《高三數(shù)學二輪復(fù)習 第1部分 專題5 突破點14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理-人教高三數(shù)學試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學二輪復(fù)習 第1部分 專題5 突破點14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理-人教高三數(shù)學試題(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、突破點14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)
提煉1
圓錐曲線的定義
(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
(2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|).
(3)拋物線:|PF|=|PM|,點F不在直線l上,PM⊥l于M(l為拋物線的準線).
提煉2
圓錐曲線的重要性質(zhì)
(1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系
①在橢圓中:a2=b2+c2;離心率為e==;
②在雙曲線中:c2=a2+b2;離心率為e==.
(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標
①雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x;焦點坐標F1(
2、-c,0),F(xiàn)2(c,0);
②雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,焦點坐標F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c).
(3)拋物線的焦點坐標與準線方程
①拋物線y2=±2px(p>0)的焦點坐標為,準線方程為x=?;
②拋物線x2=±2py(p>0)的焦點坐標為,準線方程為y=?.
提煉3
弦長問題
(1)直線與圓錐曲線相交時的弦長
斜率為k的直線與圓錐曲線交于點A(x1,y1),B(x2,y2)時,|AB|=|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=.
(2)拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B
3、(x2,y2),則①x1x2=,y1y2=-p2;②弦長|AB|=x1+x2+p=(α為弦AB的傾斜角);③+=;④以弦AB為直徑的圓與準線相切.
回訪1 圓錐曲線的定義與方程
1.(2016·天津高考)已知雙曲線-=1(b>0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
D 由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±x,圓的方程為x2+y2=4,聯(lián)立
解得或
即第一象限的交點為.
由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩
4、形,其相鄰兩邊長為,,故=2b,得b2=12.
故雙曲線的方程為-=1.故選D.]
2.(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,則|AB|=( )
A. B.6
C.12 D.7
C ∵F為拋物線C:y2=3x的焦點,
∴F,
∴AB的方程為y-0=tan 30°,即y=x-.
聯(lián)立得x2-x+=0.
∴x1+x2=-=,即xA+xB=.
由于|AB|=xA+xB+p,
∴|AB|=+=12.]
回訪2 圓錐曲線的重要性質(zhì)
3.(2016·全國乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心
5、到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
B 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0,b)和一個焦點F(c,0),則直線l的方程為+=1,即bx+cy-bc=0.由題意知=×2b,解得=,即e=.故選B.]
4.(2016·北京高考)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC的邊長為2,則a=________.
2 不妨令B為雙曲線的右焦點,A在第一象限,則雙曲線如圖所示.
∵四邊形OABC為正方形,|OA|=2,
∴c=|OB|=2,∠AOB=.
∵直線OA是漸
6、近線,方程為y=x,
∴=tan∠AOB=1,即a=b.
又∵a2+b2=c2=8,∴a=2.]
回訪3 弦長問題
5.(2015·全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
B 拋物線y2=8x的焦點為(2,0),∴橢圓中c=2,
又=,∴a=4,b2=a2-c2=12,
從而橢圓方程為+=1.
∵拋物線y2=8x的準線為x=-2,
∴xA=xB=-2,
將xA=-2代入橢圓方程可得|yA|=3,
由圖象可知|A
7、B|=2|yA|=6.故選B.]
6.(2013·全國卷Ⅰ)O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則△POF的面積為( )
A.2 B.2
C.2 D.4
C 設(shè)P(x0,y0),則|PF|=x0+=4,∴x0=3,
∴y=4x0=4×3=24,∴|y0|=2.
∵F(,0),∴S△POF=|OF|·|y0|=××2=2.]
熱點題型1 圓錐曲線的定義、標準方程
題型分析:圓錐曲線的定義、標準方程是高考??純?nèi)容,主要以選擇、填空的形式考查,解題時分兩步走:第一步,依定義定“型”,第二步,待定系數(shù)法求“值”.
(1)(2016·
8、全國乙卷)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
(2)(2016·通化一模)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若=4,則|QF|=( )
A. B.3
C. D.2
(1)A (2)B (1)若雙曲線的焦點在x軸上,則
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-13m2且n<-m2,此時n不
9、存在.故選A.
(2)如圖所示,因為=4,所以=,過點Q作QM⊥l垂足為M,則MQ∥x軸,
所以==,所以|MQ|=3,由拋物線定義知|QF|=|QM|=3.]
求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型,后計算”
1.定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設(shè)出標準方程.
2.計算,即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當焦點位置無法確定時,拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓常設(shè)mx2+ny2=1(m>0,n>0),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0).
變式訓練1] (1)(2016·鄭州二模)經(jīng)過點(2,1),且漸近線與圓
10、x2+(y-2)2=1相切的雙曲線的標準方程為( )
【導(dǎo)學號:85952050】
A.-=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
(2)(2016·合肥二模)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M到焦點F的距離等于2p,則直線MF的斜率為( )
A.± B.±1
C.± D.±
(1)A (2)A (1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0,由題意知=1,解得k=±,則雙曲線的焦點在x軸上,設(shè)雙曲線方程為-=1,
則有解得故選A.
(2)設(shè)M(x0,y0),由題意x0+=2p,
則x0=,從而y=3p2,則M或M,又F,則kMF=±.]
熱
11、點題型2 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題型分析:圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點和熱點,其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點之一,建立關(guān)于a,c的方程或不等式是求解的關(guān)鍵.
(1)(2016·全國丙卷)已知O為坐標原點,F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )
A. B. C. D.
(2)(2016·西安三模)已知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B,C
12、,且|BC|=|CF2|,則雙曲線的漸近線方程為( )
A.y=±3x B.y=±2x
C.y=±(+1)x D.y=±(-1)x
(1)A (2)C (1)如圖所示,由題意得
A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(-c,0).
由PF⊥x軸得P.
設(shè)E(0,m),
又PF∥OE,得=,
則|MF|=.①
又由OE∥MF,得=,
則|MF|=.②
由①②得a-c=(a+c),即a=3c,所以e==.
故選A.
(2)由題意作出示意圖,
易得直線BC的斜率為,
cos∠CF1F2=,又由雙曲線的定義及|BC|=|CF2|可得|CF1|-|CF2|=|BF1
13、|=2a,
|BF2|-|BF1|=2a?|BF2|=4a,
故cos∠CF1F2==?b2-2ab-2a2=0?2-2-2=0?=1+,故雙曲線的漸近線方程為y=±(+1)x.]
1.求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法
求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值.
2.雙曲線的漸近線的求法及用法
(1)求法:把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零,分解因式可得.
(2)用法:①可得或的值.
②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程.
變式訓練2] (1)(2016·全國甲卷)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線
14、E:-=1的左,右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為( )
A. B.
C. D.2
(2)(名師押題)已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2的直線與橢圓交于A,B兩點,若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,則橢圓的離心率為( )
【導(dǎo)學號:85952051】
A. B.2-
C.-2 D.-
(1)A (2)D (1)法一:如圖,因為MF1與x軸垂直,所以|MF1|=.又sin∠MF2F1=,所以=,即|MF2|=3|MF1|.由雙曲線的定義得2a=|MF2|-|MF1|=2|M
15、F1|=,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以離心率e==.
法二:如圖,因為MF1⊥x軸,所以|MF1|=.
在Rt△MF1F2中,由sin∠MF2F1=得
tan∠MF2F1=.
所以=,即=,即=,
整理得c2-ac-a2=0,
兩邊同除以a2得e2-e-1=0.
解得e=(負值舍去).
(2)設(shè)|F1F2|=2c,|AF1|=m,
若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,
∴|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m.
由橢圓的定義可知△F1AB的周長為4a,
∴4a=2m+m,m=2(2-)a.
∴|AF2|=2a-m=(2-2)a.
∵|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
∴4(2-)2a2+4(-1)2a2=4c2,
∴e2=9-6,e=-.]