高三數學二輪復習 第1部分 專題4 突破點10 空間幾何體表面積或體積的求解 理-人教高三數學試題

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1、專題四立體幾何建知識網絡明內在聯(lián)系高考點撥立體幾何專題是高考中當仁不讓的熱點之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關的體積)和空間位置關系及空間角，一大題常考空間位置關系的證明與空間角、距離的探求本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進行典例剖析，引領考生明確考情并提升解題技能突破點10空間幾何體表面積或體積的求解提煉1求解幾何體的表面積或體積(1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算(2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉換法求解(3)求解旋轉體的表面積和

2、體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應用.提煉2球與幾何體的外接與內切(1)正四面體與球：設正四面體的棱長為a ，由正四面體本身的對稱性，可知其內切球和外接球的球心相同，則內切球的半徑ra，外接球的半徑Ra.圖101(2)正方體與球：設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，O為其對稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點，J為HF的中點，如圖101所示正方體的內切球：截面圖為正方形EFHG的內切圓，故其內切球的半徑為OJ；正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG；正方體的外接球：截面圖為矩形

3、ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1.回訪1幾何體的表面積或體積1. (2016全國甲卷)如圖102是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()圖102A20B24C28D32C由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(高)為4，所以圓柱的側面積為22416，底面積為224；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長為4，所以圓錐的側面積為248.所以該幾何體的表面積為S164828.2(2015全國甲卷)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖103，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()圖103A.B.C.D.D由已知三視圖知該幾何體是由一個正

4、方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐設正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1111，剩余部分的體積V213.所以，故選D.3(2014全國卷)如圖104，網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()圖104A.B.C. D.C由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個圓柱的組合體其中左面圓柱的高為4 cm，底面半徑為2 cm，右面圓柱的高為2 cm，底面半徑為3 cm，則組合體的體積V1224322161834(cm3)，原毛坯體

5、積V232654(cm3)，則所求比值為.回訪2球與幾何體的外接與內切4(2015全國卷)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90，C為該球面上的動點若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64C144 D256C如圖，設球的半徑為R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面積為定值，當點C到平面AOB的距離最大時，VOABC最大，當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VOABC最大為R2R36，R6，球O的表面積為4R2462144.故選C.5(2013全國卷)如圖105，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在

6、容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()圖105A. cm3 B cm3C. cm3 D. cm3A如圖，作出球的一個截面，則MC862(cm)，BMAB84(cm)設球的半徑為R cm，則R2OM2MB2(R2)242，R5，V球53(cm3) 6(2012全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A. BC. D.A由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC，O是SC的中點，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍，所以三棱錐SABC

7、的體積也是三棱錐OABC體積的2倍在三棱錐OABC中，其棱長都是1，如圖所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.熱點題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類題目，準確轉化是前提，套用公式是關鍵，求解時先根據條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解.(1)(2016全國乙卷)如圖106，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是() 圖106A17B18C20 D28(2)(2016全國丙卷)如圖107，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖107A1836 B5418C90 D

8、81(1)A(2)B(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設球的半徑為R，則R3R3，解得R2.因此它的表面積為4R2R217.故選A. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為(333633)25418.故選B.1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以

9、易于求解2根據幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟(1)根據給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標示確定該幾何體的各個度量(3)套用相應的面積公式與體積公式計算求解變式訓練1(1)(2016平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖108所示，則該幾何體的體積為() A. B5C5 D.圖108(2)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖109所示，則此幾何體的表面積是()圖109A90 cm2 B129 cm2C132 cm2 D138 cm2圖1010(3)(名師押題)如圖1010，從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD A1B1C1D1中分離出來由三個正方形面板組成的幾何圖形如果用

10、圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為_cm3.(1)D(2)D(3)36(1)由三視圖知該幾何體是由一個長方體，一個三棱錐和一個圓柱組成，故該幾何體的體積為V212112122.(2)該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6 cm,4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積S2(4643)36339939138(cm2)(3)最多能盛多少水，實際上是求三棱錐C1CD1B1的體積又V三棱錐C1CD1B1V三棱錐CB1C1D1636(cm3)，所以用圖示中這樣一個裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水熱點題型2球與幾何體的

11、切、接問題題型分析：與球有關的表面積或體積求解，其核心本質是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時刻謹記.先根據幾何體的三視圖確定其結構特征與數量特征，然后確定其外接球的球心，進而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質球面上任意一點對直徑所張的角為直角，然后根據幾何體的結構特征構造射影定理求解.(1)(2016南昌二模)一個幾何體的三視圖如圖1011所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖1011A.B.C.D.(2)(2016全國丙卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4

12、 BC6 D.(1)D(2)B(1)法一由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS2，HAHBHC2，故H為ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對稱性可知三棱錐SABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB.設球的半徑為R，則球心O到ABC外接圓的距離為OH|SHOS|2R|，由球的截面性質可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24.故選D.法二由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S ABC，其中HS是三棱錐的高，由側視圖可知HS2，由正視圖和側視圖可得HAHBHC2.由幾何體的對稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長S

13、H交球面于點P，則SP就是球的直徑，由點A在球面上可得SAAP.又SH平面ABC，所以SHAH.在RtASH中，SA4.設球的半徑為R，則SP2R，在RtSPA中，由射影定理可得SA2SHSP，即4222R，解得R，所以所求外接球的表面積為4R24.故選D.(2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設球的半徑為R.因為ABC的內切圓半徑為2，所以R2.又2R3，所以R，所以Vmax3.故選B.解決球與幾何體的切、接問題的關鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關系，這就需要靈活利用球的截面性質以及組合體的截面特征來確定對于旋轉體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質建立相關數據

14、之間的關系；而對于多面體，應抓住多面體的結構特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關數據和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來變式訓練2(1)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O 的球面上，若AB3，AC1，BAC60，AA12，則該三棱柱的外接球的體積為() 【導學號：85952037】A. BC. D20(2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖1012(網格中每個正方形的邊長為1)，若這個幾何體的頂點都在球O的表面上，則球O的表面積是_圖1012(1)B(2)20(1)設A1B1C1的外心為O1，ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示由題意可得外接球的球心O為O1O2的

15、中點在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圓的直徑2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距離dOO2AA11，設直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質可得R2d2r2122，故R，所以該三棱柱的外接球的體積為VR3.故選B.(2)由三視圖知該幾何體是一個四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長、寬分別為4和2的矩形，高為2，且側面SDC與底面ABCD垂直，且頂點S在底面上的射影為該側面上的底面邊的中點由該幾何體的結構特征知球心在過底面中心O且與底面垂直的直線上，同時在過側面SDC的外接圓圓心且與側面SDC垂直的直線上因為SDC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為RAC，故外接球的表面積為4R220.