《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 突破點17 函數(shù)與方程用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 突破點17 函數(shù)與方程用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、突破點17函數(shù)與方程提煉1函數(shù)yf(x)零點個數(shù)的判斷(1)代數(shù)法:求方程f(x)0的實數(shù)根(2)幾何法:對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(3)定理法:利用函數(shù)零點的存在性定理,即如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)0,那么,函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.提煉2已知函數(shù)零點個數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍已知函數(shù)零點個數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍問題,一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題要注意觀察是否需要將一個復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個相對較為簡單的函數(shù),常轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線問題回訪1
2、函數(shù)零點個數(shù)的判斷1(2015湖北高考)函數(shù)f(x)2sin xsinx2的零點個數(shù)為_2f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2,由f(x)0,得sin 2xx2.設(shè)y1sin 2x,y2x2,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二者的圖象,如圖所示由圖象知,兩個函數(shù)圖象有兩個交點,故函數(shù)f(x)有兩個零點2(2014福建高考)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是_2當(dāng)x0時,令x220,解得x(正根舍去),所以在(,0上有一個零點當(dāng)x0時,f(x)20恒成立,所以f(x)在(0,)上是增函數(shù)又因為f(2)2ln 20,f(2)f(3)0,所以f(x)在(2,3)內(nèi)有一個零點綜上,
3、函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.回訪2已知函數(shù)零點個數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍3(2015湖南高考)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點,則實數(shù)b的取值范圍是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象,如圖所示,則當(dāng)0b2時,兩函數(shù)圖象有兩個交點,從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點4(2014天津高考)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個零點,則實數(shù)a的取值范圍為_1a2畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示函數(shù)yf(x)a|x|有4個零點,即函數(shù)y1a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點(根據(jù)圖象知需a0)當(dāng)a2時,函數(shù)f(
4、x)的圖象與函數(shù)y1a|x|的圖象有3個交點故a2.當(dāng)y1a|x|(x0)與y|x25x4|相切時,在整個定義域內(nèi),f(x)的圖象與y1a|x|的圖象有5個交點,此時,由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160,解得a1,或a9(舍去),則當(dāng)1a2時,兩個函數(shù)圖象有4個交點故實數(shù)a的取值范圍是1a2.熱點題型1函數(shù)零點個數(shù)的判斷題型分析:函數(shù)零點個數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性相結(jié)合命題,難度中等偏難.(1)(2016秦皇島模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:圖象關(guān)于(1,0)點對稱;f(1x)f(1x);當(dāng)x1,1時,f(x)則函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為
5、() A5B6C7D8(2)(2016鄭州二模)已知定義在R上的奇函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱,當(dāng)0x1時,f(x)logx,則方程f(x)10在(0,6)內(nèi)的零點之和為() 【導(dǎo)學(xué)號:85952062】A8B10 C12D16(1)A(2)C(1)因為f(1x)f(1x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱,又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,如圖所示,畫出f(x)以及g(x)|x|在3,3上的圖象,由圖可知,兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5,所以函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為5,故選A.(2)因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以當(dāng)1x0時,f(x)f(x)l
6、og(x),又因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱,所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x2k1,kZ,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,由圖易得直線y1與函數(shù)f(x)的圖象在(0,6)內(nèi)有四個交點,且分別關(guān)于直線x1和x5對稱,所以方程f(x)10在(0,6)內(nèi)的零點之和為212512,故選C.求解此類函數(shù)零點個數(shù)的問題時,通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的實數(shù)根,也就是函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)其解題的關(guān)鍵步驟為:分解為兩個簡單函數(shù);在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象;數(shù)
7、交點的個數(shù),即原函數(shù)的零點的個數(shù)提醒:在畫函數(shù)圖象時,切忌隨手一畫,注意“草圖不草”,畫圖時應(yīng)注意基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用,以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對稱性等)的適時運用,可加快畫圖速度,從而將問題簡化變式訓(xùn)練1(1)(2016合肥二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x0時,f(x)則關(guān)于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0a1)的零點個數(shù)為()A2B3 C4D5(2)已知函數(shù)f(x)cos x,g(x)2|x2|,x2,6,則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的所有零點之和為()A6B8 C10D12(1)D(2)D(1)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yf(x)和ya(0a1)的圖象,如圖所示:兩圖象共有5
8、個交點,所以F(x)有5個零點(2)函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點之和可轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)的根之和,即轉(zhuǎn)化為y1f(x)和y2g(x)兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)之和又由函數(shù)g(x)2|x2|與f(x)的圖象均關(guān)于x2對稱,可知函數(shù)h(x)的零點之和為12.熱點題型2已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍題型分析:已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想,對學(xué)生的畫圖能力有較高要求.(1)(2016重慶模擬)已知函數(shù)f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是() A.B.C.D.(2)(名師押題)已知函數(shù)f(x
9、)g(x)kx1(xR),若函數(shù)yf(x)g(x)在x2,3內(nèi)有4個零點,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B(2,)C. D(2,4(1)A(2)C(1)令g(x)0,則f(x)m(x1),故函數(shù)g(x)在(1,1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點等價于函數(shù)yf(x)的圖象與直線ym(x1)有且僅有兩個不同的交點函數(shù)f(x)的圖象如圖中實線所示易求kAB,kAC2,過A(1,0)作曲線的切線,不妨設(shè)切線方程為yk(x1),由得kx2(2k3)x2k0,則(2k3)24k(2k)0,解得k.故實數(shù)m的取值范圍為.(2)當(dāng)x0時,顯然有f(x)g(x),即x0不是yf(x)g(x)的零點當(dāng)x0時,yf(x)g
10、(x)在x2,3內(nèi)的零點個數(shù)即方程f(x)g(x)(2x3)的實根的個數(shù)當(dāng)0x3時,有kx1x23,即kx;當(dāng)2x0時,有kx114xcos x,即k4cos x.則yf(x)g(x)(2x3)的零點個數(shù)等價于函數(shù)yk與y的圖象的交點個數(shù),作出這兩個函數(shù)的圖象,如圖所示,由圖知2k,故選C.求解此類逆向問題的關(guān)鍵有以下幾點:一是將原函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題,并進(jìn)行適當(dāng)化簡、整理;二是構(gòu)造新的函數(shù),把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題;三是對新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫圖;四是觀察圖象,得參數(shù)的取值范圍提醒:把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根,在構(gòu)造兩個新函數(shù)的過程中,一般是構(gòu)
11、造圖象易得的函數(shù),最好有一條是直線,這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時可快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果變式訓(xùn)練2(1)(2016湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點,則實數(shù)的值是() 【導(dǎo)學(xué)號:85952063】A. BC D(2)(2016汕頭一模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),且對任意的實數(shù)x,恒有f(x)f(x)0,當(dāng)x1,0時,f(x)x2,若g(x)f(x)logax在x(0,)上有且僅有三個零點,則a的取值范圍為()A3,5 B4,6C(3,5) D(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0,且f(x)是奇函數(shù),則f(2x21)f(x)f(x),又因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以2x21x只有一個零點,即2x2x10只有一個零點,則18(1)0,解得,故選C.(2)因為f(x)f(x)0,所以f(x)f(x),所以f(x)是偶函數(shù),根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示:因為g(x)f(x)logax在x(0,)上有且僅有三個零點,所以yf(x)和ylogax的圖象在(0,)上只有三個交點,所以解得3a5.