高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 突破點14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

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1、突破點14圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)提煉1圓錐曲線的定義(1)橢圓:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)雙曲線:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(3)拋物線:|PF|PM|,點F不在直線l上,PMl于M(l為拋物線的準線).提煉2圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系在橢圓中:a2b2c2;離心率為e;在雙曲線中:c2a2b2;離心率為e.(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標雙曲線1(a0,b0)的漸近線方程為yx;焦點坐標F1(c,0),F(xiàn)2(c,0);雙曲線1(a0,b0)的漸近線方程為yx,焦點坐標F1(0,c),F(xiàn)2(0,c)(3)拋物線的焦

2、點坐標與準線方程拋物線y22px(p0)的焦點坐標為,準線方程為x;拋物線x22py(p0)的焦點坐標為,準線方程為y.提煉3弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交時的弦長斜率為k的直線與圓錐曲線交于點A(x1,y1),B(x2,y2)時,|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1y2p2;弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角);以弦AB為直徑的圓與準線相切回訪1圓錐曲線的定義與方程1(2016天津高考)已知雙曲線1(b0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓

3、與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1 D.1D由題意知雙曲線的漸近線方程為yx,圓的方程為x2y24,聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長為,故2b,得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.2(2014全國卷)設(shè)F為拋物線C:y23x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,則|AB|()A.B6 C12D7CF為拋物線C:y23x的焦點,F(xiàn),AB的方程為y0tan 30,即yx.聯(lián)立得x2x0.x1x2,即xAxB.由于|AB|xAxBp,|AB|12.回訪2

4、圓錐曲線的重要性質(zhì)3(2016全國乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為()A. BC. D.B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0,b)和一個焦點F(c,0),則直線l的方程為1,即bxcybc0.由題意知2b,解得,即e.故選B.4(2016北京高考)雙曲線1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2,則a_.2不妨令B為雙曲線的右焦點,A在第一象限,則雙曲線如圖所示四邊形OABC為正方形,|OA|2,c|OB|2,AOB.直線OA是漸近線,方程為yx,tanAOB1

5、,即ab.又a2b2c28,a2.回訪3弦長問題5(2015全國卷)已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y28x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|()A3B6 C9D12B拋物線y28x的焦點為(2,0),橢圓中c2,又,a4,b2a2c212,從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準線為x2,xAxB2,將xA2代入橢圓方程可得|yA|3,由圖象可知|AB|2|yA|6.故選B.6(2013全國卷)O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線C:y24x的焦點,P為C上一點,若|PF|4,則POF的面積為()A2 B2C2 D4C設(shè)P(x0,y0),則|PF|x04,x0

6、3,y4x04324,|y0|2.F(,0),SPOF|OF|y0|22.熱點題型1圓錐曲線的定義、標準方程題型分析:圓錐曲線的定義、標準方程是高考??純?nèi)容,主要以選擇、填空的形式考查,解題時分兩步走:第一步,依定義定“型”,第二步,待定系數(shù)法求“值”.(1)(2016全國乙卷)已知方程1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是()A(1,3)B(1,)C(0,3) D(0,)(2)(2016通化一模)已知拋物線C:y28x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若4,則|QF|()A.B3 C.D2(1)A(2)B(1)若雙曲線的焦點在x軸上,則又(

7、m2n)(3m2n)4,m21,1n3m2且nm2,此時n不存在故選A.(2)如圖所示,因為4,所以,過點Q作QMl垂足為M,則MQx軸,所以,所以|MQ|3,由拋物線定義知|QF|QM|3.求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型,后計算”1定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設(shè)出標準方程2計算,即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當焦點位置無法確定時,拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0),橢圓常設(shè)mx2ny21(m0,n0),雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn0)變式訓(xùn)練1(1)(2016鄭州二模)經(jīng)過點(2,1),且漸近線與圓x2(y2)21相切的雙曲線的

8、標準方程為() 【導(dǎo)學(xué)號:85952050】A.1 By21C.1 D.1(2)(2016合肥二模)已知拋物線y22px(p0)上一點M到焦點F的距離等于2p,則直線MF的斜率為()A B1C D(1)A(2)A(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為ykx,即kxy0,由題意知1,解得k,則雙曲線的焦點在x軸上,設(shè)雙曲線方程為1,則有解得故選A.(2)設(shè)M(x0,y0),由題意x02p,則x0,從而y3p2,則M或M,又F,則kMF.熱點題型2圓錐曲線的幾何性質(zhì)題型分析:圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點和熱點,其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點之一,建立關(guān)于a,c的方程或不等式是求解的關(guān)鍵.(1)(

9、2016全國丙卷)已知O為坐標原點,F(xiàn)是橢圓C:1(ab0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點P為C上一點,且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為()A.B. C.D.(2)(2016西安三模)已知雙曲線1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作圓x2y2a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B,C,且|BC|CF2|,則雙曲線的漸近線方程為()Ay3x By2xCy(1)x Dy(1)x(1)A(2)C(1)如圖所示,由題意得A(a,0),B(a,0),F(xiàn)(c,0)由PFx軸得P.設(shè)E(0,m),又PFOE,得,則|MF|.又由O

10、EMF,得,則|MF|.由得ac(ac),即a3c,所以e.故選A.(2)由題意作出示意圖,易得直線BC的斜率為,cosCF1F2,又由雙曲線的定義及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a,|BF2|BF1|2a|BF2|4a,故cosCF1F2b22ab2a2022201,故雙曲線的漸近線方程為y(1)x.1求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法:把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零,分解因式可得(2)用法:可得或的值利用漸

11、近線方程設(shè)所求雙曲線的方程變式訓(xùn)練2(1)(2016全國甲卷)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:1的左,右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1,則E的離心率為()A.B. C.D2(2)(名師押題)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2的直線與橢圓交于A,B兩點,若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則橢圓的離心率為() 【導(dǎo)學(xué)號:85952051】A. B2C.2 D.(1)A(2)D(1)法一:如圖,因為MF1與x軸垂直,所以|MF1|.又sinMF2F1,所以,即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|,所以b2a2,所以c2b2a22a2,所以離心率e.法二:如圖,因為MF1x軸,所以|MF1|.在RtMF1F2中,由sinMF2F1得tanMF2F1.所以,即,即,整理得c2aca20,兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負值舍去)(2)設(shè)|F1F2|2c,|AF1|m,若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,|AB|AF1|m,|BF1|m.由橢圓的定義可知F1AB的周長為4a,4a2mm,m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2,4(2)2a24(1)2a24c2,e296,e.

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