高考數(shù)學二輪復習 專題檢測（十六）計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 理（普通生含解析）-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題檢測（十六） 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 A組——“6＋3＋3”考點落實練 一、選擇題 1．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A．0.648　　　　　　　　　 　B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析：選A　3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648. 2．小趙、小錢、小孫、

2、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A＝“4個人去的景點不相同”，事件B＝“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　小趙獨自去一個景點共有4×3×3×3＝108種可能性，4個人去的景點不同的可能性有A＝4×3×2×1＝24種，∴P(A|B)＝＝. 3．(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX＝2.4，P(X＝4)

3、，10位成員中使用移動支付的人數(shù)X服從二項分布，即X～B(10，p)， 所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6. 又因為P(X＝4)0.5，所以p＝0.6. 4．若5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項為(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 解析：選D　令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，5的展開式中項的系數(shù)為(－1)3C22，x項的系數(shù)為C23，∴5的展開式中的常數(shù)項為(－1)3C22＋C23＝40.故選D. 5．(x2＋2x＋3y)5的展開式中

4、x5y2的系數(shù)為(　　) A．60 B．180 C．520 D．540 解析：選D　(x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個y，有C種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有C·C種選法，所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C＝540. 6．在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標(x，y)滿足y≤x2的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中長方形OABC，其面積為2×4＝8，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為x2dx

5、＝x3＝，因此所求的概率P＝＝. 二、填空題 7．在(x2－4)5的展開式中，含x6的項為________． 解析：因為(x2－4)5的展開式的第r＋1項Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r， 令10－2r＝6，解得r＝2， 所以含x6的項為T3＝(－4)2Cx6＝160x6. 答案：160x6 8．已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于的概率為________． 解析：當四棱錐O-ABCD的體積為時，設O到平面ABCD的距離為h，

6、 則有×22×h＝，解得h＝. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為. 因為PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝， 又四棱錐P-ABCD與四棱錐P-EFGH相似， 所以四棱錐O-ABCD的體積不小于的概率為P＝＝3＝3＝. 答案： 9．在一投擲竹圈套小玩具的游戲中，竹圈套住小玩具的全部記2分，竹圈只套在小玩具一部分上記1分，小玩具全部在竹圈外記0分．某人投擲100個竹圈，有50個竹圈套住小玩具的全部，25個竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以頻率估計概率，則該人兩次投擲后得分ξ的數(shù)學期望是____

7、____． 解析：將“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分別記為事件A，B，C，則P(A)＝＝，P(B)＝P(C)＝＝. 某人兩次投擲后得分ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝1)＝2××＝， P(ξ＝2)＝×＋2××＝， P(ξ＝3)＝2××＝， P(ξ＝4)＝×＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 答案： 三、解答題 10．(2019屆高三·貴陽摸底考試)某高校學生社團為了解“大數(shù)據(jù)時代”下畢

8、業(yè)生對就業(yè)情況的滿意度，對20名畢業(yè)生進行問卷計分調(diào)查(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖， (1)計算男生打分的平均分，觀察莖葉圖，評價男、女生打分的分散程度； (2)從打分在80分以上的畢業(yè)生中隨機抽取3人，求被抽到的女生人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望． 解：(1)男生打分的平均分為 ×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69. 由莖葉圖知，女生打分比較集中，男生打分比較分散． (2)∵打分在80分以上的畢業(yè)生有3女2男， ∴X的可能取值為1,2,3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列為 X 1 2

9、 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 11．為調(diào)查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學生中隨機抽取300位同學進行調(diào)查，結果如下： 微信群數(shù)量 0至5個 6至10個 11至15個 16至20個 20個以上 合計 頻數(shù) 0 90 90 x 15 300 頻率 0 0.3 0.3 y z 1 (1)求x，y，z的值； (2)以這300人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學生(數(shù)量很大)中隨機抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過15的人數(shù)，求X的分布列、數(shù)學期望和方差． 解

10、：(1)由已知得0＋90＋90＋x＋15＝300， 解得x＝105， 所以y＝＝0.35，z＝＝0.05. (2)依題意可知，微信群個數(shù)超過15的概率為P＝＝. X的所有可能取值為0,1,2,3.依題意得，X～B. 所以P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)． 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝3×＝， D(X)＝3××＝. 12．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件，求： (1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學期望． (2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等

11、品件數(shù)的概率． 解：(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結果為C， 從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結果數(shù)為CC， 那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 所以隨機變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 所以X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)設“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A， “恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1， “恰好取出2件一等品”為事件A2， “恰好取出3件一等品”為事件A3， 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A

12、1∪A2∪A3而P(A1)＝＝， P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝， 所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. B組——大題專攻補短練 1．(2019屆高三·阜陽質(zhì)檢)從某市的高一學生中隨機抽取400名同學的體重進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)估計從該市高一學生中隨機抽取一人，體重超過60 kg的概率； (2)假設該市高一學生的體重X服從正態(tài)分布N(57，σ2)． ①利用(1)的結論估計該高一某個學生體重介于54～57 kg之間的概率； ②從該市高一學生中隨機抽取3人，記

13、體重介于54～57 kg之間的人數(shù)為Y，利用(1)的結論，求Y的分布列及E(Y)． 解：(1)這400名學生中，體重超過60 kg的頻率為(0.04＋0.01)×5＝， 由此估計從該市高一學生中隨機抽取一人，體重超過60 kg的概率為. (2)①∵X～N(57，σ2)， 由(1)知P(X>60)＝， ∴P(X<54)＝， ∴P(54

14、＝i)＝Ci3－i，i＝0,1,2,3. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 3 P E(Y)＝3×＝. 2．(2018·長春質(zhì)檢)某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](單位：克)中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示． (1)現(xiàn)按分層抽樣的方法，從質(zhì)量為[250,300)，[300,350)的芒果中隨機抽取9個，再從這9個中隨機抽取3個，記隨機變量X表示質(zhì)量在[300,350)內(nèi)的芒果個數(shù)，求X的分布列

15、及數(shù)學期望E(X)； (2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率，某經(jīng)銷商來收購芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10 000個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案： A：所有芒果以10元/千克收購； B：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的以3元/個收購． 通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？ 解：(1)由頻率分布直方圖可得，隨機抽取的9個芒果中，質(zhì)量在[250,300)和[300,350)內(nèi)的分別有6個和3個．則X的可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列

16、為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. (2)設選擇方案A可獲利y1元，則 y1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750. 設選擇方案B，從質(zhì)量低于250克的芒果中獲利y2元；從質(zhì)量高于或等于250克的芒果中獲利y3元，則 y2＝(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000. y3＝(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝1

17、9 500. y2＋y3＝7 000＋19 500＝26 500. 由于25 750<26 500，故B方案獲利更多，應選B方案． 3．2017年央視3·15晚會曝光了一些飼料企業(yè)瞞天過海地往飼料中非法添加各種“禁藥”，包括“人用西藥”，讓所有人驚出一身冷汗．某地區(qū)質(zhì)量監(jiān)督部門對該地甲、乙兩家畜牧用品生產(chǎn)企業(yè)進行了突擊抽查，若已知在甲企業(yè)抽查了一次，抽中某種動物飼料的概率為，用數(shù)字1表示抽中該動物飼料產(chǎn)品，用數(shù)字0來表示沒有抽中；在乙企業(yè)抽查了兩次，每次抽中該動物飼料的概率為，用數(shù)字2表示抽中該動物飼料產(chǎn)品，用數(shù)字0來表示沒有抽中．該部門每次抽查的結果相互獨立．假設該部門完成以上三次抽查

18、． (1)求該部門恰好有一次抽中動物飼料這一產(chǎn)品的概率； (2)設X表示三次抽查所記的數(shù)字之和，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． 解：記“恰好抽中一次動物飼料這一產(chǎn)品”為事件A，“在甲企業(yè)抽中”為事件B，“在乙企業(yè)第一次抽中”為事件C，“在乙企業(yè)第二次抽中”為事件D， 則由題意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝. (1)因為A＝B　＋C＋　D， 所以P(A)＝P(B＋ C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝P(B)P()P()＋P()P(C)·P()＋P()P()P(D)＝×1－×1－＋1－××1－＋1－×1－×＝. (2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.

19、 所以P(X＝0)＝P()＝[1－P(B)][1－P(C)]·[1－P(D)]＝××＝. P(X＝1)＝P(B)＝P(B)[1－P(C)][1－P(D)]＝××＝， P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝××＋××＝. P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××＋××＝， P(X＝4)＝P(CD)＝[1－P(B)]P(C)P(D)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝××＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 4．某

20、地政府擬在該地一水庫上建造一座水電站，用泄流水量發(fā)電．如圖是根據(jù)該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X(單位：萬立方米)的頻率分布直方圖(不完整)，已知X∈[0,120]，歷年中日泄流量在區(qū)間[30,60)的年平均天數(shù)為156，一年按364天計． (1)請把頻率分布直方圖補充完整； (2)該水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能都運行，但每30萬立方米的日泄流量才夠運行一臺發(fā)電機，如60≤X<90時才夠運行兩臺發(fā)電機．若運行一臺發(fā)電機，每天可獲利潤為4 000元；若不運行，則該臺發(fā)電機每天虧損500元．以各段的頻率作為相應段的概率，以水電站日利潤的期望值為決策依據(jù)，問：為使水電站日利潤的

21、期望值最大，該水電站應安裝多少臺發(fā)電機？ 解：(1)在區(qū)間[30,60)的頻率為＝，＝＝. 設在區(qū)間[0,30)上，＝a， 則×30＝1， 解得a＝. 補充完整的頻率分布直方圖如圖所示． (2)記水電站日利潤為Y元．由(1)知，無法運行發(fā)電機的概率為，恰好運行一臺發(fā)電機的概率為，恰好運行兩臺發(fā)電機的概率為，恰好運行三臺發(fā)電機的概率為. ①若安裝一臺發(fā)電機，則Y的所有可能取值為－500，4 000，其分布列為 Y －500 4 000 P E(Y)＝－500×＋4 000×＝. ②若安裝兩臺發(fā)電機，則Y的所有可能取值為－1 000，3 500，8 000，其分布列為 Y －1 000 3 500 8 000 P E(Y)＝－1 000×＋3 500×＋8 000×＝. ③若安裝三臺發(fā)電機，則Y的所有可能取值為－1 500，3 000，7 500,12 000，其分布列為 Y －1 500 3 000 7 500 12 000 P E(Y)＝－1 500×＋3 000×＋7 500×＋12 000×＝. 因為 >>， 所以要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應安裝三臺發(fā)電機．