 B.18 C.14 D.118
答案 B
3.(2015北京,6,5分)設(shè)a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分 13、也不必要條件
答案 A
4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|EF|=2,則AE·BF的最小值為 .?
答案 -3
考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
1.(2018北京,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m= .?
答案 -1
2.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為 .?
答案 π6
3.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=12.若平面向量b滿(mǎn) 14、足b·e1=b·e2=1,則|b|= .?
答案 233
4.(2017北京,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則AO·AP的最大值為 .?
答案 6
5.(2017天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為 .?
答案 311
6.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB 15、(m,n∈R),則m+n= .?
答案 3
7.(2015安徽,15,5分)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿(mǎn)足AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是 .(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))?
①a為單位向量; ②b為單位向量; ?、踑⊥b;
④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC.
答案 ①④⑤
8.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若AE·AF=1,則λ的值為 .?
答案 2
C組 教師專(zhuān)用題組
考點(diǎn)一 16、平面向量的數(shù)量積
1.(2017浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則( )
A.I1 17、C.-4+22 D.-3+22
答案 D
3.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB= .?
答案 9
4.(2014重慶,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=10,則a·b= .?
答案 10
5.(2016江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),BA·CA=4,BF·CF=-1,則BE·CE的值是 .?
答案 78
6.(2013課標(biāo)Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn),則AE·BD= .?
18、答案 2
考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
1.(2015重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為( )
A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6
答案 C
2.(2015陜西,8,5分)對(duì)任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立····的是( )
A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案 B 19、
3.(2015湖南,9,5分)已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 B
4.(2014山東,7,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夾角為π6,則實(shí)數(shù)m=( )
A.23 B.3 C.0 D.-3
答案 B
5.(2011全國(guó),3,5分)設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=1,a·b=-12,則|a+2b|=( )
A.2 B.3 C.5 D.7
答案 B
6.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn), 20、A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足|CD|=1,則|OA+OB+OD|的取值范圍是( )
A.[4,6] B.[19-1,19+1]
C.[23,27] D.[7-1,7+1]
答案 D
7.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿(mǎn)足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是( )
A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3
答案 A
8.(2014安徽,10,5分)設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4 21、均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為( )
A.2π3 B.π3 C.π6 D.0
答案 B
9.(2014四川,14,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m= .?
答案 2
10.(2014江西,12,5分)已知單位向量e1,e2的夾角為α,且cos α=13,若向量a=3e1-2e2,則|a|= .?
答案 3
11.(2014湖北,12,5分)若 22、向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,則|AB|= .?
答案 25
12.(2012課標(biāo)全國(guó),15,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|= .?
答案 32
13.(2018江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若AB·CD=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 .?
答案 3
14.(2013課標(biāo)Ⅰ,13,5分)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t= .? 23、
答案 2
【三年模擬】
時(shí)間:50分鐘 分值:70分
一、選擇題(每小題5分,共40分)
1.(2019屆湖南八校9月聯(lián)考,8)已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a與a-b的夾角為π3,則a·b=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
2.(2018湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夾角為60°,且|b|=1,|2a-b|=1,則|a|=( )
A.12 B.1 C.2 D.2
答案 A
3.(2019屆湖北襄陽(yáng)重點(diǎn)中學(xué)9月聯(lián)考, 24、4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),則x<0或x>4是向量a與b的夾角為銳角的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B
4.(2019屆四川大學(xué)附中10月月考,11)△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別記為a,b,c,若b=5,c=6,BC邊上的中線AD=3,則AB·AC=( )
A.15 B.-15 C.252 D.-252
答案 D
5.(2018湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,則實(shí) 25、數(shù)λ的值為( )
A.2215 B.103 C.6 D.127
答案 A
6.(2018安徽師大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA2,點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則當(dāng)PA2+PB2+PC2取得最小值時(shí),AP·BC=( )
A.272 B.-272 C.9 D.-9
答案 D
7.(2018河北石家莊調(diào)研,10)在平行四邊形ABCD中,|AB|=12,|AD|=8.若點(diǎn)M,N滿(mǎn)足BM=3MC,DN=2NC,則AM·NM=( )
A.20 B.15 C.36 D.6
答案 C
8.(2019屆四川頂級(jí)名校第二次聯(lián)考,11)向量a,b,c滿(mǎn) 26、足:a=(4,0),b=(4,4),(a-c)·(b-c)=0,則b·c的最大值是( )
A.24 B.24-82
C.24+82 D.82
答案 C
二、填空題(每小題5分,共10分)
9.(2019屆山東臨沂摸底考試,14)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,則△ABC的形狀為 .?
答案 直角三角形
10.(2018豫東、豫北十校聯(lián)考(三),15)如圖,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=12DC=2,點(diǎn)E,F分別為線段AD,BC的三等分點(diǎn),O為DC的中點(diǎn),則FE·OF= .?
27、
答案 -143
三、解答題(共20分)
11.(2018河南中原名校聯(lián)盟第四次測(cè)評(píng),19)在△ABC中,滿(mǎn)足AB⊥AC,M是BC的中點(diǎn).
(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角的余弦值;
(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn),且|AB|=|AC|=2,求OA·OB+OC·OA的最小值.
解析 (1)設(shè)向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角為θ,因?yàn)锳B⊥AC,所以AB·AC=0,所以
cos θ=(AB+2AC)·(2AB+AC)|AB+2AC|·|2AB+AC|=2AB2+2AC2|AB+2AC|·|2AB+AC|,設(shè)|AB|=|AC|=a( 28、a>0),則cos θ=2a2+2a25a·5a=45.(5分)
(2)∵|AB|=|AC|=2,∴|AM|=1,
設(shè)|OA|=x(0≤x≤1),則|OM|=1-x.(8分)
因?yàn)镺B+OC=2OM,
所以O(shè)A·OB+OC·OA=OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cos π=2x2-2x=2x-122-12.
因?yàn)?≤x≤1,所以當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí),OA·OB+OC·OA取最小值-12.(12分)
12.(2019屆寧夏頂級(jí)名校9月聯(lián)考,17)設(shè)向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈0,π2.
(1)若|a|=|b|,求x 29、的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
解析 (1)由a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),得|a|2=(3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1.
又因?yàn)閨a|=|b|,所以4sin2x=1.
又x∈0,π2,所以sin x=12,則x=π6.
(2)函數(shù)f(x)=a·b=(3sin x,sin x)·(cos x,sin x)
=3sin xcos x+sin2x
=32×2sin xcos x+1-cos2x2
=32sin 2x-12cos 2x+12
=cos π6sin 2x-sin π6cos 2x+12
=sin2x-π6+12.
因?yàn)閤∈0,π2,所以-π6≤2x-π6≤5π6,
故-12≤sin2x-π6≤1,
所以0≤sin2x-π6+12≤32,
故f(x)的最大值為32.
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