（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學 專題六 數(shù)列 3 等比數(shù)列及其前n項和試題 理-人教版高三數(shù)學試題

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1、等比數(shù)列及其前n項和 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測 熱度 考題示例 考向 關聯(lián)考點 1.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 ①理解等比數(shù)列的概念. ②掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式. ③能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系,并能用有關知識解決相應的問題. ④了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系. 2018課標Ⅲ,17,12分 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式 指數(shù)的運算 ★★★ 2017課標Ⅱ,3,5分 等比數(shù)列的前n項和公式 數(shù)學文化為背景的應用問題 2016課標Ⅰ,15,5分 等比數(shù)列的通項公式 最值問題 2.等比數(shù)

2、列的性質 2016課標Ⅲ,17,12分 等比數(shù)列的判定 由an與Sn的關系求數(shù)列的通項公式 2015課標Ⅱ,4,5 分 等比數(shù)列的通項公式 數(shù)列的概念及其表示 分析解讀　　本節(jié)是高考的考查熱點,主要考查等比數(shù)列的基本運算和性質,等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,尤其要注意以數(shù)學文化為背景的數(shù)列題,題型既有選擇題、填空題,也有解答題.考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理能力以及學生對函數(shù)與方程、轉化與化歸和分類討論思想的應用. 破考點 【考點集訓】 考點一　等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2018河南開封一模,5)已知等比數(shù)列{an}

3、的前n項和為Sn,且9S3=S6,a2=1,則a1=(　　) A.12　　　　B.22　　　　C.2　　　　D.2 答案　A　 2.(2018陜西延安黃陵中學(重點班)第一次大檢測,10)已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a2,2a5,3a8成等差數(shù)列,則3S3S6=(　　) A.134　　　　B.1312　　　　C.94　　　　D.1112 答案　C　 3(2018天津濱海新區(qū)七所重點學校聯(lián)考,11)等比數(shù)列{an}中,各項都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a13+a14a14+a15=　　　　.? 答案　2-1 考點二　等比數(shù)列的性質

4、 1.(2018安徽馬鞍山第二次教學質量監(jiān)測,5)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=1,a3·a5=4(a4-1),則a7的值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2　　　　B.4　　　　C.92　　　　D.6 答案　B　 2.(2017福建4月模擬,6)已知遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和Sn<0,則(　　) A.a1<0,01 C.a1>0,00,q>1 答案　A　 3.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6S3=3,則S9S6等于(　　) A.2　　　　B.73　　　　C.83　　　　

5、D.3 答案　B　 煉技法 【方法集訓】 方法　等比數(shù)列的判定與證明 1.下列結論正確的是(　　) A.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+n+1,則{an}為等差數(shù)列 B.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-2,則{an}為等比數(shù)列 C.非零實數(shù)a,b,c不全相等,若a,b,c成等差數(shù)列,則1a,1b,1c也可能構成等差數(shù)列 D.非零實數(shù)a,b,c不全相等,若a,b,c成等比數(shù)列,則1a,1b,1c一定構成等比數(shù)列 答案　D　 2.(2018河南信陽模擬,17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+λ(λ為常數(shù)). (1)試探究數(shù)列{an+λ}是不是等比數(shù)

6、列,并求an; (2)當λ=1時,求數(shù)列{n(an+λ)}的前n項和Tn. 解析　(1)因為an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ). 又a1=1, 所以當λ=-1時,a1+λ=0,數(shù)列{an+λ}不是等比數(shù)列, 此時an+λ=an-1=0,即an=1; 當λ≠-1時,a1+λ≠0,所以an+λ≠0, 所以數(shù)列{an+λ}是以1+λ為首項,2為公比的等比數(shù)列, 此時an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ. (2)由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n, Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①, 2Tn=22+2×2

7、3+3×24+…+n×2n+1②, ①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2. 所以Tn=(n-1)2n+1+2. 過專題 【五年高考】 A組　統(tǒng)一命題·課標卷題組 考點一　等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2017課標Ⅱ,3,5分)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有

8、燈(　　) A.1盞　　　　B.3盞　　　　C.5盞　　　　D.9盞 答案　B　 2.(2015課標Ⅱ,4,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(　　) A.21　　　　B.42　　　　C.63　　　　D.84 答案　B　 3.(2018課標Ⅲ,17,12分)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項公式; (2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm=63,求m. 解析　(1)設{an}的公比為q,由題設得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)

9、n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-2)n3. 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 考點二　等比數(shù)列的性質 　(2016課標Ⅰ,15,5分)設等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　　　.? 答案　64 B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點一　等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例,為

10、這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.32f　　　　B.322f　　　　C.1225f　　　　D.1227f 答案　D　 2.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8=　　　　.? 答案　32 考點二　等比數(shù)列的性質 1.(2016天津,5,5分)設{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<

11、0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.充要條件　　　　B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　C　 2.(2014廣東,13,5分)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…+lna20=　　　　.? 答案　50 C組　教師專用題組 考點一　等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 1.(2014重慶,2,5分)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a1,a3,a9成等比數(shù)

12、列　　　　B.a2,a3,a6成等比數(shù)列 C.a2,a4,a8成等比數(shù)列　　　　D.a3,a6,a9成等比數(shù)列 答案　D　 2.(2013課標Ⅱ,3,5分,0.859)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　) A.13　　　　B.-13　　　　C.19　　　　D.-19 答案　C　 3.(2012課標Ⅰ,5,5分)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.7　　　　B.5　　　　C.-5　　　　D.-7 答案　D　 4.(2017北京,10,5分)

13、若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則a2b2=　　　　.? 答案　1 5.(2015湖南,14,5分)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=　　　　.? 答案　3n-1 6.(2014天津,11,5分)設{an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為　　　　.? 答案　-12 7.(2014安徽,12,5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數(shù)列,則q=　　　　.? 答案　1 8.(2016四

14、川,19,12分)已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設雙曲線x2-y2an2=1的離心率為en,且e2=53,證明:e1+e2+…+en>4n-3n3n-1. 解析　(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan對所有n≥1都成立. 所以,數(shù)列{an}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1.由2a2,a

15、3,a2+2成等差數(shù)列,可得 2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*). (2)證明:由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2-y2an2=1的離心率en=1+an2=1+q2(n-1). 由e2=1+q2=53,解得q=43. 因為1+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-1)>qk-1(k∈N*). 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1q-1, 故e1+e2+…+en>4n-3n3n-1. 9.(2015江蘇,20,16分)設a1,a2,a3,a4

16、是各項為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列. (1)證明:2a1,2a2,2a3,2a4依次構成等比數(shù)列; (2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次構成等比數(shù)列?并說明理由; (3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構成等比數(shù)列?并說明理由. 解析　(1)證明:因為2an+12an=2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一個常數(shù),所以2a1,2a2,2a3,2a4依次構成等比數(shù)列. (2)令a1+d=a,則a1,a2,a3,a4分別為a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0). 假設存在a

17、1,d,使得a1,a22,a33,a44依次構成等比數(shù)列, 則a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. 令t=da,則1=(1-t)(1+t)3, 且(1+t)6=(1+2t)4-12

18、,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構成等比數(shù)列,則a1n(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k). 分別在兩個等式的兩邊同除以a12(n+k)及a12(n+2k), 并令t=da1t>-13,t≠0, 則(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k). 將上述兩個等式兩邊取對數(shù),得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)·ln(1+t), 且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t)

19、. 化簡得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)], 且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)]. 再將這兩式相除,化簡得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**). 令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)·ln(1+t), 則g'(t)= 2[(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)](1+t)(1+2t)(1+3t).

20、 令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2·ln(1+t), 則φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)·ln(1+t)]. 令φ1(t)=φ'(t),則φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)]. 令φ2(t)=φ'1(t),則φ'2(t)=12(1+t)(1+2t)(1+3t)>0. 由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0, 知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在-13,0和(0,+∞)上均單調. 故g(t)只

21、有唯一零點t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假設不成立. 所以不存在a1,d及正整數(shù)n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次構成等比數(shù)列. 評析　本題考查等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的運算和綜合應用,考查演繹推理、直接證明、間接證明等邏輯思維能力. 10.(2015山東,18,12分)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn=3n+3. (1)求{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項和Tn. 解析　(1)因為2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 當n>1時,2Sn-1=3n-1+3, 此

22、時2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1, 所以an=3,n=1,3n-1,n>1. (2)因為anbn=log3an,所以b1=13, 當n>1時,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n. 所以T1=b1=13; 當n>1時, Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n], 所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n], 兩式相減,得 2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n =23+1-31-n1-3-1-(n-1)×

23、31-n=136-6n+32×3n, 所以Tn=1312-6n+34×3n(n>1). 經檢驗,n=1時也適合. 綜上可得Tn=1312-6n+34×3n(n∈N*). 11.(2014課標Ⅱ,17,12分,0.299)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明an+12是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式; (2)證明1a1+1a2+…+1an<32. 解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12. 又a1+12=32, 所以an+12是首項為32,公比為3的等比數(shù)列. an+12=3n2,因此{an}的通項公式為an=3n-12.

24、 (2)由(1)知1an=23n-1. 因為當n≥1時,3n-1≥2×3n-1, 所以13n-1≤12×3n-1. 于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32. 所以1a1+1a2+…+1an<32. 評析　本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮法求和是本題的難點. 考點二　等比數(shù)列的性質 1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則(　　) A.a1a3,a2a4　　　　D

25、.a1>a3,a2>a4 答案　B　 2.(2014大綱全國,10,5分)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于(　　) A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3 答案　C　 3.(2015安徽,14,5分)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和等于　　　　.? 答案　2n-1 4.(2014江蘇,7,5分)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是　　　　.? 答案　4 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(2019屆山東濟

26、南第一中學高三期中考試,7)在等比數(shù)列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的兩根,則a5的值是(　　) A.-2　　　　B.-2　　　　C.±2　　　　D.2 答案　B　 2.(2019屆安徽黃山11月“八校聯(lián)考”,7)設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,S4=5S2,則a52a3a8的值為(　　) A.±12　　　　B.±2　　　　C.±2或-1　　　　D.±12或-1 答案　D　 3.(2018河南新鄉(xiāng)二模,6)在公比為q的正項等比數(shù)列{an}中,a4=4,則當2a2+a6取得最小值時,log2q=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.14　　　　

27、B.-14　　　　C.18　　　　D.-18 答案　A　 4.(2018福建廈門模擬,8)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2n+1+λ,則λ=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 答案　A　 5.(2018山東實驗中學診斷測試,7)中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按

28、此比例償還,他們各應償還多少?已知牛、馬、羊的主人應償還a升,b升,c升,1斗為10升,則下列判斷正確的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且a=507 B.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且c=507 C.a,b,c依次成公比為12的等比數(shù)列,且a=507 D.a,b,c依次成公比為12的等比數(shù)列,且c=507 答案　D　 6.(2017湖北六校聯(lián)合體4月模擬,10)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an,則Sn=a12-a22+a32-a42+…+a2n-12-a2n2等于(　　) A.13(2n-1)　　　　

29、B.15(1-24n) C.13(4n-1)　　　　D.13(1-2n) 答案　B　 7.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn,若a1=-24,a4=-89,則當Tn取最大值時,n的值為(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6 答案　C　 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.(2019屆河北衡水中學高三第一次摸底考試,14)已知數(shù)列{an},若數(shù)列{3n-1an}的前n項和Tn=15×6n-15,則a5的值為　　　　.? 答案　16 9.(2019屆廣東化州高三第一次模擬考試,16)已知函數(shù)f(x)=exex+1,數(shù)列{a

30、n}為等比數(shù)列,an>0,a1010=1,則f(lna1)+f(lna3)+…+f(lna2019)=　　　　.? 答案　20192 10.(2017江西仿真模擬,16)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(n∈N*),若不等式λSn>an恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是　　　　.? 答案　(1,+∞) 三、解答題(共25分) 11.(2019屆江西九江高三第一次十校聯(lián)考,20)已知數(shù)列{an}滿足an+1-an-1=2(an+an-1)(n≥2),a1=1,a2=7,令bn=an+1+an. (1)求證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,

31、并求{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解析　(1)∵an+1-an-1=2(an+an-1)(n≥2), ∴an+1+an=3(an+an-1). ∵bn=an+1+an, ∴bn=3bn-1(n≥2),又b1=a2+a1=8≠0, ∴數(shù)列{bn}是首項為8,公比為3的等比數(shù)列, ∴bn=8·3n-1(n∈N*). (2)當n為正偶數(shù)時,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=b1+b3+…+bn-1=8(1-9n2)1-9=3n-1. 當n為正奇數(shù)時, Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an) =

32、1+b2+b4+…+bn-1 =1+24(1-9n-12)1-9 =3n-2. ∴Sn=3n-1,n為正偶數(shù),3n-2,n為正奇數(shù). 解后反思　(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列時,在運用定義證明的同時還要說明數(shù)列中不存在等于零的項,這一點容易被忽視. (2)數(shù)列求和時要根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,選擇合適的方法進行求解,求解時要注意確定數(shù)列的項數(shù). 12.(2018湖南郴州第二次教學質量檢測,17)已知在等比數(shù)列{an}中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n-1+an(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為S

33、n,試比較Sn與n2+2n的大小. 解析　(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q, ∵a1,a2,a3-1成等差數(shù)列, ∴2a2=a1+(a3-1)=a3,∴q=a3a2=2, ∴an=a1qn-1=2n-1(n∈N*). (2)由(1)知bn=2n-1+an=2n-1+2n-1, ∴Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+2n-1) =[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1) =1+(2n-1)2·n+1-2n1-2=n2+2n-1. ∵Sn-(n2+2n)=-1<0,∴Sn