高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題2 突破點4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題二數(shù)列建知識網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系 高考點撥數(shù)列專題是高考的必考專題之一,主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運算及數(shù)列求和的能力,該部分即可單獨命題,又可與其他專題綜合命題,考查方式靈活多樣,結(jié)合近幾年高考命題研究,為此本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和”兩條主線展開分析和預(yù)測突破點4等差數(shù)列、等比數(shù)列提煉1等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算(1)通項公式等差數(shù)列:ana1(n1)d;等比數(shù)列:ana1qn1.(2)求和公式等差數(shù)列:Snna1d;等比數(shù)列:Sn(q1)(3)性質(zhì)若mnpq,在等差數(shù)列中amanapaq;在等比數(shù)列中amanapaq.提煉2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)

2、列或等比數(shù)列的證明方法:(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明an1an(nN*)為一常數(shù);利用中項性質(zhì),即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明(nN*)為一常數(shù);利用等比中項,即證明aan1an1(n2).提煉3數(shù)列中項的最值的求法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解,利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范圍,從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化,進(jìn)而確定相應(yīng)的最值(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n

3、的不等式組求解,若求數(shù)列an的最大項,則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項,則可解不等式組求出n的取值范圍之后,再確定取得最值的項回訪1等差數(shù)列基本量的運算1(2016全國乙卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a108,則a100()A100 B99C98 D97C法一:an是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,S9(a1a9)9a527,a53.又a108,a100a199d199198.故選C.法二:an是等差數(shù)列,S9(a1a9)9a527,a53.在等差數(shù)列an中,a5,a10,a15,a100成等差數(shù)列,且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故選C.2(2013全國卷)設(shè)等差

4、數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,則m()A3 B4C5 D6Can是等差數(shù)列,Sm12,Sm0,amSmSm12.Sm13,am1Sm1Sm3,dam1am1.又Sm0,a12,am2(m1)12,m5.3(2013全國卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S100,S1525,則nSn的最小值為_49設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,由等差數(shù)列前n項和可得解得nSnn2a1d3n2(n3n2)n3,(nSn)n2,令(nSn)0,解得n0(舍去)或n.當(dāng)n時,nSn是單調(diào)遞增的;當(dāng)0n時,nSn是單調(diào)遞減的,故當(dāng)n7時,nSn取最小值,(nSn)min7349.回

5、訪2等比數(shù)列基本量的運算4(2015全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13,a1a3a521,則a3a5a7()A21 B42C63 D84Ba13,a1a3a521,33q23q421,1q2q47,解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故選B.5(2016全國乙卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310,a2a45,則a1a2an的最大值為_64設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則由a1a310,a2a4q(a1a3)5,知q.又a1a1q210,a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n.記t(n27n),結(jié)合nN*可知n3或4時,t有最大值6.又y2t為增函數(shù),

6、從而a1a2an的最大值為2664.熱點題型1等差、等比數(shù)列的基本運算題型分析:以等差(比)數(shù)列為載體,考查基本量的求解,體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個熱點,題型以客觀題為主,難度較小.(1)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a1a330,S4120,設(shè)bn1log3an,那么數(shù)列bn的前15項和為()A152 B135 C80 D16(2)設(shè)an是首項為a1,公差為1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1()A2 B2 C. D(1)B(2)D(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a1a330,a2a4S4(a1a3)90,所以公比q3,首項a13,所以an3

7、n,bn1log33n1n,則數(shù)列bn是等差數(shù)列,前15項的和為135,故選B.(2)由題意知S1a1,S22a11,S44a16,因為S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以SS1S4,即(2a11)2a1(4a16),解得a1,故選D.在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d(公比q),在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組,從而求出這兩個量,那么其他問題也就會迎刃而解這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法,這其中蘊含著方程思想的運用提醒:應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,務(wù)必注意公比q的取值范圍變式訓(xùn)練1(1)已知在數(shù)列an中,a11,an1an3,Sn為an的前n項和,若Sn

8、51,則n_.(2)(名師押題)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1a3,a2a4,則_.(1)6(2)2n1(1)由a11,an1an3,得an1an3,所以數(shù)列an是首項為1,公差為3的等差數(shù)列由Snn351,即(3n17)(n6)0,解得n6或n(舍)(2)q,a1a3a1a1,解得a12,an2n1,Sn4,2n1.熱點題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)題型分析:該熱點常與數(shù)列中基本量的運算綜合考查,熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì),可以大大提高解題效率.(1)(2016南昌一模)若等比數(shù)列的各項均為正數(shù),前4項的和為9,積為,則前4項倒數(shù)的和為() 【導(dǎo)學(xué)號:85952020】A. BC

9、1 D2(2)(2015東北三校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足S150,S160,S16160,a90,d0,故Sn最大為S8.又d0,所以an單調(diào)遞減,因為前8項中Sn遞增,所以Sn最大且an取最小正值時有最大值,即最大,故選C.1若an,bn均是等差數(shù)列,Sn是an的前n項和,則mankbn,仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù)2若an,bn均是等比數(shù)列,則can(c0),|an|,anbn,manbn(m為常數(shù)),a,仍為等比數(shù)列3公比不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列,且公比不變,即a2a1,a3a2,a4a3,成等比數(shù)列,且公比為q.4(1)等比數(shù)列(q1)中連

10、續(xù)k項的和成等比數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比數(shù)列,其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差數(shù)列,公差為k2d.5若A2n1,B2n1分別為等差數(shù)列an,bn的前2n1項的和,則.變式訓(xùn)練2(1)(2016沈陽模擬)已知各項不為0的等差數(shù)列an滿足2a2a2a120,數(shù)列bn是等比數(shù)列,且b7a7,則b3b11等于()A16 B8C4 D2(2)在等比數(shù)列an中,已知a1a38,a5a74,則a9a11a13a15()A1 B2C3 D2或4(1)A(2)C(1)an是等差數(shù)列,a2a122a7,2a2a2a124a7a0.

11、又a70,a74.又bn是等比數(shù)列,b3b11ba16.(2)an為等比數(shù)列,a5a7是a1a3與a9a11的等比中項,(a5a7)2(a1a3)(a9a11),故a9a112.同理a9a11是a5a7與a13a15的等比中項,(a9a11)2(a5a7)(a13a15),故a13a151.a9a11a13a15213.熱點題型3等差、等比數(shù)列的證明(2016全國丙卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項公式;(2)若S5,求.解(1)證明:由題意得a1S11a1,故1,a1,故a10.1分由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即an1(1)

12、an.2分由a10,0得an0,所以.3分因此an是首項為,公比為的等比數(shù)列,4分于是ann1.6分(2)由(1)得Sn1n.8分由S5得15,即5.10分解得1.12分判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列,一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義,或利用等差中項、等比中項進(jìn)行判斷提醒:利用aan1an1(n2)來證明數(shù)列an為等比數(shù)列時,要注意數(shù)列中的各項均不為0.變式訓(xùn)練3(2014全國卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù)(1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由解(1)證明:由題設(shè)知anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,2分由于an10,所以an2an.4分(2)由題設(shè)知a11,a1a2S11,可得a21.5分由(1)知,a31.6分令2a2a1a3,解得4.7分故an2an4,由此可得a2n1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3.9分a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.11分所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列.12分

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