甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期三模 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1已知復(fù)數(shù),則()AB2CD2設(shè)集合,若,則()ABCD3已知向量,設(shè)與的夾角為,則()ABCD4在的展開式中,含的項的系數(shù)為()A-280B280C560D-5605已知雙曲線的實軸長等于虛軸長的2倍,則的漸近線方程為()ABCD6已知a,b均為正實數(shù),則“”是“”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法,是數(shù)論中一個重要定理,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng),年英國來華傳

2、教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲,年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題:將至這個整數(shù)中能被除余且被除余的數(shù),按從小到大的順序排成一列,把這列數(shù)記為數(shù)列.設(shè),則()A8B16C32D648已知函數(shù),對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()ABCD二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分-在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求-全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分9在圓O的內(nèi)接四邊形中,則()AB四邊形的面積為CD10已知函數(shù)(,)的部分圖象如圖,則()AB函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱

3、C函數(shù)在上單調(diào)遞減D函數(shù)在有4個極值點11已知正方體的棱長為1,分別為棱,上的動點,則()A四面體的體積為定值B四面體的體積為定值C四面體的體積最大值為D四面體的體積最大值為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分12一組樣本10,16,20,12,35,14,30,24,40,43的第80百分位數(shù)是 13已知拋物線的焦點,直線過與拋物線交于,兩點,若,則直線的方程為 ,的面積為 (為坐標(biāo)原點)14已知函數(shù),當(dāng)時的最大值與最小值的和為 四、解答題:本題共5小題,第15小題13分,第16、17小題15分,第18、19小題17分,共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15如圖,四棱錐

4、的底面是矩形,是等邊三角形,平面平面分別是的中點,與交于點(1)求證:平面;(2)平面與直線交于點,求直線與平面所成角的大小16某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況,統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù),現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù),結(jié)果如下表:一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的,稱為“經(jīng)常鍛煉”,其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”請完成以下列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗,能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系;性別鍛煉合計

5、不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”,“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題以樣本頻率估計概率,在全校抽取20名同學(xué),其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為,求和;(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”,為進一步了解他們的生活習(xí)慣,在樣本的10名“運動愛好者”中,隨機抽取3人進行訪談,設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望附:0.10.050.012.7063.8416.63517已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為,且(1)求的通項公式;(2)若對于任意成立,求實數(shù)的取值范圍18如圖,為坐標(biāo)原點,為拋物線的焦點,過的直線交拋物線于

6、兩點,直線交拋物線的準(zhǔn)線于點,設(shè)拋物線在點處的切線為(1)若直線與軸的交點為,求證:;(2)過點作的垂線與直線交于點,求證:19微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑,它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期,為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷,從幾何上看,定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域(稱為曲邊梯形)的面積,根據(jù)微積分基本定理可得,因為曲邊梯形的面積小于梯形的面積,即,代入數(shù)據(jù),進一步可以推導(dǎo)出不等式:(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法,證明:;(2)已知函數(shù),其中證明:對任意兩個不相等的正數(shù),曲線在和處的切線均不重合;當(dāng)時,若不等式恒成立,求

7、實數(shù)的取值范圍1D【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則得到,利用模長公式求出答案.【詳解】,故.故選:D2A【分析】根據(jù)集合交集、并集概念計算即可.【詳解】因為集合,若,則,即集合,所以.故選:A3D【分析】用夾角公式計算出余弦值后,再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.【詳解】因為,所以,所以,因為為與的夾角,所以.故選:D4B【分析】利用二項式展開式通項公式求解即可.【詳解】的二項式展開式通項公式為,,令,可得,所以,故含的項的系數(shù)為.故選:B.5C【分析】先得到方程,求出,得到雙曲線方程和漸近線方程.【詳解】由題意得,解得,故漸近線方程為.故選:C6A【分析】解不等式得到,充分性成立,舉出反例,

8、故必要性不成立.【詳解】a,b均為正實數(shù),故,充分性,故,充分性成立,必要性,不妨設(shè),滿足,但不滿足,必要性不成立,則“”是“”的充分不必要條件.故選:A7A【分析】由題中的條件可得數(shù)列是一個以5為首項,以6為公差的等差數(shù)列,進而求出的通項公式,進而求出結(jié)果.【詳解】被除余且被除余的數(shù),按從小到大的順序排成一列,把這列數(shù)記為數(shù)列,則數(shù)列是一個以5為首項,以6為公差的等差數(shù)列;所以,故;.故選:A.8C【分析】由題意可得,在上單調(diào)遞減,所以不等式恒成立,等價于在恒成立,即恒成立,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在的最值即可得答案【詳解】解:因為,易知在上單調(diào)遞減,所以,所以,所以,又因為對于任意的,不等式恒

9、成立,即對于任意的,不等式恒成立,所以在上恒成立,即在上恒成立由,知,所以當(dāng),上式等價于恒成立設(shè),開口向上,對稱軸為,當(dāng)時,所以在內(nèi)單調(diào)遞減,而,所以,所以,即故選:C.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)、函數(shù)中心對稱、函數(shù)與不等式綜合,恒成立問題.借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力,屬于難題.9ABD【分析】選項A,在,分別使用余弦定理,求解即可;選項B,結(jié)合面積公式,即得解;選項C,轉(zhuǎn)化利用數(shù)量積的定義求解即可;選項D,轉(zhuǎn)化,利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】由題意,故,在中,由余弦定理,在中,由余弦定理,故,解得,又,故故,解得,A正確;,B正確;在中, 在中, ,C錯誤;,又,故,D正確

10、.故選:ABD10BD【分析】由“五點法”求得,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和極值點的概念依次判斷選項即可.【詳解】A:由圖可知的周期為:,又,所以;由,且,所以;由,所以,故A錯誤;B:由A的分析知,所以因為為偶函數(shù),故B正確;C:由,得,故在上單調(diào)遞增,故C錯誤;D:因為,故D正確.故選:BD.11BCD【分析】根據(jù)到平面的距離不是定值即可判斷A;根據(jù)為定值與到平面的距離即可判斷B;確定當(dāng)Q與、與重合時四面體的體積取得最大值,即可判斷判斷C;如圖,確定四面體的體積為,即可判斷D.【詳解】A:因為的面積為,到平面的距離不是定值,所以四面體的體積不是定值,故A錯誤;B:因為的面積為,P到矩形的距離為定值

11、,所以到平面的距離為,則四面體的體積為,故B正確;C:當(dāng)Q與重合時,取得最大值,為,當(dāng)與重合時,到平面的距離d取得最大值,在正中,其外接圓的半徑為,則,故四面體的體積最大值為,故C正確;D:過點作,設(shè),則,故四面體的體積為,其最大值為,故D正確故選:BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題主要考查正方體的性質(zhì),三棱錐體積有關(guān)問題.明確當(dāng)體積達(dá)到最值時動點的位置是解題的關(guān)鍵.1237.5#【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】從小到大排序為:10,12,14,16,20,24,30,35,40,43;,故第80百分位數(shù)是故答案為:37.513 #【分析】由題意求出拋物線方程,進而求出直線的方程,聯(lián)立

12、拋物線方程,求得,結(jié)合計算即可求解.【詳解】因為拋物線過點A,所以,解得,所以拋物線的方程為,則,得直線的方程為,與聯(lián)立整理得,設(shè),故,故的面積為故答案為:;14【分析】求導(dǎo),可得函數(shù)的單調(diào)性,即可求解極值點以及端點處的函數(shù)值,即可求解最值.【詳解】,當(dāng)時,遞增;當(dāng)時,遞減;,故最大值與最小值的和為:故答案為:15(1)證明見解析;(2).【分析】(1)利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面,可得,再利用向量法證明,然后由線面垂直判定定理可證;(2)以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法可解.【詳解】(1)因為為正三角形,是中點,所以,又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,

13、所以,又在平面內(nèi)且相交,故平面(2)分別為的中點,又平面過且不過,平面又平面交平面于,故,進而,因為是中點,所以是的中點以為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面法向量為,則,即,取,得,則,因為,所以.16(1)填表見解析;性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系(2),(3)分布列見解析;期望為【分析】(1)由60名同學(xué)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表,代入公式可得,即可得結(jié)論;(2)求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率,由二項分布即可得和;(3)易知的所有可能取值為,利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.【詳解】(1)根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下:性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男

14、生72330女生141630合計213960零假設(shè)為:性別與鍛煉情況獨立,即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān);根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,推斷不成立,即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系,此推斷犯錯誤的概率不超過0.1(2)因?qū)W??倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù),故近似服從二項分布,易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得,故,(3)易知10名“運動愛好者”有7名男生,3名女生,所以的所有可能取值為;且服從超幾何分布:故所求分布列為0123可得17(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意,得到時,兩式相減得到,得到及均為公差為4的等差數(shù)列,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式,進而得

15、到數(shù)列的通項公式;(2)由(1)求得,證得為恒成立,設(shè),求得數(shù)列的單調(diào)性和最大值,即可求解.【詳解】(1)解:因為數(shù)列的前項和為,且,即,當(dāng)時,可得,兩式相減得,因為,故,所以及均為公差為4的等差數(shù)列:當(dāng)時,由及,解得,所以,所以數(shù)列的通項公式為.(2)解:由(1)知,可得,因為對于任意成立,所以恒成立,設(shè),則,當(dāng),即時,當(dāng),即時,所以,故,所以,即實數(shù)的取值范圍為.18(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線方程求得,即可得,得證;(2)寫出過點的的垂線方程,解得交點的縱坐標(biāo)為,再由相似比即可得,即證得.【詳解】(1)

16、易知拋物線焦點,準(zhǔn)線方程為;設(shè)直線的方程為聯(lián)立得,可得,所以;不妨設(shè)在第一象限,在第四象限,對于;可得的斜率為所以的方程為,即為令得直線的方程為,令得又,所以即得證(2)方法1:由(1)中的斜率為可得過點的的垂線斜率為,所以過點的的垂線的方程為,即,如下圖所示:聯(lián)立,解得的縱坐標(biāo)為要證明,因為四點共線,只需證明(*),所以(*)成立,得證.方法2:由知與軸平行,又的斜率為的斜率也為,所以與平行,由得,即得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)點法,從而得到,解出點的坐標(biāo),從而轉(zhuǎn)化為證明即可.19(1)證明見解析(2) 證明見解析;【分析】(1)根據(jù)題,設(shè)過點作的切線分別交于,結(jié)合,即

17、可得證;(2)求得,分別求得在點和處的切線方程,假設(shè)與重合,整理得,結(jié)合由(1)的結(jié)論,即可得證;根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為時,在恒成立,設(shè),求得,分和,兩種情況討論,得到函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可求解.【詳解】(1)解:在曲線取一點過點作的切線分別交于,因為,可得,即(2)解:由函數(shù),可得,不妨設(shè),曲線在處的切線方程為,即同理曲線在處的切線方程為,假設(shè)與重合,則,代入化簡可得,兩式消去,可得,整理得,由(1)的結(jié)論知,與上式矛盾即對任意實數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合當(dāng)時,不等式恒成立,所以在恒成立,所以,下證:當(dāng)時,恒成立因為,所以設(shè)(i)當(dāng)時,由知恒成立,即在為增函數(shù),所以成立;(ii)當(dāng)時,設(shè),可得,由知恒成立,即在為增函數(shù)所以,即在為減函數(shù),所以成立,綜上所述,實數(shù)的取值范圍是【點睛】方法點睛:對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:1、通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;2、利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時,一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況,進行求解,若參變分離不易求解問題,就要考慮利用分類討論法和放縮法,注意恒成立與存在性問題的區(qū)別

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